高中人教a版数学必修4：第31课时 简单的三角恒等变换 word版含解析 4页

第 31 课时 简单的三角恒等变换 课时目标 1.能够利用半角公式进行化简． 2．了解和差化积与积化和差公式，以及它与两角和与差公式的内在联系． 3．了解 y＝asinx＋bcosx 的函数的变换，并会求形如 y＝asinx＋bcosx 的函数的性质． 识记强化 1．半角公式： sin2α 2 ＝1－cosα 2 ，sinα 2 ＝± 1－cosα 2 cos2α 2 ＝1＋cosα 2 ，cosα 2 ＝± 1＋cosα 2 tan2α 2 ＝1－cosα 1＋cosα ，tanα 2 ＝± 1－cosα 1＋cosα 根号前符号，由α 2 所在象限三角函数符号确定． 2．辅助角公式：asinx＋bcosx＝ a2＋b2sin(x＋φ)，其中 cosφ＝ a a2＋b2 ，sinφ＝ b a2＋b2. 课时作业 一、选择题 1．已知 cosθ＝－1 4(－180°<θ<－90°)，则 cosθ 2 ＝( ) A．－ 6 4 B. 6 4 C．－3 8 D.3 8 答案：B 解析：因为－180°<θ<－90°，所以－90°<θ 2<－45°.又 cosθ＝－1 4 ，所以 cosθ 2 ＝ 1＋cosθ 2 ＝ 1－1 4 2 ＝ 6 4 ，故选 B. 2．已知α∈ －π 2 ，0 ，cosα＝4 5 ，则 tanα 2 ＝( ) A．3 B．－3 C.1 3 D．－1 3 答案：D 解析：因为α∈ －π 2 ，0 ，且 cosα＝4 5 ，所以α 2 ∈ －π 4 ，0 ，tanα 2 ＝－ 1－cosα 1＋cosα ＝－ 1－4 5 1＋4 5 ＝－1 3 ，故选 D. 3．在△ABC 中，若 B＝45°，则 cosAsinC 的取值范围是( ) A．[－1,1] B. 2－2 4 ， 2＋2 4 C. －1， 2＋2 4 D. 2 4 ， 2＋2 4 答案：B 解析：在△ABC 中，B＝45°，所以 cosAsinC＝1 2[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝ 2 4 －1 2sin(A－ C)，因为－1≤sin(A－C)≤1，所以 2－2 4 ≤cosAsinC≤ 2＋2 4 ，故选 B. 4．若 sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝4 5 ，且α是第二象限角，则 tan π 4 ＋α 等于( ) A．7 B．－7 C.1 7 D．－1 7 答案：C 解析：∵sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝4 5 ， ∴cosα＝－4 5. 又α是第二象限角，∴sinα＝3 5 ，则 tanα＝－3 4. ∴tan π 4 ＋α ＝ tanπ 4 ＋tanα 1－tanπ 4tanα ＝ 1－3 4 1＋3 4 ＝1 7. 5．函数 f(x)＝sin2xcosx 1－sinx 的值域为( ) A. －1 2 ，＋∞ B. －1 2 ，4 C. －1 2 ，4 D. －1 2 ，4 答案：B 解析：f(x)＝2sinxcos2x 1－sinx ＝2sinx1－sin2x 1－sinx ＝2sinx＋2sin2x， 又－1≤sinx<1，∴f(x)∈ －1 2 ，4 .故选 B. 6．在△ABC 中，若 sinAsinB＝cos2C 2 ，则△ABC 是( ) A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形 答案：B 解析：sinAsinB＝1＋cosC 2 2sinAsinB＝1－cos(π－A－B) cosAcosB＋sinAsinB＝1 cos(A－B)＝1 A＝B ∴是等腰三角形． 二、填空题 7．若 3sinx－ 3cosx＝2 3sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ等于________． 答案：－π 6 解析：3sinx－ 3cosx＝2 3sin x－π 6 ， 所以φ＝－π 6. 8．已知 sin π 6 ＋α ＝2 3 ，则 cos2 π 6 －α 2 ＝________. 答案：5 6 解析：因为 cos π 3 －α ＝sin π 2 － π 3 －α ＝sin π 6 ＋α ＝2 3.所以 cos2 π 6 －α 2 ＝1＋cos π 3 －α 2 ＝ 1＋2 3 2 ＝5 6. 9．在△ABC 中，若 3cos2A－B 2 ＋5sin2A＋B 2 ＝4，则 tanAtanB＝________. 答案：1 4 解析：因为 3cos2A－B 2 ＋5sin2A＋B 2 ＝4， 所以 3 2cos(A－B)－5 2cos(A＋B)＝0， 所以 3 2cosAcosB＋3 2sinAsinB－5 2cosAcosB＋5 2sinAsinB＝0， 即 cosAcosB＝4sinAsinB，所以 tanAtanB＝1 4. 三、解答题 10．已知α为钝角，β为锐角，且 sinα＝4 5 ，sinβ＝12 13 ，求 cosα－β 2 . 解：∵α为钝角，β为锐角，sinα＝4 5 ，sinβ＝12 13 ， ∴cosα＝－3 5 ，cosβ＝ 5 13. cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－3 5 × 5 13 ＋4 5 ×12 13 ＝33 65. 又∵π 2<α<π，0<β<π 2 ，∴0<α－β<π，0<α－β 2 <π 2. ∴cosα－β 2 ＝ 1＋cosα－β 2 ＝7 65 65 . 11．已知 sin(2α＋β)＝5sinβ.求证：2tan(α＋β)＝3tanα. 证明：由条件得 sin[(α＋β)＋α] ＝5sin[(α＋β)－α]，两边分别展开得 sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα ＝5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα. 整理得： 4sin(α＋β)cosα＝6cos(α＋β)sinα. 两边同除以 cos(α＋β)cosα得： 2tan(α＋β)＝3tanα. 能力提升 12．要使 3sinα＋cosα＝4m－6 4－m 有意义，则应有( ) A．m≤7 3 B．m≥－1 C．m≤－1 或 m≥7 3 D．－1≤m≤7 3 答案：D 解析： 3sinα＋cosα＝2 3 2 sinα＋1 2cosα ＝ 2sin α＋π 6 ＝ 4m－6 4－m ， 所 以 sin α＋π 6 ＝ 2m－3 4－m ， 由 于 － 1≤sin α＋π 6 ≤1 ， 所 以 － 1≤2m－3 4－m ≤1，所以－1≤m≤7 3. 13．已知函数 f(x)＝sinx·(2cosx－sinx)＋cos2x. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)若π 4<α<π 2 ，且 f(α)＝－5 2 13 ，求 sin2α的值． 解：(1)因为 f(x)＝sinx·(2cosx－sinx)＋cos2x， 所以 f(x)＝sin2x－sin2x＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝ 2sin 2x＋π 4 ， 所以函数 f(x)的最小正周期是π. (2)f(α)＝－5 2 13 ，即 2sin 2α＋π 4 ＝－5 2 13 ，sin 2α＋π 4 ＝－ 5 13. 因为π 4<α<π 2 ，所以3π 4 <2α＋π 4<5π 4 ， 所以 cos 2α＋π 4 ＝－12 13 ， 所以 sin2α＝sin 2α＋π 4 －π 4 ＝ 2 2 sin 2α＋π 4 － 2 2 cos 2α＋π 4 ＝ 2 2 × － 5 13 － 2 2 × －12 13 ＝7 2 26 .