吉林省吉林市普通高中2020届高三上学期毕业班第二次调研测试数学（文）试卷 4页

文科数学 本试卷共 22 小题，共 150 分，共 4 页，考试时间 120 分钟。 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。 2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。 3．请按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。 一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一个是符合题目要求。 1. 集合 { | 0 1 4}, { | 2}A x x B x x      ,则 A B  A. { | 0 3}x x  B. { | 1 3}x x   C. { | 0 2}x x  D. { | 1 2}x x   2. 已知 i 为虚数单位，则 1 i i  A. 1 1 2 2 i B. 1 1 2 2 i C. 1 1 2 2 i  D. 1 1 2 2 i  3. 如果一组数据的中位数比平均数小很多，则下列叙述一定错误的是 A. 数据中可能有异常值 B. 这组数据是近似对称的 C. 数据中可能有极端大的值 D. 数据中众数可能和中位数相同 4. 2a b c  的一个充分条件是 A. a c 或 b c B. a c 且 b c C. a c 且 b c D. a c 或 b c 5 若 4sin 3cos 0   ，则 2sin2 2cos   A. 48 25 B. 56 25 C. 8 5 D. 4 3 5 6. 已知实数 ,x y 满足线性约束条件 1 0 2 0 x x y x y         ，则 2z x y  的最小值为 A. 5 B. 1 C. 5 D. 1 7. 对两个变量进行回归分析，给出如下一组样本数据 ：(0.675, 0.989), (1.102, 0.010), (2.899,1.024), (9.101,2.978) ,下列函数模型中拟合较好的是 A. 3y x B. 3xy  C. 2( 1)y x   D. 3logy x 8. 函数 21( ) ln2f x x x  的最小值是 A. 1 2 B. 1 C. 0 D. 不存在 9. 我国宋代数学家秦九韶（1202-1261）在《数书九章》（1247）一书中提出“三斜求积 术”，即：以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂 乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积. 其实质是根据三角形的三 边长 , ,a b c 求三角形面积 S ，即 2 2 2 2 2 21[ ( ) ]4 2 c a bS a c    . 若 ABC 的面积 11 , 3, 22S a b   ，则 c 等于 A. 5 B. 9 C. 5 或 3 D. 5 或 9 10. 如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， , , ,E F G H 分别为 所在棱的中点，则下列各直线中，不与平面 1ACD 平行的是 A. 直线 EF B. 直线GH C. 直线 EH D. 直线 1A B 11. 已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的焦距为 2c . 点 A 为双曲线C 的右顶点， 若点 A 到双曲线C 的渐近线的距离为 1 2 c ，则双曲线 C 的离心率是 A. 2 B. 3 C. 2 D. 3 12. 已知 1 2 5ln , log 2,a b c e     ，则 A. a b c  B. a c b  C. b a c  D. c a b  二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案填在答题卡中相应位置。 13. 直线 1 0( 0, 0)mx ny m n     过圆 2 2: 2 2 1 0C x y x y     的圆心，则 1 1 m n  的最小值是__________. A B CD A B CD E H G F 1 1 11 14. 若椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     与圆 2 2 1 : 9C x y  和圆 2 2 2 : 8C x y  均有且 只有两个公共点，则椭圆C 的标准方程是__________. 15. 如图，在 ABC 中， AC BC , 点 ,M N 分别为 ,CA CB 的中点，若 5, 1AB CB  ，则 AG AC    = . 16. 在三棱锥O ABC 中， , ,OA OB OC 两两垂直，且 3, 2OA OB OC   . 若以 O 为 球心， ( 0)r r  为半径做一个球，当球面与 ABC 所在平面相切时， r  ________. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. （10 分） 为满足人们的阅读需求，图书馆设立了无人值守的自助阅读区，提倡人们在阅读后将 图书分类放回相应区域. 现随机抽取了某阅读区 500 本图书的分类归还情况，数据统计如下 （单位：本）. 文学类专栏 科普类专栏 其他类专栏 文学类图书 100 40 10 科普类图书 30 200 30 其他图书 20 10 60 （1）根据统计数据估计文学类图书分类正确的概率； （2）根据统计数据估计图书分类错误的概率. 18. （12 分）已知数列{ }na 是首项为 2 的等比数列，若 1 2 3, 1,a a a 成等差数列. （1）求{ }na 的通项公式； （2）若数列{ }nb 满足 2logn nb a ，求 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 6 99 100b b b b b b b b        的 值. 19. （ 12 分 ） 如 图 ， 三 棱 柱 ABC A B C   的 侧 棱 AA 垂 直 于 底 面 ABC ， 且 90 ,ACB   30 , 1, 6BAC BC AA     , M 是棱 CC 的中点. （1）证明： AB A M  ； （2）求三棱锥 A AMB  的体积. 20. （12 分）已知 ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别为 , ,a b c ， 2A  ,且满足： sin2bc A 20cos( ) 0B C  . （1）求 ABC 的面积 S ； （2）若 2 4 ,a S 求 c b b c  的最大值. 21. （12 分）设函数 ( ) 1xf x e x   （ e 为自然对数的底数）. （1）求函数 ( )y f x 在点(1, (1))f 处的切线方程； （2）证明： 20202019 1( )2020 e  . 22. （12 分）如图，已知直线 : 1m x   是抛物线 2 2 ( 0)y px p  的准线. 过焦点 F 的直 线 l 交抛物线于 ,A B 两点，过点 F 且与直线 l 垂直的直线交抛物线的准线于点T . （1）求抛物线的标准方程； （2）求 | | | | TF AB 的最大值，并求出此时直线 l 的方程.