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- 2021-06-15 发布
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2018年湖北省荆州市高考数学一模试卷(理科)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项正确.
1.(5分)已知集合A={x|≥0,x∈R},B={y|y=3x2+1,x∈R}.则A∩B=( )
A.∅ B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.(﹣∞,0)∪(1,+∞)
2.(5分)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是( )
A.y=ex B.y=tanx C.y=x3﹣x D.y=ln
3.(5分)已知角α的终边经过点P(﹣5,﹣12),则sin(+α)的值等于( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
4.(5分)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5=3,a8=8,则a12的值是( )
A.15 B.30 C.31 D.64
5.(5分)若a,b,c为实数,下列结论正确的是( )
A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若a<b<0,则
C.若a<b<0,则 D.若a>b>0,则a2>ab>b2
6.(5分)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项,则的值为( )
A. B.4 C.2 D.
7.(5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,,sinB=2sinC,则△ABC的面积是( )
A. B. C. D.
8.(5分)函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
9.(5分)已知x、y满足约束条件,如果目标函数的取值范围为[0,2),则实数a的取值范围是( )
A.a≥1 B.a≤2 C.a<2 D.a<1
10.(5分)已知函数,若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11.(5分)定义在R上的函数f(x)满足f(x﹣3)=f(﹣x﹣3),且当x≤﹣3时,f(x)=ln(﹣x).若对任意x∈R,不等式f(sinx﹣t)>f(3sinx﹣1)恒成立,则实数t的取值范围是( )
A.t<﹣3或t>9 B.t<﹣1或t>3 C.﹣3<t<9 D.t<1或t>9
12.(5分)设函数f(x)=ex+1﹣ma,g(x)=aex﹣x(m,a为实数),若存在实数a,使得f(x)≤g(x)对任意x∈R恒成立,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题
13.(5分)计算定积分= .
14.(5分)已知实数a>0,b>0,是8a与2b的等比中项,则的最小值是 .
15.(5分)某商船在海上遭海盗袭扰,正以15海里/h的速度沿北偏东15°方向行驶,此时在其南偏东45°方向,相距20海里处的我海军舰艇接到命令,必须在80分钟内(含80分钟)追上商船为其护航.为完成任务,我海军舰艇速度的最小值为 (海里/h).
16.(5分)在数列{an}中,a1=1,n≥2时,an=an﹣1+n,若不等式对任意n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围是 .
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(12分)已知函数.
(1)若f(x)=0,,求x的值;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若曲线y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线对称,求函数h(x)在上的值域.
18.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+n=2an(n∈N*).
(1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=nan+n,数列{bn}的前n项和为Tn,求满足不等式的n的最小值.
19.(12分)已知点O是等边△ABC内一点,BC=3,∠BOC=120°,设∠BCO=θ.
(1)若AO=BO,求θ;
(2)设△BOC与△AOC的面积差为S,求S关于θ的函数S(θ),那么θ取何值时,S(θ)有最大值?最大值是多少?
20.(12分)习总书记在十九大报告中明确指出,“要着力解决突出环境问题,坚持全民共治,源头防治,持续实施大气污染防治行动,打赢蓝天保卫战.”.为落实十九大报告精神,某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为:,x∈[0,24],其中a是与气象有关的参数,且.
(1)令,x∈[0,24],求t(x)的最值;
(2)若用每天f(x)的最大值作为当天的综合污染指数,市政府规定:每天的综合污染指数不得超过2.试问目前市中心的综合污染指数是否超标?
21.(12分)已知函数f(x)=ex﹣m﹣xlnx﹣(m﹣1)x,m∈R,f′(x)为函数f(x)的导函数.
(1)若m=1,求证:对任意x∈(0,+∞),f′(x)≥0;
(2)若f(x)有两个极值点,求实数m的取值范围.
选修4-4:坐标系与参数方程
22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数).
(1)求曲线C的普通方程;
(2)在以O为极点,x正半轴为极轴的极坐标系中,直线l方程为,已知直线l与曲线C相交于A、B两点,求|AB|.
选修4-5:不等式选讲
23.已知函数f(x)=|x﹣a|,不等式f(x)≤3的解集为[﹣6,0].
(1)求实数a的值;
(2)若f(x)+f(x+5)≥2m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
2018年湖北省荆州市高考数学一模试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项正确.
1.(5分)已知集合A={x|≥0,x∈R},B={y|y=3x2+1,x∈R}.则A∩B=( )
A.∅ B.(1,+∞) C.[1,+∞) D.(﹣∞,0)∪(1,+∞)
【解答】解:∵集合A={x|≥0,x∈R}={x|x≤0或x>1},
B={y|y=3x2+1,x∈R}={y|y≥1}.
∴A∩B={x|y>1}=(1,+∞).
故选:B.
2.(5分)下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是( )
A.y=ex B.y=tanx C.y=x3﹣x D.y=ln
【解答】解:函数y=ex,不是奇函数,不满足题意;
函数y=tanx是奇函数,但在定义域内图象是不连续的,不是增函数,不满足题意;
函数y=x3﹣x是奇函数,当x∈(﹣,)时,y′=3x2﹣1<0为减函数,不满足题意;
函数y=ln是奇函数,在定义域(﹣2,2)上内函数为增函数,
外函数y=lnt也为增函数,故函数y=ln在定义域内为增函数,满足题意;
故选:D
3.(5分)已知角α的终边经过点P(﹣5,﹣12),则sin(+α)的值等于( )
A.﹣ B.﹣ C. D.
【解答】解:∵角α的终边经过点P(﹣5,﹣12),则sin(+α)=﹣cosα=﹣=,
故选:C.
4.(5分)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5=3,a8=8,则a12的值是( )
A.15 B.30 C.31 D.64
【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,∵a3+a4+a5=3,a8=8,
∴3a4=3,即a1+3d=1,a1+7d=8,
联立解得a1=﹣,d=
则a12=﹣+×11=15.
故选:A.
5.(5分)若a,b,c为实数,下列结论正确的是( )
A.若a>b,c>d,则ac>bd B.若a<b<0,则
C.若a<b<0,则 D.若a>b>0,则a2>ab>b2
【解答】解:对于A:若a>0,b,c,d均小于0,则不正确,
对于B:若a<b<0,则a2>b2,则 >,即>,故B不正确,
对于C:若a<b<0,则<,即<,故C不正确,
对于D:若a>b>0,则a2>ab>b2,正确,
故选:D.
6.(5分)已知数列{an}是公差不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}的连续三项,则的值为( )
A. B.4 C.2 D.
【解答】解:数列{an}是公差d不为0的等差数列,且a1,a3,a7为等比数列{bn}
的连续三项,
∴=a1•a7,可得=a1(a1+6d),化为:a1=2d≠0.
∴公比q====2.
则==.
故选:A.
7.(5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知,,sinB=2sinC,则△ABC的面积是( )
A. B. C. D.
【解答】解:∵,,sinB=2sinC,可得:b=2c.sinA==,
∴由a2=b2+c2﹣2bccosA,可得:8=4c2+c2﹣3c2,解得c=2,b=4.
∴S△ABC=bcsinA=×2×4×=.
故选:A.
8.(5分)函数的图象大致为( )
A. B. C. D.
【解答】解:函数是非奇非偶函数,排除A、B,
函数的零点是x=e﹣1,当x=e时,f(e)=,排除选项D.
故选:C.
9.(5分)已知x、y满足约束条件,如果目标函数的取值范围为[0,2),则实数a的取值范围是( )
A.a≥1 B.a≤2 C.a<2 D.a<1
【解答】解:x、y满足约束条件的可行域如图:
目标函数的取值范围为[0,2),说明可行域内的点与(a,﹣2)的连续的斜率的范围是[0,2),
直线2x﹣y﹣4=0的斜率为2;
由图形可知(a,﹣2)在BA的直线上,A的左侧,
所以a<1.
故选:D.
10.(5分)已知函数,若函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点,则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【解答】解:f(x)=cosωx+sinωx=sin(ωx+).
令ωx+=kπ可得x=﹣+,k∈Z.
令π<﹣+<2π解得ω+<k<2ω+,
∵函数f(x)在区间(π,2π)内没有零点,
∴区间(ω+,2ω+)内不存在整数.
又•≥2π﹣π=π,∴ω≤1,
又ω>0,
∴(ω+,2ω+)⊂(0,1)或(ω+,2ω+)⊂(1,2).
∴2ω+≤1或1≤ω+<2ω+≤2,
解得0<ω≤或≤ω≤.
故选C.
11.(5分)定义在R上的函数f(x)满足f(x﹣3)=f(﹣x﹣3),且当x≤﹣3时,f(x)=ln(﹣x).若对任意x∈R,不等式f(sinx﹣t)>f(3sinx﹣1)恒成立,则实数t的取值范围是( )
A.t<﹣3或t>9 B.t<﹣1或t>3 C.﹣3<t<9 D.t<1或t>9
【解答】解:∵f(x﹣3)=f(﹣x﹣3),
∴f(x)关于直线x=﹣3对称,
当x≤﹣3时,f(x)=ln(﹣x),
故f(x)在(﹣∞,﹣3]递减,在(﹣3,+∞)递增,
若对任意x∈R,不等式f(sinx﹣t)>f(3sinx﹣1)恒成立,
则或,
即1﹣t>2或1﹣t<﹣2,
解得:t<﹣1或t>3,
故选:B.
12.(5分)设函数f(x)=ex+1﹣ma,g(x)=aex﹣x(m,a为实数),若存在实数a,使得f(x)≤g(x)对任意x∈R恒成立,则实数m的取值范围是( )
A. B. C. D.
【解答】解:令h(x)=f(x)﹣g(x)=ex+1﹣ma﹣aex+x=(e﹣a)ex﹣ma+x,
则h′(x)=(e﹣a)ex+1,
若e﹣a≥0,可得h′(x)>0,函数h(x)为增函数,当x→+∞时,h(x)→+∞,
不满足h(x)≤0对任意x∈R恒成立;
若e﹣a<0,由h′(x)=0,得,则x=ln,
∴当x∈(﹣∞,ln)时,h′(x)>0,当x∈(ln,+∞)时,h′(x)<0,
∴==.
若f(x)≤g(x)对任意x∈R恒成立,
则≤0(a>e)恒成立,
若存在实数a,使得≤0成立,
则ma≥ln,
∴(a>e),
令F(a)=,
则F′(a)===.
∴当a<2e时,F′(a)<0,当a>2e时,F′(a)>0,
则.
∴m.
则实数m的取值范围是[).
故选:C.
二、填空题
13.(5分)计算定积分= e﹣1 .
【解答】解:=(ex)=e﹣1,
故答案为:e﹣1.
14.(5分)已知实数a>0,b>0,是8a与2b的等比中项,则的最小值是 5+2 .
【解答】解:实数a>0,b>0,是8a与2b的等比中项,∴8a•2b=2,∴23a+b=2,解得3a+b=1.
则=(3a+b)=5+≥5+2=5+2,当且仅当b=a=﹣2时取等号.
故答案为:.
15.(5分)某商船在海上遭海盗袭扰,正以15海里/h的速度沿北偏东15°方向行驶,此时在其南偏东45°方向,相距20海里处的我海军舰艇接到命令,必须在80分钟内(含80分钟)追上商船为其护航.为完成任务,我海军舰艇速度的最小值为 15 (海里/h).
【解答】解:设海盗袭扰处为C,我海军舰艇为A,B为商船,
由条件知∠ACB=120°,AC=20海里,
设我海军舰艇速度为x,可得BC=15×=20,AB=x,
由余弦定理AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB.
得:(x)2=202+202﹣2×20×20cos120°,
解得:x=15,
故我海军舰艇速度的最小值为,
故答案为:15.
16.(5分)在数列{an}中,a1=1,n≥2时,an=an﹣1+n,若不等式对任意n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围是 [2,+∞) .
【解答】解:在数列{an}中,a1=1,n≥2时,an=an﹣1+n,即an﹣an﹣1=n,
∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1
=n+(n﹣1)+…+2+1
=,(n=1时也成立).
∴an=.
不等式化为:λ>,
由于2>,
不等式对任意n∈N*恒成立,
则λ≥2.
则实数λ的取值范围是:[2,+∞).
故答案为:[2,+∞).
三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(12分)已知函数.
(1)若f(x)=0,,求x的值;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)的图象,若曲线y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线对称,求函数h(x)在上的值域.
【解答】解:=
=.
(1)由f(x)=0,得,
∴,
∴,或,k∈Z.
又∵,
∴x=或0或;
(2)将函数f(x)的图象向左平移个单位,
可得函数图象的解析式为y==2cos2x+1,
再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数g(x)=2cosx+1,
又曲线y=h(x)与y=g(x)的图象关于直线对称,
∴=2sinx+1,
∵x∈,∴sinx∈.
故函数h(x)的值域为(0,3].
18.(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn+n=2an(n∈N*).
(1)证明:数列{an+1}为等比数列,并求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=nan+n,数列{bn}的前n项和为Tn,求满足不等式的n的最小值.
【解答】(1)证明:当n=1时,a1+1=2a1,∴a1=1.
∵Sn+n=2an,n∈N*,
∴当n≥2时,Sn﹣1+n﹣1=2an﹣1,
两式相减得:an+1=2an﹣2an﹣1,即an=2an﹣1+1,
∴an+1=2(an﹣1+1),
∴数列{an+1}为以2为首项,2为公比的等比数列,
∴,
则,n∈N*;
(2)解:∵,
∴,
∴,
两式相减得:,
∴,
由,得,
设,
∵>0,
∴数列{cn}为递增数列,
∵,,
∴满足不等式的n的最小值为11.
19.(12分)已知点O是等边△ABC内一点,BC=3,∠BOC=120°,设∠BCO=θ.
(1)若AO=BO,求θ;
(2)设△BOC与△AOC的面积差为S,求S关于θ的函数S(θ),那么θ取何值时,S(θ)有最大值?最大值是多少?
【解答】解:(1)∵OA=OB,CA=CB,∴△ACO≌△BCO.
∴,
∴∠BCO=θ=300. (4分)
(2)在△BOC中,∠OBC=60°﹣θ,
由正弦定理有:,∴,(6分)
又;,
∴=3sin(600﹣θ)(sinθ﹣+)
=9()()
=9()=,θ∈(0,600)(10分)
故当2θ=900,即θ=450时S(θ)取得最大值.(12分)
20.(12分)习总书记在十九大报告中明确指出,“要着力解决突出环境问题,坚持全民共治,源头防治,持续实施大气污染防治行动,打赢蓝天保卫战.”.为落实十九大报告精神,某市环保研究所对市中心每天环境污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为:
,x∈[0,24],其中a是与气象有关的参数,且.
(1)令,x∈[0,24],求t(x)的最值;
(2)若用每天f(x)的最大值作为当天的综合污染指数,市政府规定:每天的综合污染指数不得超过2.试问目前市中心的综合污染指数是否超标?
【解答】解:(1)由,x∈[0,24],
得,
令t′(x)≥0,得(x+2)(x﹣2)≤0,即0≤x≤2,
令t′(x)<0,得(x+2)(x﹣2)>0,即x>2,
∴t(x)在[0,2]上递增,在(2,+∞)上递减,
∴当x=0时,t(x)min=0;当x=2时,;
(2)由(1),
令g(t)=f(x)=t•|t﹣a|+,t∈[0,],
则g(t)=,
∵g(t)在和上递增,在上递减,
且,g()=,
,
令,解得;
令,解得0,
∴,
∵fmax(x)≤1,
∴目前市中心的综合污染指数没有超标.
21.(12分)已知函数f(x)=ex﹣m﹣xlnx﹣(m﹣1)x,m∈R,f′(x)为函数f(x)的导函数.
(1)若m=1,求证:对任意x∈(0,+∞),f′(x)≥0;
(2)若f(x)有两个极值点,求实数m的取值范围.
【解答】解:(1)m=1时,f(x)=ex﹣1﹣xlnx,f′(x)=ex﹣1﹣lnx﹣1
令G(x)=ex﹣1﹣x,则G′(x)=ex﹣1﹣1,当x>1时,G′(x)>0
当x<1时,G′(x)<0,故G(x)在(﹣∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以G(x)≥G(1)=0,即ex﹣1≥x(当且仅当x=1时取等号).
令j(x)=x﹣1﹣lnx(x>0),则j′(x)=,当0<x<1时,j′(x)<0,
当x>1时,j′(x)>0,故j(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以j(x)≥j(1)=0,即x≥lnx+1(当且仅当x=1时取等号).
当 f′(x)=ex﹣1﹣lnx﹣1≥x﹣(lnx+1)≥0(当且仅当x=1时取等号)
所以,∀x∈(0,+∞),f′(x)≥0;(4分)
(2)f(x)有两个极值点,即f′(x)=ex﹣m﹣lnx﹣m有两个变号零点.
①当m≤1时,f′(x)=ex﹣m﹣lnx﹣m≥ex﹣1﹣lnx﹣1,由(1)知f′(x)≥0,
则f(x)在(0,+∞)上是增函数,无极值点; (6分)
②当m>1时,令g(x)=f′(x),则,
∵g′(1)=e1﹣m﹣1<0>0,且g′(x)在(0,+∞)上单增,
∴∃x0∈(1,m),使g′(x0)=0.
当x∈(0,x0)时,g′(x)<0;当x∈(x0,+∞)时,g′(x)>0.
所以,g(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增.
则g(x)在x=x0处取得极小值,也即最小值g(x0)=.(8分)
由g′(x0)=0得m=x0+lnx0,则g(x0)=(9分)
令h(x)=(1<x<m)则,h(x)在(1,m)上单调递减,
所以h(x)<h(1)=0.即g(x0)<0,(10分)
又x→0时,g(x)→+∞,x→+∞时,g(x)→+∞,故g(x)在(0,+∞)上有
两个变号零点,从而f(x)有两个极值点.所以,m>1满足题意.(11分)
综上所述,f(x)有两个极值点时,m的取值范围是(1,+∞).(12分)(其他解法酌情给分)
选修4-4:坐标系与参数方程
22.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数).
(1)求曲线C的普通方程;
(2)在以O为极点,x正半轴为极轴的极坐标系中,直线l方程为,已知直线l与曲线C相交于A、B两点,求|AB|.
【解答】解:(1)曲线C的参数方程为(α为参数).
由已知,整理得:
普通方程为,
化简得x2+y2=2.
(2)由ρsin(﹣θ)+=0,
知,化为普通方程为x﹣y+=0
圆心到直线l的距离h=,
由垂径定理.
选修4-5:不等式选讲
23.已知函数f(x)=|x﹣a|,不等式f(x)≤3的解集为[﹣6,0].
(1)求实数a的值;
(2)若f(x)+f(x+5)≥2m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
【解答】解:(1)由f(x)≤3,得|x﹣a|≤3,
∴a﹣3≤x≤a+3,
又f(x)≤3的解集为[﹣6,0],
解得:a=﹣3; (5分)
(2)∵f(x)+f(x+5)=|x+3|+|x+8|≥5.
又f(x)+f(x+5)≥2m对一切实数x恒成立,
∴2m≤5,
m≤(10分)