江苏高考数学模拟考试 9页

‎2020江苏高考数学模拟考试 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．‎ ‎1．若函数的最小正周期是，则 ▲ ．‎ ‎2．若复数是纯虚数，则实数的值是 ▲ ．‎ ‎3．已知平面向量，，且，则实数 ▲ ．‎ 开始 结束 是 否 输出 ‎（第5题）‎ ‎4．一个袋中有3个大小质地都相同的小球，其中红球1个，白球2个，现从袋中有放回地取球，每次随机取一个，则连续取两次都是白球的概率是 ▲ ．‎ ‎5．右图是某程序的流程图，则其输出结果为 ▲ ．‎ ‎6．给出下列四个命题：‎ ‎（1）如果平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面相交 ‎（2）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 ‎（3）如果平面⊥平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平面也不垂直 ‎（4）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 真命题的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）‎ ‎7．已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为 ▲ ．‎ ‎8．已知二次函数的值域是，则的最小值是 ▲ ．‎ ‎9．设函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 ▲ ．‎ ‎10．若动点在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动，则的取值范围是 ▲ ．‎ ‎11．在中，边上的中线，若动点P满足 ‎，则的最小值是 ▲ ．‎ ‎12．设是函数定义域内的一个区间，若存在，使，则称是的一个“次不动点”，也称在区间上存在次不动点．若函数在区间上存在次不动点，则实数的取值范围是 ▲ ．‎ ‎1‎ ‎3 5‎ ‎7 9 11‎ ‎……‎ ‎（第12题）‎ ‎13．将所有的奇数排列如右表，其中第行第个数表示为，例如．若，则 ▲ ．‎ ‎14．若实数成等差数列，点在动直线上的射影为，点，则线段长度的最大值是 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 已知△中，∠A，∠B，∠C的对边分别为，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎20070316‎ ‎（2）设向量，，求当取最大值时，的值．‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，直四棱柱中，底面ABCD是直角梯形，，，．‎ ‎（1）求证：是二面角的平面角；‎ A B C D D1‎ C1‎ B1‎ A1‎ ‎（2）在A1B1上是否存一点P，使得DP与平面BCB1与平面ACB1都平行？证明你的结论．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 某货轮匀速行驶在相距300海里的甲、乙两地间，运输成本由燃料费用和其它费用组成，已知该货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比（比例系数为），其它费用为每小时元，根据市场调研，得知的波动区间是，且该货轮的最大航行速度为50海里/小时．‎ ‎（1）请将从甲地到乙地的运输成本（元）表示为航行速度（海里/小时）的函数；‎ ‎（2）要使从甲地到乙地的运输成本最少，该货轮应以多大的航行速度行驶？‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 已知中心在原点、焦点在轴上的椭圆过点，离心率为．如图，平行于的直线交椭圆于不同的两点．‎ ‎（1）当直线经过椭圆的左焦点时，求直线的方程；‎ ‎（2）证明：直线与轴总围成等腰三角形．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知函数，其中常数．‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）如果函数在公共定义域D上，满足，那么就称 为与的“和谐函数”．设，求证：当时，在区间上，函数与的“和谐函数”有无穷多个．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知无穷数列的各项均为正整数，为数列的前项和．‎ ‎（1）若数列是等差数列，且对任意正整数都有成立，求数列的通项公式；‎ ‎（2）对任意正整数，从集合中不重复地任取若干个数，这些数之间经过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数，且这些正整数与一起恰好是1至全体正整数组成的集合．‎ ‎ （i）求的值；（ii）求数列的通项公式．‎ 数学Ⅱ（附加题）‎ ‎21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在 答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ A．选修：几何证明选讲 如图，设为⊙O的任一条不与直线垂直的直径，是⊙O与的公共点，AC⊥，BD⊥，垂足分别为C、D，且，求证：平分∠ABD．‎ B．选修：矩阵与变换 已知矩阵的一个特征值为，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．‎ C．选修：坐标系与参数方程 若直线（参数）与圆（参数，为常数）相切，求的值．‎ D．选修：不等式选讲 若对于一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎22．（本小题满分10分）‎ 一个口袋装有5个红球，3个绿球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中绿球的个数记为．‎ ‎（1）求摸出的三个球中既有红球又有绿球的概率；‎ ‎（2）的分布列及的数学期望．‎ ‎23．（本小题满分10分）‎ 已知数列中，，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求证：当时，．‎ ‎2012江苏高考最后一卷 试题答案与评分标准 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．‎ ‎1．【解析】本题主要考查三角函数的周期性．‎ ‎【答案】2‎ ‎2．【解析】本题主要考查复数的概念和运算．‎ ‎【答案】‎ ‎3．【解析】本题主要考查平面向量的垂直．‎ ‎【答案】3‎ ‎4．【解析】本题主要考查古典概型．‎ ‎【答案】‎ ‎5．【解析】本题主要考查流程图．‎ ‎【答案】‎ ‎6．【解析】本题主要考查立体几何中的平行与垂直关系．‎ ‎【答案】（3）（4）‎ ‎7．【解析】本题主要考查圆锥曲线中离心率的计算．‎ ‎【答案】‎ ‎8．【解析】本题主要考查基本不等式．‎ ‎【答案】3‎ ‎9．【解析】本题主要考查函数的性质．‎ ‎ ‎ O ‎ ‎ ‎1‎ - ‎ ‎ ‎1‎ - ‎ ‎ ‎4‎ ‎ ‎ ‎2‎ ‎ ‎ x ‎ ‎ y ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎10．【解析】本题主要考查线性规划．‎ ‎【答案】‎ ‎ 解答如下：‎ 画出可行域（如图所示阴影部分），而，其中表示与点连线的斜率，由图可知，故 ‎11．【解析】本题主要考查平面向量的概念与数量积．‎ ‎【答案】‎ ‎ 解答如下：‎ ‎ 因为且，所以点P在线段上，故，设，则，当时取最小值 ‎12．【解析】本题主要考查函数的概念和最值．‎ ‎【答案】‎ ‎ 解答如下：‎ 由题意，存在，使．当时，使；当时，解得．设，则由，得或（舍去），且在上递增，在上递减．因此当时，，所以的取值范围是．‎ ‎13．【解析】本题主要考查数列的通项．‎ ‎【答案】34‎ ‎ 解答如下：‎ 可以求得通项，所以且，从而，解得，于是，故 ‎14．【解析】本题主要考查直线与圆的方程及位置关系．‎ ‎【答案】‎ 解答如下：‎ 由题可知动直线过定点．设点，由可求得点的轨迹方程为圆，故线段长度的最大值为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．‎ ‎15．本题主要考查平面向量的数量积、边角关系的互化，考查运算求解能力．‎ 解：（1）由题意， …………………………………… 2分 所以. …………………………………… 3分 因为，所以.‎ 所以. ………………………………………………………………………………… 5分 因为，所以. ………………………………………………………………… 6分 ‎（2）因为 …………………………………………………………… 8分 所以……………………………… 10分 所以当时，取最大值 此时（），于是 …………………………………………… 12分 所以 …………………………………………………………… 14分 ‎16．本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象能力、推理论证能力．‎ 证明：（1） 直棱柱中，BB1⊥平面ABCD，BB1⊥AC．…………………… 2分 又∠BAD＝∠ADC＝90°，，‎ ‎∴，∴BC⊥AC．…………………………………………… 5分 ‎∴平面，∴‎ 是二面角的平面角．………………………………………… 7分 ‎（2）存在点P，P为A1B1的中点．………………………………………………………… 8分 由P为A1B1的中点，有PB1‖AB，且PB1＝AB．‎ 又∵DC‖AB，DC＝AB，DC ∥PB1，且DC＝ PB1，‎ ‎∴DC PB1为平行四边形，从而CB1∥DP． ……………………………………… 11分 又CB1面ACB1，DP 面ACB1，DP‖面ACB1． …………………………… 12分 同理，DP‖面BCB1． ………………………………………………………………… 14分 ‎17．本题主要考查，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际问题的能力．‎ 解：（1）由题意，每小时的燃料费用为 ……………………………………… 1分 从甲地到乙地所用的时间为小时 …………………………………………………… 2分 则从甲地到乙地的运输成本，‎ 即，…………………………………………………………… 6分 ‎（2）…………………………………………………………………………… 8分 令，得（负值舍去）‎ 当时，关于单调递减 当时，关于单调递增 ………………………………………………… 9分 所以，当即时，时取最小值 ………………… 11分 ‎ 当即时，时取最小值 ……………… 13分 综上所述，若，则当货轮航行速度为海里/小时时，运输成本最少；若，则当货轮航行速度为50海里/小时时，运输成本最少． …… 14分 ‎18．本题主要考查直线的方程及椭圆的标准方程，考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力．‎ 解：（1）根据，可设椭圆方程为，‎ ‎ 将代入可得，‎ ‎ 所以椭圆的方程为………………………………………………………… 4分 ‎ 因此左焦点为，斜率 ‎ 所以直线的方程为，即 ………………………………… 6分 ‎ （2）设直线的斜率分别为，则，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （*） …………………………………… 10分 ‎ 设，‎ ‎ 由，得 ‎ 所以，，…………………………………………………… 13分 ‎ 代入（*）式，得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以直线与轴总围成等腰三角形． ………………………………………… 16分 ‎19．本题主要考查导数的运算及其在研究函数性质、不等式与方程中的运用，考查探索、分析及求证能力． ‎ 解：（1） ，常数）‎ ‎ 令，则， ……………………………………………………… 2分 ‎①当时，，‎ 在区间和上，；在区间上，‎ 故的单调递增区间是和，单调递减区间是…………………… 4分 ‎②当时，， 故的单调递增区间是 …………………… 5分 ‎③当时，， ‎ 在区间和上，；在区间上，‎ 故的单调递增区间是和，单调递减区间是 ………………… 7分 ‎（2）令，‎ 令，则， ………………………………………………………… 10分 因为，所以，且 从而在区间上，，即在上单调递减 …………………………… 12分 所以 ………………………………………………………… 13分 又，所以，即 ………………………… 15分 设（，则 所以在区间上，函数与的“和谐函数”有无穷多个 …………………… 16分