【数学】山东省泰安实验中学2019-2020学年高一下学期开学考试试题（解析版） 14页

山东省泰安实验中学2019-2020学年 高一下学期开学考试试题 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班缀、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题）‎ 选择题分单选题和多选题两个部分．‎ 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分）‎ ‎1.已知，，则（ ）‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题得=（0,4），所以．故选C ‎2.在中，内角的对边分别为，且，则的面积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得：，即：‎ ‎ ‎ 本题正确选项：D. ‎ ‎3.复数为虚数单位）的虚部是（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】对原式进行化简：‎ 所以复数的虚部为-1，故选D ‎4.设M为的重心，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】连接，并延长交于点D.‎ 由M为的重心，可知.‎ ‎，，‎ 得，‎ 故选D ‎5.平面截球所得截面的面积为，球心到截面的距离为，此球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设截面小圆半径为r,大圆半径为R，球心到截面距离为d，则，所以，根据公式得：，因此球的体积为．‎ ‎6.总体由编号为01，02，，29，30的30个个体组成，现从中9抽取一个容量为6的样本，请以随机数表第1行第3列开始，向右读取，则选出来的第6个个体的编号为（ ）‎ ‎70 29 17 12 13 40 33 12 38 26 13 89 51 03‎ ‎56 62 18 37 35 96 83 50 87 75 97 12 55 93‎ A. 12 B. ‎13 ‎C. 03 D. 40‎ ‎【答案】C ‎【解析】从随机数表第行第列开始由左到右依次选取两个数字中小于30的编号依次为29，17，12，13，26，03，‎ 则第6个个体的编号为26．‎ 故选C．‎ ‎7.如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为和，方差分别为和，则（ ）‎ A. ， B. ， ‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】观察题图可知，实线中数据都大于或等于虚线中的数据，所以小王成绩的平均数大于小张成绩的平均数，即；‎ 显然实线中的数据波动都大于或等于虚线中的数据波动，所以小王成绩的方差大于小张成绩的方差，即.‎ 故选：C.‎ ‎8.已知球的直径SC＝2，A，B是该球球面上的两点，AB＝1，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥的体积为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵AB＝1，∴△OAB为正三角形．‎ 又∵∠BSC＝∠ASC＝45°，且SC为直径，‎ ‎∴△ASC与△BSC均为等腰直角三角形．‎ ‎∴BO⊥SC，AO⊥SC.‎ 又AO∩BO＝O，∴SC⊥面ABO.‎ ‎，‎ 故选D.‎ 二、多选题（共4各小题，每小题5分，共20分，错选不得分，选不全得3分）‎ ‎9.已知向量，，，则可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】BD ‎【解析】设，依题意有，解得或.‎ 故选：BD ‎10.某人在A处向正东方向走后到达B处,他向右转150°,然后朝新方向走‎3km到达C处,结果他离出发点恰好,那么x的值为( )‎ A. B. C. D. 3‎ ‎【答案】AB ‎【解析】由题意得,由余弦定理得,‎ 解得或.‎ 故选：AB.‎ ‎11.已知为虚数单位，则下面命题正确的是（ ）‎ A. 若复数，则．‎ B. 复数满足，在复平面内对应的点为，则．‎ C 若复数，满足，则．‎ D. 复数的虚部是3．‎ ‎【答案】ABC ‎【解析】由，故A正确；‎ 由在复平面内对应的点为，则，‎ 即，则，故B正确；‎ 设复数，则，所以，故C正确；‎ 复数的虚部是-3，故D不正确.‎ 故选：A、B、C ‎12.正方体的棱长为2,分别为的中点,则（ ）‎ A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行 C. 平面截正方体所得的截面面积为 D. 点与点到平面的距离相等 ‎【答案】BC ‎【解析】A．若，又因为且，所以平面 ‎，‎ 所以，所以，显然不成立，故结论错误；‎ B．如图所示，取的中点，连接，‎ 由条件可知：，，且，‎ 所以平面平面，‎ 又因为平面，所以平面，故结论正确；‎ C．如图所示，连接，延长交于点，‎ 因为为的中点，所以，所以四点共面，‎ 所以截面即为梯形，又因为，，‎ 所以，所以，故结论正确；‎ D．记点与点到平面的距离分别为，‎ 因为，‎ 又因为，‎ 所以，故结论错误.‎ 故选：BC.‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 非选择题共两个部分，第一部分为填空题，第二部分为解答题．‎ 三、填空题 ‎13.已知向量，.若，则实数________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】因为，故即，故，填.‎ ‎14.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取50名职工作样本，若采用分层抽样方法，则岁年龄段应抽取______人 ‎【答案】15‎ ‎【解析】某单位200名职工的年龄分布情况如图所示．现要从中抽取50名职工作样本，‎ 采用分层抽样方法，则岁年龄段应抽取：．‎ 故答案为15．‎ ‎15.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC，c，△ABC的面积为，则a+b的值为_____‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】由，，可得：，，‎ 由面积可得，‎ 所以，‎ 由已知及余弦定理得，故，‎ 从而，所以．‎ 故答案为：5‎ ‎16.正三棱锥P﹣ABC高为2，侧棱与底面所成角为45°，则二面角P﹣AB﹣C的正切值是_____，点A到侧面PBC的距离是_____．‎ ‎【答案】 (1). 2 (2). ‎ ‎【解析】作底面，交面于点，连接并延长并于点，‎ 取中点，连结，则点在上，‎ 是二面角的平面角，‎ ‎∵正三棱锥的高为2，侧棱与底面所成的角为，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴二面角的正切值，‎ 又，‎ 设，则，‎ 由勾股定理得，解得，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，设点到面的距离为，‎ ‎，解得，‎ ‎∴点到面的距离为．故答案为．‎ 四、解答题（共6小题，第17题10分，其余题目12分，共70分）‎ ‎17.已知非零向量，满足，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）当时，求向量与夹角的值.‎ ‎【解】（1），；‎ ‎（2），‎ ‎，所以向量与的夹角的值为.‎ ‎18.已知复数，，．‎ ‎（Ⅰ）当时，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若是纯虚数，求a的值；‎ ‎（Ⅲ）若在复平面上对应的点在第二象限，求a的取值范围．‎ ‎【解】（Ⅰ）由题意；‎ ‎（Ⅱ）由题意为纯虚数，则，所以；‎ ‎（Ⅲ），对应点，它是第二象限点，则，解得．故的范围是．‎ ‎19.已知的三个内角，，的对边分别为，，，‎ 若.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的最大值.‎ ‎【解】（1）因为，‎ 故，‎ 由正弦定理可得，，‎ 由余弦定理得，，又因为，故.‎ ‎（2）因为，，则有，‎ ‎，其中，‎ 故的最大值为.‎ ‎20.如图所示，是的直径，点在上，是所在平面外一点，是的中点.‎ ‎（1）.求证：平面；‎ ‎（2）.若是边长为6的正三角形，，且，求三棱锥的体积.‎ ‎【解】(1)是的直径，则由是的中点，‎ 又是的中点.‎ 在中，可得，且平面,平面.‎ 所以平面.‎ ‎（2）由是的直径，点在上，则,即.‎ 又，且.所以平面.‎ 是边长为6的正三角形，则.‎ ‎ ‎ 又 ‎21.“水是生命之源”，但是据科学界统计可用淡水资源仅占地球储水总量的，全世界近人口受到水荒的威胁．某市为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）：一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出 的部分按议价收费．为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）设该市有60万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2.5吨的人数，并说明理由；‎ ‎（3）若该市政府希望使的居民每月的用水不按议价收费，估计的值，并说明理由．‎ ‎【解】（1）由概率统计相关知识，可知各组频率之和的值为 即频率分布直方图各小矩形面积之和为 解得：‎ ‎（2）由图可知，不低于吨人数所占百分比为 全市月均用水量不低于吨的人数为：（万）‎ ‎（3）由（2）可知，月均用水量小于吨的居民人数所占百分比为：‎ 即的居民月均用水量小于吨，同理，的居民月均用水量小于吨 故，假设月均用水量平均分布，则（吨）‎ 注：本次估计默认组间是平均分布，与实际可能会产生一定误差 ‎22.如图，在四棱锥中，平面平面，在中，，为的中点，四边形是等腰梯形，，．‎ ‎（Ⅰ）求异面直线与所成角的正弦值；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面平面；‎ ‎（Ⅲ）求直线与平面所成角的正切值．‎ ‎【解】（Ⅰ）因为四边形是等腰梯形，故可得//，‎ 故即为所求夹角或其补角，‎ 在中，因为，且为底边中点，‎ 故可得，又因为，‎ 故可得，‎ 则.‎ 故异面直线与所成角的正弦值为.‎ ‎（Ⅱ）因为平面平面，且交线为，‎ 又因为平面，则平面，‎ 又因为平面，故可得；‎ 又在四边形中：过作，垂足为，‎ 因为，‎ 故容易得，‎ 则 满足，则；‎ 又因为平面，且，‎ 故可得平面，又因为平面，‎ 故平面平面，即证 ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）可得平面，‎ 则即为所求线面角.‎ 在中，因为，‎ 故可得.‎ 故直线与平面所成角的正切值为.‎