2015届高考数学二轮专题训练：专题八 第2讲 数形结合思想 9页

第2讲　数形结合思想 ‎1．数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．‎ ‎2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：‎ ‎(1)等价性原则．在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞．有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，要注意其带来的负面效应．‎ ‎(2)双方性原则．既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易出错．‎ ‎(3)简单性原则．不要为了“数形结合”而数形结合．具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系、做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线．‎ ‎3．数形结合思想解决的问题常有以下几种：‎ ‎(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围．‎ ‎(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围．‎ ‎(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．‎ ‎(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式．‎ ‎(5)构建立体几何模型研究代数问题．‎ ‎(6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题．‎ ‎(7)构建方程模型，求根的个数．‎ ‎(8)研究图形的形状、位置关系、性质等．‎ ‎4．数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：‎ ‎(1)准确画出函数图象，注意函数的定义域．‎ ‎(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整，以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．‎ 热点一　利用数形结合思想讨论方程的根 例1　(2014·山东)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx，若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是(　　)‎ A．(0，) B．(，1)‎ C．(1,2) D．(2，＋∞)‎ 答案　B 解析　先作出函数f(x)＝|x－2|＋1的图象，如图所示，当直线g(x)＝kx与直线AB平行时斜率为1，当直线g(x)＝kx过A点时斜率为，故f(x)＝g(x)有两个不相等的实根时，k的范围为(，1)．‎ 思维升华　用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数．‎ ‎　设函数f(x)＝若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案　C 解析　由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，‎ 解得b＝4，c＝2，∴f(x)＝ 作出函数y＝f(x)及y＝x的函数图象如图所示，‎ 由图可得交点有3个．‎ 热点二　利用数形结合思想解不等式、求参数范围 例2　(1)已知奇函数f(x)的定义域是{x|x≠0，x∈R}，且在(0，＋∞)上单调递增，若f ‎(1)＝0，则满足x·f(x)<0的x的取值范围是________．‎ ‎(2)若不等式|x－2a|≥x＋a－1对x∈R恒成立，则a的取值范围是________．‎ 答案　(1)(－1,0)∪(0,1)　‎ ‎(2) 解析　(1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x·f(x)<0的x的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．‎ ‎(2)作出y＝|x－2a|和y＝x＋a－1的简图，依题意知应有2a≤2－2a，‎ 故a≤.‎ 思维升华　求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题，往往可以避免烦琐的运算，获得简捷的解答．‎ ‎　(1)设A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，则使A⊆B成立的实数m的取值范围是__________．‎ ‎(2)若不等式≤k(x＋2)－的解集为区间[a，b]，且b－a＝2，则k＝________.‎ 答案　(1)[－1，＋∞)　(2) 解析　(1)集合A是一个圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，集合B是一个不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的点的集合，‎ 要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含(如图)，即直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有＝1，又m>0，‎ 所以m＝－1，‎ 故m的取值范围是m≥－1.‎ ‎(2)令y1＝，‎ y2＝k(x＋2)－，在同一个坐标系中作出其图象，因≤k(x＋2)－的解集为[a，b]且b－a＝2.‎ 结合图象知b＝3，a＝1，即直线与圆的交点坐标为(1,2)．‎ 又因为点(－2，－)在直线上，‎ 所以k＝＝.‎ 热点三　利用数形结合思想解最值问题 例3　(1)已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y ‎＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________．‎ ‎(2)已知点P(x，y)的坐标x，y满足则x2＋y2－6x＋9的取值范围是(　　)‎ A．[2,4] B．[2,16]‎ C．[4,10] D．[4,16]‎ 答案　(1)2　(2)B 解析　(1)从运动的观点看问题，当动点P沿直线3x＋4y＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC的面积SRt△PAC＝|PA|·|AC|＝|PA|越来越大，从而S四边形PACB也越来越大；当点P从左上、右下两个方向向中间运动时，S四边形PACB变小，显然，当点P到达一个最特殊的位置，即CP垂直直线l时，S四边形PACB应有唯一的最小值，‎ 此时|PC|＝＝3，‎ 从而|PA|＝＝2.‎ 所以(S四边形PACB)min ＝2××|PA|×|AC|＝2.‎ ‎(2)画出可行域如图，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线x－y－1＝0(x≥0)的距离d的平方，最大值为|QA|2＝16.‎ ‎∵d2＝()2＝()2＝2.‎ ‎∴取值范围是[2,16]．‎ 思维升华　(1)在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值．‎ ‎(2)如果(不)等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解．‎ ‎　(1)(2013·重庆)设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)‎ A．6 B．4 C．3 D．2‎ ‎(2)若实数x、y满足则的最小值是____．‎ 答案　(1)B　(2)2‎ 解析　(1)由题意，知圆的圆心坐标为(3，－1)，圆的半径长为2，|PQ|的最小值为圆心到直线x＝－3的距离减去圆的半径长，所以|PQ|min＝3－(－3)－2＝4.故选B.‎ ‎(2)可行域如图所示．‎ 又的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k.‎ 由图知，过点A的直线OA的斜率最小．‎ 联立得A(1,2)，‎ 所以kOA＝＝2.所以的最小值为2.‎ ‎1．在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的．‎ ‎2．有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的．‎ ‎3．利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象．‎ ‎4．数形结合思想常用模型：一次、二次函数图象；斜率公式；两点间的距离公式(或向量的模、复数的模)；点到直线的距离公式等.‎ 真题感悟 ‎1．(2013·重庆)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为(　　)‎ A．5－4 B.－1‎ C．6－2 D. 答案　A 解析　设P(x,0)，设C1(2,3)关于x轴的对称点为C1′(2，－3)，那么|PC1|＋|PC2|＝|PC1′|＋|PC2|≥|C1′C2|＝＝5.‎ 而|PM|＋|PN|＝|PC1|＋|PC2|－4≥5－4.‎ ‎2．(2014·江西)在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为(　　)‎ A.π B.π C．(6－2)π D.π 答案　A 解析　∵∠AOB＝90°，∴点O在圆C上．‎ 设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，‎ 则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，‎ ‎∴点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，‎ ‎∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.‎ 又|OD|＝＝，‎ ‎∴圆C的最小半径为，‎ ‎∴圆C面积的最小值为π()2＝π.‎ ‎3．(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝若|f(x)|≥ax，则a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，0] B．(－∞，1]‎ C．[－2,1] D．[－2,0]‎ 答案　D 解析　函数y＝|f(x)|的图象如图．‎ ‎①当a＝0时，|f(x)|≥ax显然成立．‎ ‎②当a>0时，只需在x>0时，‎ ln(x＋1)≥ax成立．‎ 比较对数函数与一次函数y＝ax的增长速度．‎ 显然不存在a>0使ln(x＋1)≥ax在x>0上恒成立．‎ ‎③当a<0时，只需在x<0时，x2－2x≥ax成立．‎ 即a≥x－2成立，所以a≥－2.‎ 综上所述：－2≤a≤0.故选D.‎ ‎4．(2014·天津)已知函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．‎ 答案　(0,1)∪(9，＋∞)‎ 解析　设y1＝f(x)＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|，‎ 在同一直角坐标系中作出y1＝|x2＋3x|，y2＝a|x－1|的图象如图所示．‎ 由图可知f(x)－a|x－1|＝0有4个互异的实数根等价于y1＝|x2＋3x|与y2＝a|x－1|的图象有4个不同的交点．当4个交点横坐标都小于1时，‎ 有两组不同解x1，x2，‎ 消y得x2＋(3－a)x＋a＝0，故Δ＝a2－10a＋9>0，‎ 且x1＋x2＝a－3<2，x1x2＝a<1，联立可得00，‎ 且x3＋x4＝a－3>2，x3x4＝a>1，联立可得a>9，‎ 综上知，09.‎ 押题精练 ‎1．方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ 答案　B 解析　(数形结合法)‎ ‎∵a>0，∴a2＋1>1.‎ 而y＝|x2－2x|的图象如图，‎ ‎∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．‎ ‎2．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　)‎ A．(－∞，－1]∪[4，＋∞)‎ B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)‎ C．[1,2]‎ D．(－∞，1]∪[2，＋∞)‎ 答案　A 解析　f(x)＝|x＋3|－|x－1|＝画出函数f(x)的图象，如图，可以看出函数f(x)的最大值为4，故只要a2－3a≥4即可，解得a≤－1或a≥4.正确选项为A.‎ ‎3．经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2,1)的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.‎ 答案　[－1,1]　[0，]∪[，π)‎ 解析　如图所示，结合图形：为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB>0，kPA<0，故k<0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k>0时，α为锐角．‎ 又kPA＝＝－1，‎ kPB＝＝1，∴－1≤k≤1.‎ 又当0≤k≤1时，0≤α≤；‎ 当－1≤k<0时，≤α<π.故倾斜角α的取值范围为α∈[0，]∪[，π)．‎ ‎4．(2013·山东)在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．‎ 答案　 解析　由题意知原点O到直线x＋y－2＝0的距离为|OM|的最小值．‎ 所以|OM|的最小值为＝.‎ ‎5．(2013·江西)过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A、B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率为________．‎ 答案　－ 解析　∵S△AOB＝|OA||OB|sin∠AOB＝sin∠AOB≤.‎ 当∠AOB＝时，S△AOB面积最大．‎ 此时O到AB的距离d＝.‎ 设AB方程为y＝k(x－)(k<0)，即kx－y－k＝0.‎ 由d＝＝得k＝－.‎ ‎6．设函数f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝bx2－ln x(a，b∈R)，已知它们在x＝1处的切线互相平行．‎ ‎(1)求b的值；‎ ‎(2)若函数F(x)＝且方程F(x)＝a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围．‎ 解　函数g(x)＝bx2－ln x的定义域为(0，＋∞)，‎ ‎(1)f′(x)＝3ax2－3a⇒f′(1)＝0，‎ g′(x)＝2bx－⇒g′(1)＝2b－1，‎ 依题意得2b－1＝0，所以b＝.‎ ‎(2)x∈(0,1)时，g′(x)＝x－<0，即g(x)在(0,1)上单调递减，‎ x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝x－>0，即g(x)在(1，＋∞)上单调递增，‎ 所以当x＝1时，g(x)取得极小值g(1)＝；‎ 当a＝0时，方程F(x)＝a2不可能有四个解；‎ 当a<0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，即f(x)在(－∞，－1)上单调递减，‎ x∈(－1,0)时，f′(x)>0，‎ 即f(x)在(－1,0)上单调递增，‎ 所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝2a，‎ 又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图(1)所示，‎ 从图象可以看出F(x)＝a2不可能有四个解．‎ 当a>0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，‎ 即f(x)在(－∞，－1)上单调递增，‎ x∈(－1,0)时，f′(x)<0，‎ 即f(x)在(－1,0)上单调递减，‎ 所以当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝2a.‎ 又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图(2)所示，‎ 从图(2)看出，若方程F(x)＝a2有四个解，则