2020届辽宁省大连市高三上学期第二次模拟数学（文）试题（解析版） 18页

‎2020届辽宁省大连市高三上学期第二次模拟数学（文）试题 一、新添加的题型 ‎1．如图，、、是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在、、上，则⊿的边长是（　　）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎【答案】选D．‎ ‎【解析】过点Ｃ作的垂线，以、为轴、轴建立平面直角坐标系．设、、，由知，检验A：，无解；检验B：，无解；检验D：，正确．本题是把关题．在基础中考能力，在综合中考能力，在应用中考能力，在新型题中考能力全占全了．是一道精彩的好题．可惜区分度太小．‎ 二、单选题 ‎2．（2014•西藏一模）已知集合M={x|x2＜1}，N={x|x＞0}，则M∩N=（ ）‎ A．∅ B．{x|x＞0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：根据一元二次不等式的解法，对集合M进行化简得M={x|﹣1＜x＜1}，利用数轴求出它们的交集即可．‎ 解：由已知M={x|﹣1＜x＜1}，‎ N={x|x＞0}，则M∩N={x|0＜x＜1}，‎ 故选D．‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎3．已知复数z满足，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先根据所给的等式表示出z，是一个复数除法的形式，进行复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子和分母同时进行乘法运算，得到最简形式．‎ ‎【详解】‎ 解： ‎ ‎，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的除法运算，分子和分母同乘以分母的共轭复数，把复数整理成整式形式，再进行复数的乘法运算，合并同类项，得到结果．‎ ‎4．命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】特称命题的否定是全称命题，改量词，且否定结论，‎ 故命题的否定是“”.‎ 本题选择C选项.‎ ‎5．若，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解．‎ ‎【详解】‎ 解： ， ，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎6．若命题“”为假，且“”为假，则 A．或为假 B．真 C．假 D．不能判断的真假 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：命题“”为假，说明与中至少有一个是假命题，“”为假说明为真命题，所以为假命题.‎ ‎【考点】本小题主要考查了由复合命题的真假判断命题的真假.‎ 点评：解决此类问题的关键是掌握复合命题的真值表并能熟练应用.‎ ‎7．在等差数列中，已知则等于 （ ）‎ A．40 B．43 C．42 D．45‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵等差数列中，‎ ‎∴公差．‎ ‎∴＝＝42．‎ ‎8．运行流程图，若输入，则输出的y值为（ ）‎ A．4 B．9 C．0 D．5‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析程序的功能是计算并输出分段函数y的值，代入对应是x的值求出y的值即可．‎ ‎【详解】‎ 解：分析程序的功能是计算并输出分段函数 ‎；‎ 输入时，计算 ；‎ 所以输出 ．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用程序框图求分段函数值的应用问题，是基础题．‎ ‎9．双曲线过点，则双曲线的焦点是（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】先将点的坐标代入双曲线方程求出a值，再利用双曲线的标准方程，就可求出双曲线中的a，b的值，根据双曲线中a，b，c的关系式即可求出半焦距c的值，判断焦点位置，就可得到焦点坐标．‎ ‎【详解】‎ 解： 双曲线 过点 ，‎ ‎，‎ ‎， ， ， ‎ 又 双曲线焦点在x轴上，‎ 焦点坐标为 ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线的焦点坐标的求法，做题时注意判断焦点位置，属于基础题．‎ ‎10．已知向量，，，则 A． B． C． D．24‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据 ，，对两边平方，进行数量积的运算即可求出 的值．‎ ‎【详解】‎ 解：，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了向量数量积的运算，向量数量积的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．‎ ‎11．若函数在区间上单调递减，则a的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由 在区间上恒成立，结合二次函数的性质即可求解．‎ ‎【详解】‎ 解： 在区间 上单调递减，‎ 在区间 上恒成立，‎ 即 在区间 上恒成立，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数法研究函数的单调性，是基础题.‎ ‎12．甲、乙、丙三名同学在军训的实弹中射击各射击10发子弹，三人的射击成绩如表．，，分别表示甲、乙、丙三名同学这次射击成绩的标准差，则 环数 ‎7环 ‎8环 ‎9环 ‎10环 甲的频数 ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎2‎ 乙的频数 ‎1‎ ‎4‎ ‎4‎ ‎1‎ 丙的频数 ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎3‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出平均数，代入计算标准差即可，或者用观察法，判断估计离散情况．‎ ‎【详解】‎ 解：解法一： 设分别为甲，乙，丙射击成绩的平均数，‎ ‎，‎ ‎，，‎ 同理可得， ，，，‎ 或者观察法：乙的数据比较集中，方差最小，丙的数据比较离散，方差最大，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求平均数与方差和标准差的问题，是基础题．‎ 三、填空题 ‎13．实数x，y满足，则的最小值等于______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出不等式组表示的平面区域，由得直线 ，平移直线找出最优解，计算z的最小值．‎ ‎【详解】‎ 解：画出不等式组 表示的平面区域，如图阴影部分所示；‎ 由 得 ，平移直线 ，‎ 则由图象可知当直线 ，‎ 经过点A时直线的截距最小，‎ 此时z最小，‎ 由 ，解得 ，‎ 此时；‎ 即的最小值为．‎ 故答案为： ．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了简单的线性规划应用问题，根据z的几何意义，利用数形结合是解题的关键．‎ ‎14．已知，则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据导数的运算法则先求出函数的导数的解析式，再把代入的解析式运算求得结果．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数，∴，‎ ‎∴，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查求函数的导数，导数的加减法则的应用，准确求出导函数是解题的关键，属于基础题．‎ ‎15．已知某个几何体的三视图如上图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】略 ‎16．对于，有如下命题：‎ 若，则一定为等腰三角形．‎ 若，则一定为等腰三角形．‎ 若，则一定为钝角三角形．‎ 若，则一定为锐角三角形．‎ 则其中正确命题的序号是______ 把所有正确的命题序号都填上 ‎【答案】，，‎ ‎【解析】三角形中首先想到内角和为，每个内角都在内，然后根据每一个命题的条件进行判定 ‎【详解】‎ 或，为等腰或直角三角形 正确；‎ 由可得 由正弦定理可得 再由余弦定理可得，为钝角，命题正确 全为锐角，命题正确 故其中正确命题的序号是，，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了借助命题考查三角形的有关知识，在运用正弦、正切解三角形时注意角之间的转化，三角形内角和为，然后代入化简 四、解答题 ‎17．设A，B，C是的内角，已知向量，向量，．‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）利用向量垂直的性质求出 ，由此能求出B．‎ ‎（2）由 ，得 ，‎ ‎，由此能求出的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）向量，向量 ， ，‎ ‎，得 ，‎ 又 ， ，‎ ‎，‎ 解得；‎ ‎（2）由（1）知 ，‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎， ，‎ 的取值范围是 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查角的大小和两角的正弦和的取值范围的求法，考查向量垂直的性质、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎18．试比较下面概率的大小：‎ ‎（1）如果以连续掷两次骰子依次得到的点数m，n作为点P的横、纵坐标，点P在直线的下面包括直线的概率；‎ ‎（2）在正方形，，x，，随机地投掷点P ‎，求点P落在正方形T内直线的下面包括直线的概率．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】（1）把一颗质地均匀的骰子连续掷两次，依次得到点数m、n，基本事件的总数为，将m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线下方包括直线的基本事件有10种，由此能示出点P在直线下方的概率；‎ ‎（2）分别求出正方形的面积以及阴影部分的面积，根据几何概型的面积之比即可求解，‎ 求出了，即可得解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）把一颗质地均匀的骰子连续掷两次，基本事件的总数为．‎ 由m，2，3，4，5，满足的点有：‎ ‎，，，，，，，，，共10种．‎ ‎．‎ ‎（2）正方形的面积．‎ 直线与，围成的三角形面积 ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ 故．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．‎ ‎19．一个多面体的三视图正视图、侧视图、俯视图如图所示，M，N分别是，的中点．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）若这个多面体的六个顶点A，B，C，，，都在同一个球面上，求这个球的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）‎ ‎【解析】（1）根据三视图的性质，可得该几何体是直三棱柱，且，，连接，，矩形中对角线的中点N就是的中点．结合M是的中点证出，由线面平行的判定定理，证出平面．‎ ‎（2）由平面，得到正方形中可得，结合线面垂直判定定理，证出平面，再由，可得平面；‎ ‎（3）根据三棱柱是直三棱柱，在矩形中算出可得，从而得到，同理得，所以点N是多面体的外接球心，得到半径由球的体积公式，即可算出该外接球的体积．‎ ‎【详解】‎ 解：由题意可知，这个几何体是直三棱柱，且，，‎ ‎（1）连接，，由直三棱柱的性质，得平面，‎ ‎，可得四边形为矩形．‎ 由矩形的性质，得过的中点N．‎ 在中，由中位线性质得，‎ 又平面平面，平面 ‎（2）平面，平面，‎ 在正方形中，可得 又，平面 又，平面 ‎（3）多面体为直三棱柱，‎ 矩形中，‎ 可得，‎ 是直角三角形斜边的中线，‎ 同理可得 是这个多面体的外接球的球心，半径，‎ 外接球的体积 ‎【点睛】‎ 本题给出直三棱柱的三视图，求证线面平行、线面垂直并求外接球的体积．着重考查了三角形中位线定理、线面平行垂直的判定与性质和球的体积公式等知识，属于中档题．‎ ‎20．已知椭圆C过点，两焦点为，．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若椭圆C与直线交于P，Q两点，且为坐标原点，求证：为定值，并求此定值．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析，定值为 ‎【解析】（1）由题意有，将点A代入椭圆方程，求出a，b；‎ ‎（2）设出P，Q的坐标，由得，再联立方程分别求出，即可；‎ ‎【详解】‎ 解：（1）依题意，设椭圆C的方程为；‎ 椭圆C过点得解得舍去，‎ 椭圆C的方程是；‎ ‎（2）证明：椭圆C的方程可化为①‎ 设椭圆C与直线交于，两点，‎ 则由得②‎ 由得代入①‎ 得，‎ ‎③‎ 同理由得代入①‎ 得④‎ 将③④代入得，‎ ‎，‎ 即为定值．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆方程，向量的垂直条件的处理，求代数式为定值的问题，设而不求的方法的应用，属于中档题．‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 设函数在， 处取得极值，且．‎ ‎（Ⅰ）若，求的值，并求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若，求的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）在单调递减，在， 单调递增．‎ ‎（Ⅱ）的取值范围为．‎ ‎【解析】解： ．① 2分 ‎（Ⅰ）当时，‎ ‎；‎ 由题意知为方程的两根，所以 ‎．‎ 由，得． 4分 从而， ．‎ 当时， ；当时， ．‎ 故在单调递减，在， 单调递增． 6分 ‎（Ⅱ）由①式及题意知为方程的两根，‎ 所以．‎ 从而，‎ 由上式及题设知． 8分 考虑，‎ ‎． 10分 故在单调递增，在单调递减，从而在的极大值为．‎ 又在上只有一个极值，所以为在上的最大值，且最小值为．‎ 所以，即的取值范围为． 14分 ‎22．已知直线l经过点，且倾斜角为，圆C的参数方程为是参数，直线l与圆C交于，两点．‎ ‎（1）写出直线l的参数方程，圆C的普通方程；‎ ‎（2）求，两点的距离．‎ ‎【答案】（1）（为参数），；（2）‎ ‎【解析】（1）利用，消去参数，求得C的普通方程；再根据直线经过点，倾斜角，求出直线l的参数方程．‎ ‎（2）把l的参数方程代入圆的方程，利用根与系数的关系求得以及，再由直线参数方程中参数的几何意义即可求出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）直线l的参数方程为 即为参数 圆的参数方程化为普通方程得．‎ ‎（2）直线的参数方程代入圆的普通方程得；‎ 即；‎ ‎，；‎ ‎．‎ ‎，两点的距离为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查参数方程与普通方程之间的转化，直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．‎ ‎23．是否存在实数a，使得不等式有解？若存在，求出实数a的范围；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】存在，‎ ‎【解析】画出不等号左边的函数对应图象，结合图象即可求解．‎ ‎【详解】‎ 解：存在，‎ 设；‎ 画出其图象，‎ ‎；‎ 由图象可知，当时，不等式有解．‎ 故存在实数使得不等式有解．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查绝对值不等式的解法以及数形结合思想的应用，属于基础题目．‎