云南省昆明市2019-2020学年高二下学期期末考试质量检测数学（文）试题 Word版含解析 22页

- 1 - 昆明市 2019-2020 学年高二期末质量检测 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填 写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目， 在规定的位置贴好条形码. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答 案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. －、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 直接根据交集的定义计算可得； 【详解】解： 集合 ，0，1，2， ， ， ，0，1， ． 故选： ． 【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础 题． 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A { }1,0,1,2,3A = − { }2 2B x x= − ≤ ≤ A B = { }2 2x x− ≤ ≤ { }1 2x x− ≤ ≤ { }1,0,1,2- { }1,0,1,2,3−  { 1A = − 3} { | 2 2}B x x= −   { 1A B∴ = − 2} C 1 i 1 i − =+ i− i 1 i− 1 i+ - 2 - 【解析】 【分析】 直接根据复数的除法运算法则求解即可. 【详解】 ， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，属于基础题. 3. 已知双曲线 ： 的一条渐近线方程为 ，则 的离心率为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据双曲线的标准方程求得渐近线方程，根据其中一条的方程求得 a 和 b 的关系，进而求得 a 和 c 的关系，则离心率可得． 【详解】因为 一条渐近线方程为 ， 所以 ， 故 ， 解得 ， 所以 ， 故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质，解题的关键是熟练掌握双曲线方程中的 a，b 和 c 基本关系. 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线面出的是某几何体的三视图，则该几何体的 体积为（ ） 的 ( )( ) ( )( ) 1 i 1 i1 i 1 i 1 i 1 i i − −− = = −+ + − C ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 2y x= C 3 2 5 5 2 ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 2y x= 2b a = 2 2 2 2 2 4b c a a a −= = 2 2 5c a = 5e = - 3 - A. 36 B. 72 C. 108 D. 216 【答案】A 【解析】 【分析】 判断几何体的形状，利用三视图的数据求几何体的体积即可． 【详解】由题意可知，几何体三棱锥，如图 所示， 因为正方体的棱长为 6， 所以几何体的体积为 ． 故选： ． 【点睛】本题考查的知识点是由三视图求体积，解决本题的关键是得到该几何体的直观图． 5. 已知 ， ， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先判断出 、 、 ，再判断出 即可解题. 【详解】解：因为 ，所以 ； 因 ，所以 ； 因为 ，所以 为 A BCD− 1 1 6 6 6 363 2 × × × × = A lna π= 2b π −= 0.5logc π= c a b< < c b a< < b c a< < b a c< < 1a > 0 1b< < 0c < c b a< < ln ln 1a eπ= > = 1a > 2 2 1b π π −= = 0 1b< < 0.5 0.5log log 1 0c π= < = 0c < - 4 - 所以 故选：B. 【点睛】本题考查比较对数、指数、幂的大小问题，是基础题. 6. 执行如图所示的程序框图，若输入的 ， 分别为 4，6，则输出 （ ） A. 24 B. 12 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 根据程序框图进行运算可得结果. 【详解】第一次循环， ， 第二次循环， ，终止循环， ，输出 12. 故选：B. 【点睛】本题考查了循环结构，属于基础题. 7. 函数 的图象在点 处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 求得函数 的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，再由点斜式方程可得所求切 线的方程． 【详解】解：函数 的导数为 ， 【 c b a< < x y T = 4, 2a b= = 2, 2a b= = 4 6 122T ×= = 2 lny x x= ( )1,0 2 1y x= − 2 2y x= − 1y x= − 1y x= + 2y x lnx= 2y x lnx= 2y xlnx x′ = + - 5 - 可得函数的图象在点 处的切线的斜率为 1， 则函数的图象在点 处的切线方程为 ， 即 ． 故选： ． 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及切线的方程的求法，考查方程思想和运算能力，属 于基础题． 8. 每年新春佳节时，我国许多地区的人们有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的 目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．下图是一张“春到福来”的剪纸窗花，为了估计深 色部分的面积，将窗花图案放置在边长为 的正方形内，在该正方形内随机生成 1000 个 点，恰有 535 个点落在深色区域内，则此窗花图案中深色区域的面积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据几何概型的概率公式建立比例关系进行求解即可． 【详解】解：正方形的面积 ， 则由题意值对应深色区域面积 满足 ， 得 ， 故选： ． 【点睛】本题主要考查几何概型的概率公式的应用，结合对应区域关系，建立比例方程是解 决本题的关键．属于基础题． 9. 已知 ，则 （ ） (1,0) (1,0) 0 1y x− = − 1y x= − C 20cm 2168cm 2214cm 2248cm 2336cm 220 20 400S cm= × = S 535 400 1000 S = 2214S cm= B πtan 34 α + =   sin 2α = - 6 - A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由 化简，求出 的值，再由 ，代值化 简即可 【详解】解：由 ，得 ，即 ， 解得 ， 所以 ， ， 故选：D 【点睛】此题考查两角和的正切公式的应用，考查同角三角函数的关系的应用，属于基础题 10. 已知三棱柱 中， 底面 ， ， ， ．若该三棱柱的六个顶点都在球 的球面上，则球 的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意画出图形，找出三棱柱外接球的球心，由已知求解三角形可得半径，则球的表面积可 求． 【详解】解：如图， 4 5 − 3 5- 3 5 4 5 πtan 34 α + =   tanα sin 2 2sin cosα α α= 2 2tan tan 1 α α= + πtan 34 α + =   tan tan 4 3 1 tan tan 4 πα πα + = − tan 1 31 tan α α + =− 1tan 2 α = sin 2 2sin cosα α α= 2 2 2sin cos sin cos α α α α= + 2 2tan tan 1 α α= + 12 42 1 514 × = = + 1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC 1 2AA = AB AC⊥ 2AB AC= = O O 10π 12π 14π 16π - 7 - 在直三棱柱 中， 底面三角形 是以角 为直角的等腰直角三角形， 三角形 的外接圆的圆心 为 的中点，上底面等腰直角三角形外接圆的圆心 是 的中点． 则该三棱柱的外接球的球心 为 的中点． 连接 ，在底面等腰直角三角形 中，由 ，得 ， 又 ， ，则 ． 球 的表面积为 ． 故选： ． 【点睛】本题考查三棱柱的外接球表面积，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能 力，确定三棱柱的外接球的半径是关键，属于中档题． 11. 刘徽是中国魏晋时期杰出的数学家，他提出“割圆求周”方法：当 很大时，用圆内接正 边形的周长近似等于圆周长，并计算出精确度很高的圆周率 ．在《九章算术注》 中总结出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”的极限 思想．运用此思想，当 取 3.1416 时可得 的近似值为（ ） A. 0.00873 B. 0.01745 C. 0.02618 D. 0.03491 【答案】B 【解析】 【分析】 根据圆内接正 360 边形的面积近似等于圆的面积列式可解得结果. 【详解】设圆的半径为 ，取 ，则圆内接正 360 边形的每条边所对的圆心角为 ，以 1 1 1ABC A B C−  ABC A ∴ ABC D BC 1O 1 1B C O 1DO OA ABC 2AB AC= = 2AD = 1 1 2DO AA= = 1DO∴ = 2 2 2 2 1 3AO AD DO= + = + = ∴ O 4 3 12π π× = B n n π 31416≈ ． π sin1° r 360=n 1 - 8 - 圆心为顶角的每个等腰三角形的面积为 ， 根据 360 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积可得 ， 即 . 故选：B. 【点睛】本题考查了极限思想，考查了三角形的面积公式，考查了数学文化，属于基础题. 12. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，经过点 的直线交 于 ， 两点，交 于 点，过点 ， 分别作 的垂线，垂足分别为 ， ，若 ，下述 四个结论： ① ②直线 的倾斜角为 或 ③ 是 的中点 ④ 为等边三角形 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①③④ B. ②③ C. ①②③ D. ①② 【答案】A 【解析】 【分析】 由题意画出图形，由平面几何知识可得①正确；设出 的方程，与抛物线方程联立，可得 ， 横坐标的积，结合已知向量等式求解 的坐标，再求出 所在直线斜率，可得 的倾斜角，判断②错误，再结合选项可知 正确． 【详解】解：如图，由抛物线定义可知， ， ， 则 ， ， 则 ， ，故①正确； 设 所在直线方程为 ， 21 sin12 r  2 21360 sin12 r rπ× ≈ sin1 180 π≈ 0.01745≈ E ( )2 2 0y px p= > F l F E A B l G A B l C D 3AF FB=  CF DF^ AB π 4 3π 4 F AG AFC△ AB A B A AF AB A AC AF= BD BF= AFC ACF CFO∠ = ∠ = ∠ BFD BDF DFO∠ = ∠ = ∠ 2AFC BFD CFO DFO CFD π∠ + ∠ = ∠ + ∠ = ∠ = CF DF∴ ⊥ AB ( )2 py k x= − - 9 - 联立 ，得 ． 设 ， ， ， ， 则 ，① 又 ， ，即 ，② 联立①②，解得 （舍 或 ， 则 ，即 ， 则 ，可得直线 的倾斜角为 ，④正确 由对称性，若 在 轴下方，则直线 的倾斜角为 ，故②错误． 由 ， ， 点的横坐标为 ，可得 是 的中点，故③正确； 结合选项可得， 正确． 故选： ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力， 属于中档题． 二、填空题 13. 若 ， 满足约束条件 则 的最小值为______． 【答案】 2 ( )2 2 py k x y px  = −  = 2 2 2 2 2( 2 ) 04 k pk x k p p x− + + = 1(A x 1)y 2(B x 2 )y 2 1 2 4 px x = 3AF FB=  ∴ 1 23( )2 2 p px x+ = + 1 23x x p= + 1 2 px = − ) 1 3 2x p= 1 3y p= 3( , 3 )2A p p 3 33 1 2 2 FA Pk p p = = − AB 3 π A x AB 2 3 π 3( , 3 )2A p p ( ,0)2 pF G 2 p− F AG A A x y 2 1 0, 1 0, 2, x y x y x + − ≥ − + ≥ ≤   3z x y= − 1− - 10 - 【解析】 【分析】 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解 的坐标代入目标函数得答案． 【详解】解：由约束条件 作出可行域如图， 化目标函数 为 ，由图可知，当直线 过 时， 直线在 轴上的截距最大， 有最小值为 ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题． 14. 如图，正方形 的边长为 2， 是以 为直径的半圆弧上一点，则 的最 大值为______． 【答案】6 【解析】 【分析】 先建立平面直角坐标系，再表示出点 的坐标，接着表示出 ， ，最后求 求 得最大值即可. 【详解】解：以点 为原点，以 方向为 轴正方向，以 方向为 轴正方向，建立平面 2 1 0 1 0 2 x y x y x + −  − +     3z x y= − 3y x z= − 3y x z= − (0,1)A y z 1− 1− ABCD E CD AD AE⋅  E AD AE AD AE⋅  A AB x AD y - 11 - 直角坐标系，如图，则 ， 由图可知以 为直径的圆的方程为： ，参数方向： ， 因为 是以 为直径的半圆弧上一点，所以 ，（ ）， 所以 ， ， 则 ， 当 时， 取得最大值 . 故答案 ： 6 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，是基础题 15. 数列 中，已知 ， ， ，则数列 的前 6 项和为______． 【答案】20 【解析】 【分析】 由已知条件利用赋值法求出 的值 【详解】解：令 ，则 ，由 ， ，得 ， 令 ，则 ，得 ， 令 ，则 ，得 ， 令 ，则 ，得 ， 令 ，则 ，得 ， 为 (0,0)A (0,2)D CD 2 2( 1) ( 2) 1x y− + − = 1 cos 2 sin x y θ θ = +  = + E CD (1 cos ,2 sin )E θ θ+ + 0 θ π≤ ≤ (0,2)AD = (1 cos ,2 sin )AE θ θ= + + 0 (1 cos ) 2(2 sin ) 4 2sinAD AE θ θ θ⋅ = × + + + = +  2 πθ = AD AE⋅  6 { }na 7 13a = 8 21a = 2 1n n na a a+ += + { }na 1 2 3 4 5 6, , , , ,a a a a a a 6n = 8 7 6a a a= + 7 13a = 8 21a = 6 8a = 5n = 7 6 5a a a= + 5 5a = 4n = 6 5 4a a a= + 4 3a = 3n = 5 4 3a a a= + 3 2a = 2n = 4 3 2a a a= + 2 1a = - 12 - 令 ，则 ，得 ， 所以数列 的前 6 项和为 ， 故答案为：20 【点睛】此题考查由数列的递推式求数列的通项，属于基础题 16. 如图，在 中， ， ， ， ， 分别在边 ， ， 上，且 ． ①若 ，则 ______； ② 面积的最大值为______． 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 作 于 ，作 于 ，可得 在线段 上运动，设 ， 由 ，得到 ，得到 和 的表达式，即可求解. 【详解】如图所示，作 于 ，作 于 ，可得 在线段 上运动， 因为 ， ，则 ， 设 ， 在 中，由余弦定理可得 ， 同理可得 ， 1n = 3 2 1a a a= + 1 1a = { }na 1 2 3 4 5 6 1 1 2 3 5 8 20a a a a a a+ + + + + = + + + + + = ABC AB AC⊥ 3AB AC= = D E F AB BC CA DE EF⊥ 2BE EC= DE EF = DEF 2 4 2 2− EN AC⊥ N EM BC⊥ M F MN ,CF x DB y= = 2 2 2EF ED FD+ = 2 4x y+ = DE EF DEF EN AC⊥ N EM BC⊥ M F MN 3AB AC= = 2BE EC= 2, 2 2CE BE= = , , [1, 2]CF x DB y x= = ∈ CEF△ 2 2 2 22 cos45 2 2EF CF CE CF CE x x= + − ⋅ = − + 2 2 4 8DE y y= − + - 13 - 又由勾股定理可得 ， 由 ，可得 ， 整理得 ，即 则 ，所以 ； 又由 的面积为 ， 所以 面积的最大值为 . 故答案为： ， . 【点睛】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中熟练应用余弦定理和勾股定理，以及三 角形的面积公式和二次函数的的性质是解答的关键，着重考查转化思想，以及函数与方程思 想的应用，属于中档试题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，设直线 ， 的斜率分别 为 ， ，且 ，记点 的轨迹为 ． （1）求 的方程； （2）若直线 ： 与 相交于 ， 两点，求 ． 【答案】（1） ，（ ）；（2） . 【解析】 【分析】 2 2 2(3 ) (3 )DF x y= − + − 2 2 2EF ED FD+ = 2 2 2 22 2 4 8 (3 ) (3 )x x y y x y− + + − + = − + − 2 4x y+ = 4 2y x= − 2 2 2 2 2 2 4 8 4 8 8 42 2 2 2 DE y y x x EF x x x x − + − += = =− + − + 2DE EF = DEF 2 2 21 2 2 ( 1) 1 [1,4 2 2]2S EF DE EF x x x= ⋅ = = − + = − + ∈ − DEF 4 2 2− 2 4 2 2− xOy ( )2,0B ( )2,0C − AB AC 1k 2k 1 2 1 2k k = − A E E l 1y x= + E P Q PQ 2 2 14 2 x y+ = 0y ≠ 4 5 3 - 14 - （1）先设点 ，再建立方程 ，最后得到 的方程： ， （ ）； （2）先联立方程 得到 ，再得到 ，最后求 即 可. 【详解】解：（1）设点 ，则 ， ， 因为 ，则 ， 整理得： ，斜率存在，所以 ， 所以 的方程： ，（ ） （2）设 ， ， 由 ，消去 得到 ，则 ， 所以 ，则 ， 所以 【点睛】本题考查求点的轨迹方程、利用弦长公式求弦长，是中档题. 18. 已知数列 是公差不为零的等差数列， ，且 ， ， 成等比数列． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ． ( , )A x y 1 2 1 22 +2 y y xk xk ⋅ = −−= E 2 2 14 2 x y+ = 0y ≠ 2 2 1 14 2 y x x y = + + = 23 4 2 0x x+ − = 1 2 1 2 4 3 2 3 x x x x  + = −  ⋅ = − PQ ( , )A x y 1 2 yk x = − 2 +2 yk x = 1 2 1 2k k = − 1 2 1 22 +2 y y xk xk ⋅ = −−= 2 2 14 2 x y+ = 2x ≠ ± E 2 2 14 2 x y+ = 0y ≠ 1 1( , )P x y 2 2( , )Q x y 2 2 1 14 2 y x x y = + + = y 23 4 2 0x x+ − = 24 4 3 ( 2) 40 0∆ = − × × − = > 1 2 1 2 4 3 2 3 x x x x  + = −  ⋅ = − 2 1 2 4 51 3PQ k x x= + − = 4 5 3PQ = { }na 1 2a = 1a 2a 4a { }na 2 na n nb a= − { }nb n nS - 15 - 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【分析】 （1）先设等差数列 的公差为 ，然后根据等差数列的通项公式和等比中项的性质 列出关于公差 的一元二次方程，解出 的值，则可计算出数列 的通项公式； （2）先根据第（1）题的结果计算出数列 的通项公式，然后运用分组求和法计算出前 项和 ． 【详解】（1）由题意，设等差数列 的公差为 ，则 ， ， ， ， 成等比数列， ，即 ， 整理，得 ， 解得 （舍去），或 ， ， ． （2）由（1）知，设 ， 故 ． 【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的性质应用，以及运用分组求和法计算前 项 和．考查了转化与化归思想，整体思想，方程思想，定义法，以及逻辑推理能力和数学运算 能力．本题属中档题． 2na n= 1 2 4 4 3 3 n nS n n + = + + − { }na ( )d d ≠ 0 d d { }na { }nb n nS { }na ( )d d ≠ 0 2 2a d= + 4 2 3a d= + 1a 2a 4a 2 2 1 4a a a∴ =  2(2 ) 2(2 3 )d d+ = + 2 2 0d d− = 0d = 2d = 2 2( 1) 2na n n= + − =∴ *n N∈ 22 2 2 2 4na n n n nb a n n= − = − = − 1 2n nS b b b= + +…+ 1 2(2 1 4 ) (2 2 4 ) (2 4 )nn= × − + × − +…+ − 1 22 (1 2 ) (4 4 4 )nn= × + +…+ − + +…+ ( 1) 4(1 4 )2 2 1 4 nn n + −= × − − 1 2 4 4 3 3 n n n + = + + − n - 16 - 19. 云南是世界茶树的原产地之一，也是中国四大茶产区之一，独特的立体气候为茶叶的种质 资源多样性创造了良好的自然条件，茶叶产业是云南高原特色农业的闪亮名片．某大型茶叶 种植基地为了比较 、 两品种茶叶的产量，某季采摘时，随机选取种植 、 两品种茶叶 的茶园各 30 亩，得到亩产量（单位： 亩）的茎叶图如下（整数位为茎，小数位为叶，如 55.4 的茎为 55，叶为 4）： （1）试分别估计该种值基地 、 两种茶叶亩产不低于 的概率； （2）亩产不低于 的茶园称为“高产茶园”，其它称为“非高产茶园”.请根据已知条件完成 以下 列联表，并判断是否有 95%的把握认为“高产茶园”与茶叶品种有关？ A 品种茶叶（亩数） B 品种茶叶（亩数） 合计 高产茶园 非高产茶园 合计 附： ， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1） 和 ；（2）有 的把握认为“高产茶园”与茶叶品种有关． 【解析】 A B A B kg/ A B 58kg 60kg 2 2× ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + ( )2 0P K k≥ 0k 11 15 2 5 95% - 17 - 【分析】 （1）分别计算该种植基地 、 两种茶叶亩产不低于 的概率值； （2）根据已知条件完成列联表，计算 ，对照附表得出结论． 【详解】解：（1）计算该种植基地 种茶叶亩产不低于 的概率为 ， 种茶叶亩产不低于 的概率为 ； 所以估计该种植基地 、 两种茶叶亩产不低于 的概率分别为 和 ； （2）根据已知条件完成 列联表如下， 品种茶叶（亩数） 品种茶叶（亩数） 合计 高产茶园 10 3 13 非高产茶园 20 27 47 合计 30 30 60 计算 ， 所以有 的把握认为“高产茶园”与茶叶品种有关． 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验问题以及古典概型的概率计算问题，也考查了运算 求解能力，属于基础题． 20. 如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为直角梯形， ， ， ， 是 的中点． A B 58kg 2K A 58kg 1 22 11 30 15P = = B 58kg 2 12 2 30 5P = = A B 58kg 11 15 2 5 2 2× A B 2 2 60 (10 27 20 3) 4.812 3.84113 47 30 30K × × − ×= = >× × × 95% P ABCD− PA ⊥ ABCD ABCD //AD BC 90BCD∠ = ° 2BC AD= E PB - 18 - （1）证明： 平面 ； （2）已知 ， ，求点 到平面 的距离． 【答案】（1）证明见解析，（2） 【解析】 【分析】 （1）取 PC 的中点 F，连接 EF，FD，由已知结合三角形中位线定理证明四边形 AEFD 为平 行四边形，得 ∥ ，再由直线与平面平行的判定可得 ∥平面 ； （2）由（1）知， ∥平面 ，则点 E 到平面 的距离等于点 A 到平面 的距 离，设点 A 到平面 的距离为 h，由 ，即可得 E 到平面 PCD 的距离 【详解】（1）证明：取 PC 的中点 F，连接 EF，FD， 因为 E 为 PB 的中点， 所以 EF 为三角形 PBC 的中位线，可得 EF∥BC， ， 因为 ， ， 所以 ∥ ， ， 所以四边形 为平行四边形，所以 ∥ ， 因为 在平面 外， 在平面 内， 所以 平面 ； （2）由（1）知， 平面 ，则点 E 到平面 PCD 的距离等于点 A 到平面 PCD 的距离， 设点 A 到平面 的距离为 h， 因为 平面 ，所以 ， 因为 , ， 所以 平面 ，所以 ， 因为 ， ，所以 ， 所以 ， 由 ，得 ， //AE PCD 2PA = 1AD CD= = E PCD 2 5 5 AE FD AE PCD AE PCD PCD PCD PCD P ACD A PCDV V− −= 1 2EF BC= //AD BC 1 2AD BC= EF AD EF AD= AEFD AE FD AE PCD FD PCD //AE PCD //AE PCD PCD PA ⊥ ABCD PA CD⊥ AD CD⊥ PA AD A∩ = CD ⊥ PAD CD PD⊥ 2PA = 1AD CD= = 5PD = 1 51 52 2PCDS = × × =  P ACD A PCDV V− −= 1 1 1 51 1 23 2 3 2 h× × × × = × - 19 - 解得 ， 即点 到平面 的距离为 【点睛】此题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力，考查利用等体积法求点到面 的距离，属于中档题 21. 在直角 中， ， 为 边上的一点， ． （1）若 ， ，求 的面积； （2）若 ，求 周长 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）在 中，利用余弦定理列式即可得解； （2） ， ， ，设 ， ， 在中，由正弦定理可得： ，从而可得： ， ， ，根据 范围即可得解. 【详解】（1）在 中，由余弦定理可得： ， 即 ， 2 5 5h = E PCD 2 5 5 ABC π 2A = D AC 3BD = 3BC = 2π 3BDC∠ = BDC π 3C = BCD l 3 3 4 (2 3,3 3l ∈ +  BDC π 3C = 6ABC π∠ = 3BD = DBC α∠ = 0 6 πα< ≤ 2sinsin sin( )3 3 BD CD BC π πα α = = − 2sinCD α= 2sin 3BC πα = +   = 3+2 3sin( )6l πα + α BDC 2 2 2 22 cos 3BC BD DC DB DC π= + − ⋅ 2 3 6 0DC DC+ − = - 20 - 解得 或 （舍去） 所以 . （2）应为 ， ， ， 设 ， ， 在 中，由正弦定理可得： ， 故 ， ， 所以 的周长 因为 ，所以 ， 所以 ， 所以 . 【点睛】本题考查了正余弦定理的应用，考查了三角函数的辅助角公式，考查了转化思想和 一定的计算能力，属于较难题. 22. 已知函数 ， 为自然对数的底数． （1）若 是 的极值点，求 的值，并求 的单调区间； （2）当 时，证明： ． 【答案】（1） ； 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ；（2）证明 见解析； 【解析】 3DC = 2 3DC = − 1 1 2 3 3sin 3 3 sin2 2 3 4BDCS BD DC BDC π= ⋅ ∠ = × × × =  π 3C = 6ABC π∠ = 3BD = DBC α∠ = 0 6 πα< ≤ BDC 2sinsin sin( )3 3 BD CD BC π πα α = = − 2sinCD α= 2sin 3BC πα = +   BCD l BD BC CD= + + = 3+sin 2sin( )3 πα α+ + = 3+3sin 3 cosα α+ = 3+2 3sin( )6 πα + 0 6 πα< ≤ 6 6 3 π π πα< + ≤ 1 3sin( )2 6 2 πα< + ≤ (2 3,3 3l ∈ +  ( ) ( )e 1 ln 2xf x a x= − + − e 1x = ( )f x a ( )f x 2a = ( ) 4 3ln3f x > − 1a e= − ( )f x (0,1) (1, )+∞ - 21 - 【分析】 （1）求导得 ，则 （1） ，从而得出 的值；于是 ，令 ，则 ，再比较 与 0 的大小关系即可得解． （2）由题可知， ，构造函数 ，易知 在 上单调递增， 又 ， ，于是存在 ，使得 ，从而推出 在 上 单调递减，在 ， 上单调递增，故 ，接下来利用基本不等式的性质证明 即可． 【详解】解：（1） ， ， 是 的极值点， ，解得 ． 此时， ，令 ，则 ， 当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增． 故 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ． （2）证明：当 时， ， ， 令 ，则 ，即 在 上单调递增， 又 ， ， 存在 ，使得 ，即 ，也就是 ， 当 时， ， ， 单调递减；当 ， 时， ， ， 单调递增． ， 故 ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、恒成立问题，运用了隐零点的思维、基本不 1( ) x af x e x +′ = − f ′ 0= a ( ) x ef x e x ′ = − ( ) 0f x′ = 1x = ( )′f x 3( ) xf x e x ′ = − ( ) ( )g x f x′= ( )g x (0, )+∞ ( )1 0g < ( )2 0g > 0 (1,2)x ∈ 0( ) 0g x = ( )f x 0(0, )x 0(x )+∞ 0( ) ( )minf x f x= 0( ) 4 3 3f x ln> − ( ) ( 1) 2xf x e a lnx= − + − 1( ) x af x e x +′∴ = − 1x = ( )f x ( )1 ( 1) 0f e a′∴ = − + = 1a e= − ( ) x ef x e x ′ = − ( ) 0f x′ = 1x = 0 1x< < ( ) 0f x′ < ( )f x 1x > ( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x (0,1) (1, )+∞ 2a = ( ) 3 2xf x e lnx= − − 3( ) xf x e x ′ = − 3( ) ( ) xg x f x e x ′= = − 2 3( ) 0xg x e x ′ = + > ( )g x (0, )+∞ ( )1 3 0g e= − < ( ) 2 32 02g e= − > ∴ 0 (1,2)x ∈ 0( ) 0g x = 0 0 3xe x = 0 03lnx ln x= − 0(0, )x x∈ ( ) 0g x ( ) 0f x′ > ( )f x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3( ) ( ) 3 2 3( 3 ) 2 3 3 3 2 2 3 3 3 2 4 3 3x minf x f x e lnx ln x x ln x ln lnx x x ∴ = = − − = − − − = + − − > − − = − ( ) 4 3 3f x ln> − - 22 - 等式的性质，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．