2018-2019学年江西省上饶市横峰中学高一下学期第三次月考（超级班）数学试题（解析版） 16页

‎2018-2019学年江西省上饶市横峰中学高一下学期第三次月考（超级班）数学试题 一、单选题 ‎1．下列命题正确的是　　‎ A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】D ‎【解析】直接利用不等式的性质，即可作出判断，同时也可通过举出反例，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，对于选项A中，当时，此时，所以是错误的；‎ 对于选项B中，当时，此时不等式不一定成立，所以是错误的．‎ 对于选项C中，当时，不等式不成立，所以是错误的．‎ 根据不等式的性质，可得若时，则是成立的，所以是正确的，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的性质，合理进行判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎2．已知全集为，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用对数函数的性质化简集合，利用一元二次不等式的解法化简集合，然后利用补集与交集的定义求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ ‎，‎ 所以 或.‎ 所以.故选A.‎ ‎【点睛】‎ 研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合且不属于集合的元素的集合.‎ ‎3．已知x，y的取值如下表：‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎2.2‎ ‎4.3‎ ‎4.8‎ ‎6.7‎ 根据上表可得回归方程为，则＝（ ）‎ A．3.25 B．2.6 C．2.2 D．0‎ ‎【答案】B ‎【解析】求出样本中心，代入回归方程即可解出．‎ ‎【详解】‎ ‎，，把样本点中心代入 回归方程得，∴．‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程的性质，属于基础题．‎ ‎4．若，，成等差数列，则的值等于（ ）‎ A．0 B．‎ C．32 D．0或32‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，，成等差数列，利用对数的性质，得，‎ 即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 依题意知成等差数列，得，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，∴或(舍)，‎ ‎∴，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的应用，以及对数的运算性质，其中解答根据等差数列得出方程，准确利用对数的运算性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎5．若向量的夹角为，且，，则（ ）‎ A． B． C．4 D．8‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用平面向量数量积的运算法则求出的值，进而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为向量的夹角为，且，，‎ 所以 ，‎ 所以.故选.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查平面向量的模以及平面向量数量积的运算法则，属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.‎ ‎6．已知，则的值为（ ）‎ A． B． C．4 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】化简，再利用切化弦的方法求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，上下同时除以得 答案选D ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数切化弦的求值问题，难点在于分母要化成弦的2次式的形态.‎ ‎7．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某棱锥的三视图，则该棱锥中最长的棱长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】作出直观图，根据三视图的数据和勾股定理计算各棱长即可．‎ ‎【详解】‎ 解：作出四棱锥A﹣BCDE的直观图如图所示：‎ 由三视图可知底面BCDE是直角梯形， DE∥BC，BC⊥BE，‎ DE⊥面ABE，AE⊥BE，‎ 且AE＝BE＝DE＝4，BC＝2，‎ ‎∴AD＝AB＝4，AC＝6，CD，‎ ‎∴AC为四棱锥的最长棱．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了棱锥的结构特征和三视图，考查空间想象能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎8．若直线把圆分成面积相等的两部分，则的最小值为(　　)‎ A．10 B．8 C．5 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“1”的代换的方法以及基本不等式，求得所求和的最小值.‎ ‎【详解】‎ 圆的圆心为，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即，即，故，当且仅当，即时，取得最小值为.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“1”的代换和基本不等式求解和式的最小值问题.直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的.要注意的是，圆的标准方程是，圆心是，所以本题的圆心是，而不是.‎ ‎9．执行如图所示的程序框图，当输出的值为时，则输入的值是（ ）‎ A． B．或 C．或 D．或 ‎【答案】C ‎【解析】阅读程序框图，该程序是计算并输出的值,分类讨论解方程即可.‎ ‎【详解】‎ 根据程序框图，该程序是计算并输出的值,‎ 由于输出的值为1,‎ 可得时，,解得或(舍去）；‎ 时，,解得或 (舍去），‎ 即输入的值是或，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考察程序框图和算法，属于基础题. 算法是新课标高考的一大热点，其中算法的交汇性问题已成为高考的一大亮，这类问题常常与函数、数列、不等式等交汇自然，很好地考查考生的信息处理能力及综合运用知识解决问題的能力，解决算法的交汇性问题的方：（1）读懂程序框图、明确交汇知识，(2）根据给出问题与程序框图处理问题即可.‎ ‎10．若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是(　　)‎ A．k>2 B．－32 D．以上都不对 ‎【答案】D ‎【解析】根据方程表示圆及点在圆外，列不等式组，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意知x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0为圆的方程，‎ 所以，解得 ，‎ 又由题可得点(1,2)在圆外，故12＋22＋k＋2×2＋k2－15>0，解得k<－3或k>2.所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二次方程表示圆，点与圆的位置关系，关键是题意的转化，把恒有两条切线转化为点在圆外.‎ ‎11．已知等差数列和的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据等差数列的性质和前n项和公式，可得，要使得为正整数，求得的取值个数，即可求解，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据等差数列的性质和前n项和公式，‎ 可得 ，‎ 要使得为正整数，则或，‎ 所以要使得为正整数的正整数n的个数为2个，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了等差数列的性质，以及前n项和公式的应用，其中解答中根据等差数列的性质和前n项和公式，化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。‎ ‎12．定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于成中心对称，若满足不等式，则当时，的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由已知条件知函数为奇函数且在上为减函数,由有,所以，,若以为横坐标,为纵坐标,建立平面直角坐标系,如图所示,阴影部分为不等式表示的平面区域,即及其内部,,令,则,求出,所以,解得,∴的取值范围是,选D.‎ ‎【考点】1.函数的基本性质；2.线性规划.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查了函数的性质:单调性和奇偶性,以及线性规划的相关知识,属于中档题. 利用已知条件得出函数是上的减函数,由函数的图象关于成中心对称，根据图象的平移,得出的图象关于原点成中心对称,所以为奇函数,解不等式,得出,画出不等式组表示的平面区域,,则,通过图形求关于的一次函数的斜率得出的范围,从而求出的范围.‎ 二、填空题 ‎13．设点（m，n）在直线x+y=1位于第一象限内的图象上运动，则log2m+log2n的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先根据点在直线上得到m与n的等式关系，然后欲求两个对数的和的最值，根据对数的性质和基本不等式进行化简变形，注意这个关系中等号成立的条件．‎ ‎【详解】‎ ‎∵点（m，n）在直线x+y＝1位于第一象限内的图象上运动 ‎∴m+n＝1，m＞0，n＞0，‎ ‎∴log2m+log2n＝log2（mn）≤log2（）2＝log22﹣2＝﹣2，‎ 当且仅当m＝n时“＝”成立．‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了对数的性质，以及基本不等式的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．‎ ‎14．已知函数，则=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求内层函数值，再求外层函数值.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，函数 ，‎ 则，‎ 则；‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数求值问题，分段函数的求值问题主要是利用“对号入座”策略.‎ ‎15．太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫、白外五观的标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗、新加坡空军机徽……，太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分的区域可用小等式组或来表示，设是阴影中任意一点，则的最大值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接利用线性规划知识求最值。‎ ‎【详解】‎ 如图，作出直线：，‎ 当直线往上平移至与阴影部分的圆的边界相切时，最大，‎ 此时圆心到直线的距离等于半径1，即： .‎ 解得：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线性规划知识，考查转化能力及直线与圆相切的几何关系，属于基础题。‎ ‎16．若不等式对任意都成立，则实数的最小值为________．‎ ‎【答案】100‎ ‎【解析】由正弦定理得 ‎ 因此 ，即的最小值为100‎ 三、解答题 ‎17．已知 ， ， .‎ ‎（1）求 的最小值；‎ ‎（2）求 的最小值.‎ ‎【答案】(1) 64 ,(2) x+y的最小值为18.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用基本不等式构建不等式即可得出；‎ ‎（2）由，变形得，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．‎ 试题解析：(1)由 ，得 ,又 ， ，故,‎ 故，当且仅当即时等号成立，∴ ‎ ‎(2)由2,得,则 .当且仅当即时等号成立.∴ ‎ ‎【点睛】本题考查了基本不等式的应用，熟练掌握“乘1法”和变形利用基本不等式是解题的关键．‎ ‎18．中角，，的对边分别为，，，己如.‎ ‎（1）求的值：‎ ‎（2）若，，求的面积.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）由切化弦公式，代入，并整理可得，这样根据两角和的正弦公式可得 ‎，根据正弦定理可得出，得到结果；‎ ‎（2）根据条件，结合（1）的结论，得到，利用余弦定理可得，结合，利用三角形的面积公式求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 所以．‎ 化简得． ‎ 即．‎ 因在中，，则． ‎ 从而． ‎ 由正弦定理，得．‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）知，且，所以．‎ 因为，所以． ‎ 即．‎ 所以．‎ 所以．‎ 所以△的面积为．‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦和角公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，属于简单题目.‎ ‎19．如图，在三棱柱中，是棱的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若是棱的中点，求三棱锥的体积与三棱柱的体积之比.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）连接AC1交A1C于点O，连接OD，由中位线定理可得OD∥BC1，故而BC1∥平面A1CD；（2）根据棱锥和棱柱的体积公式即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：连接AC1交A1C于点O，连接OD，‎ ‎∵CC1∥AA1，CC1＝AA1，‎ ‎∴四边形AA1C1C是平行四边形，‎ ‎∴O是AC1的中点，又D是AB的中点，‎ ‎∴OD∥BC1，又OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，‎ ‎∴BC1∥平面A1CD．‎ ‎（2）设三棱柱A1B1C1﹣ABC的高为h，则三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积V＝S△ABC•h，‎ 又V＝VV，VVS△ABC•h，‎ ‎∴V，‎ ‎∵CC1∥BB1，CC1⊄平面ABB1A1，BB1⊂平面ABB1A1，‎ ‎∴CC1∥平面ABB1A1，‎ ‎∴VV，‎ ‎∵SS，∴VV，‎ ‎∴三棱锥C﹣AA1E的体积与三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积之比为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．‎ ‎20．如图，在直角坐标系中，圆与轴负半轴交于点，过点的直线,分别与圆交于,两点．‎ ‎（Ⅰ）若,，求的面积；‎ ‎（Ⅱ）若直线过点，证明：为定值，并求此定值．‎ ‎【答案】（I）；（II）证明见解析，．‎ ‎【解析】试题分析：（I）由题意，得出直线的方程为，直线的方程为，由中位线定理，得，由此可求解的面积；（II）当直线斜率存在时，设直线的方程为 ，代入圆的方程，利用根与系数的关系、韦达定理，即可化简得出为定值；当斜率不存在时，直线的方程为，代入圆的方程可得：，，即可得到为定值．‎ 试题解析：（Ⅰ）由题知，所以，为圆的直径，‎ 的方程为，直线的方程为，‎ 所以圆心到直线的距离，‎ 所以，由中位线定理知，，‎ ‎ ；‎ ‎（Ⅱ）设、，‎ ‎①当直线斜率存在时，设直线的方程为 ，代入圆的方程中有：‎ ‎，整理得：，‎ 则有，，‎ ‎ ；‎ ‎②当直线斜率不存在时，直线的方程为，‎ 代入圆的方程可得：，，；‎ 综合①②可得：为定值，此定值为．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了三角形的面积的求法、定值的确定与计算、直线与椭圆的位置关系的综合应用，此类问题的解答中，把直线的方程代入圆锥曲线的方程，得到一元二次方程，利用判别式、根据系数的关系、韦达定理的合理运用是解答的关键，着重考查了分类讨论思想和分析问题和解答问题的能力，综合性强、运算量大，属于中档试题．‎ ‎21．函数的部分图象如图所示.‎ ‎（1）求的解析式.‎ ‎（2）若不等式，对任意恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）f (x)＝2sin(2x－)． ‎ ‎（2）（－3，）．‎ ‎【解析】（1）利用，再用，求出即可；（2），得，转化成，最后求出的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，‎ 又因为，且，所以，‎ 故． ‎ ‎（2）由（1）知，当时，，‎ ‎，即，‎ 又对任意，恒成立，‎ ‎，即，‎ 故的取值范围是．‎ ‎【点睛】‎ 本题属于三角函数的综合题，考查了三角函数的周期性和已知定义域，求三角函数的值域等问题，难点在于对绝对值要进行分段处理和化简.‎ ‎22．已知数列的前项和为，且.‎ ‎（1）证明是等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（2）求；‎ ‎（3）设,若对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）； （2）； （3）.‎ ‎【解析】（1）设，将已知条件中的式子进行转化，可得，从而证得其为等比数列，之后利用等比数列的通项公式求得，进而求得；‎ ‎（2）利用错位相减法对数列求和，求得；‎ ‎（3）根据题意求得，将恒成立转化为，利用作差比较法，求得，观察得出，进而求得的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，则只需证明为等比数列即可，‎ 因为为常数， ‎ 所以数列是公比为的等比数列，且首项，‎ 则，所以. ‎ ‎（2）由（1）知 ①‎ ‎ ②‎ ‎ ①-②得，‎ ‎（3）由（2）得，，‎ 要使得对恒成立，只需， ‎ 因为， ‎ 所以，当时，，即，‎ 当时，，即，所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等比数列的证明，等比数列的通项公式，错位相减法求和，将恒成立问题向最值靠拢，属于中档题目.‎