2020届四川省宜宾市第四中学校高三上学期期末考试数学（理）试题 10页

‎2019-2020学年秋四川省宜宾市第四中学高三期末考试 理科数学试题 第I卷(选择题 共60分）‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题所给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置.）‎ ‎1．已知全集,则为 A． B． C． D．‎ ‎2．为虚数单位，，若为实数，则实数 A．-1 B． C．1 D．2‎ ‎3．甲、乙两名篮球运动员在10场比赛中得分的茎叶图如图所示，则“”是“甲运动员得分平均数大于乙运动员得分平均数”的 A． 充分不必要条件 ‎ B．必要不充分条件 C．充分必要条件 ‎ D．既不充分也不必要条件 ‎4．已知等比数列中，，公比，则等于 ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．函数的图象大致是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．某几何体的三视图如图（虚线刻画的小正方形边长为1）所示，则这个几何体的体积为 A． ‎ B． ‎ C． D．‎ ‎7．在边长为的正方形中，为的中点，点在线段 上运动，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎8．设g(x)的图象是由函数f(x)＝cos2x的图象向左平移个单位得到的，则g()等于 ‎ A．1 B． C．0 D．－1‎ ‎9．若函数y＝f(x)满足：集合A＝{f(n)|n∈N*}中至少有三个不同的数成等差数列，则称函数f(x)是“等差源函数”，则下列四个函数中，“等差源函数”的个数是 ‎ ‎①y＝2x＋1；②y＝log2x；③y＝2x＋1；④y＝sin A．1 B．‎2 ‎C．3 D．4‎ ‎10．在中，，，，则在方向上的投影是 ‎ A．4 B．‎3 ‎C．-4 D．-3‎ ‎11．已知a＞0，x，y满足约束条件,若z=2x+y的最小值为1，则 A． B． C．1 D．2‎ ‎12．已知双曲线的左、右两个焦点分别为，为其左右顶点,以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且,则双曲线的离心率为 ‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题共90分）‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13．已知向量，，若，则__________．‎ ‎14．已知函数，则的值域为______.‎ ‎15．已知是定义在上的奇函数，对于任意且，都有成立，且，则不等式的解集为_____‎ ‎16．在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，其中，则该三棱锥外接球的表面积为_____．‎ 三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17 ~ 21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）‎ ‎17.（12分）在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在，分数在以上（含）的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.‎ ‎（I）在答题卡上填写下面的列联表，能否有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？‎ 文科生 理科生 ‎ 合计 获奖 不获奖 合计 ‎ ‎ ‎（II）将上述调査所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学生中，任意抽取名学生，记“获奖”学生人数为，求的分布列及数学期望.‎ 附表及公式：，其中.‎ ‎18．（12分）在锐角中，角的对边分别为，.‎ ‎（I）求角的大小；‎ ‎（II）若，求的取值范围.‎ ‎19．（12分）如图，在三棱柱中，，，平面平面，为中点.‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）若直线与平面所成角 为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎20．（12分）已知椭圆的两个焦点分别为，长轴长为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程及离心率；‎ ‎（Ⅱ）过点的直线与椭圆交于，两点，若点满足，求证：由点 构成的曲线关于直线对称．‎ ‎21．（12分）已知函数．‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）若函数有两个零点，求的取值范围，并证明．‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22. （10分） [选修4-4：坐标系与参数方程]‎ 在直角坐标系中，圆C的参数方程为，其中为参数，以坐标原点为极点，‎ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求圆的极坐标方程；‎ ‎(2)为圆上一点，且点的极坐标为，射线绕点逆时针旋转，得射线，其中也在圆上，求的最大值．‎ ‎23．（10分）已知函数， ‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若存在满足，求实数的取值范围．‎ ‎2019-2020学年秋四川省宜宾市第四中学高三期末考试 理科数学试题参考答案 ‎1． B 2．C 3．A 4．C 5．A 6．D 7．C 8．D 9．C 10．D 11．B 12．B ‎13． 14．. 15． 16．‎ ‎17．详解：（I）‎ 文科生 理科生 合计 获奖 ‎5‎ ‎35 ‎ ‎40‎ 不获奖 ‎45‎ ‎115‎ ‎160‎ 合计 ‎50‎ ‎150‎ ‎200‎ ‎，所以有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”.‎ ‎（II）由表中数据可知，将频率视为概率，从该校参赛学生中任意抽取一人，抽到获奖同学的概率为.的所有可能的取值为，且.().所以的分布列如下 ‎.‎ ‎18．（1）由=‎ 得sinAcosB+sinAcosC=cosAsinB+cosAsinC，‎ 即sin（A﹣B）=sin（C﹣A），‎ 则A﹣B = C﹣A，即‎2A=C+B，‎ 即A=．.‎ ‎（2）当a=时，∵B+C=，∴C=﹣B．由题意得 ，‎ ‎∴＜B＜．由 =2，得 b=2sinB，c=2sinC，‎ ‎∴b2+c2=4 （sin2B+sin‎2C）=4+2sin（2B﹣）．‎ ‎∵＜B＜，∴＜sin（2B﹣）≤1，∴1≤2sin（2B﹣）≤2．‎ ‎∴5＜b2+c2≤6．‎ 故的取值范围是.‎ ‎19．（1）过点做交于，因为面 ， ，‎ 所以，故，‎ 又因为 ，所以，故，‎ 因为，所以，又因为，所以面，‎ 故． ‎ ‎（2）以为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标，‎ ‎，‎ 设面的法向量为， 则 令，‎ 得； ‎ 设面的法向量为，则 令 得； ‎ 面与面所成锐二面角的余弦值为．‎ ‎ ‎ ‎20．（Ⅰ）由已知，得，所以，‎ 又，所以 ‎ 所以椭圆的标准方程为，离心率.‎ ‎（Ⅱ）设，， ，‎ ‎①直线 与轴垂直时，点的坐标分别为，．‎ 因为，，，‎ 所以．‎ 所以，即点与原点重合;‎ ‎②当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，‎ 由 得，．‎ 所以.‎ 则，‎ 因为，，，‎ 所以．‎ 所以，．，，‎ 消去得．‎ 综上，点构成的曲线的方程为 ‎ 对于曲线的任意一点，它关于直线的对称点为．‎ 把的坐标代入曲线的方程的左端：．‎ 所以点也在曲线上．所以由点构成的曲线关于直线对称.‎ ‎21：（1）由得，‎ 当时，，若；若 ，‎ 故当时，在处取得的极大值；函数无极小值.‎ ‎（2）当时，由（1）知在处取得极大值，且当趋向于时，趋向于负无穷大，又有两个零点，则，解得.‎ 当时，若；若；若，则在处取得极大值，在处取得极小值，由于，则仅有一个零点.‎ 当时，，则仅有一个零点.‎ 当时，若；若；若，则在处取得极小值，在处取得极大值，由于，则仅有一个零点.‎ 综上，有两个零点时，的取值范围是.‎ 两零点分别在区间和内，不妨设.‎ 欲证，需证明，‎ 又由（1）知在单调递减，故只需证明即可.‎ ‎，‎ 又，‎ 所以，‎ 令，则，‎ 则在上单调递减，所以，即，‎ 所以.‎ ‎22．解：（1），‎ 由可得圆的极坐标方程．‎ ‎（2）由题意可知：,所以 ‎，所以，‎ 从而最大值为．‎ ‎23．（1）当时， ‎ 当时，，解得：；‎ 当时，，解得：；‎ 当时，，解得：的解集为：‎ ‎（2）若存在满足等价于有解 ‎ ，解得：‎ 实数的取值范围为：‎