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  • 2021-06-15 发布

2015年广东省高考数学试卷(理科)

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‎2015年广东省高考数学试卷(理科)‎ ‎ ‎ 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.(5分)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x﹣4)(x﹣1)=0},则M∩N=(  )‎ A.{1,4} B.{﹣1,﹣4} C.{0} D.∅‎ ‎2.(5分)若复数z=i(3﹣2i)(i是虚数单位),则=(  )‎ A.2﹣3i B.2+3i C.3+2i D.3﹣2i ‎3.(5分)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是(  )‎ A.y= B.y=x+ C.y=2x+ D.y=x+ex ‎4.(5分)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为(  )‎ A. B. C. D.1‎ ‎5.(5分)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是(  )‎ A.2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B.2x+y+=0或2x+y﹣=0‎ C.2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D.2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0‎ ‎6.(5分)若变量x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最小值为(  )‎ A.4 B. C.6 D.‎ ‎7.(5分)已知双曲线C:﹣=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为(  )‎ A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1‎ ‎8.(5分)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值(  )‎ A.至多等于3 B.至多等于4 C.等于5 D.大于5‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.)(一)必做题(11~13题)‎ ‎9.(5分)在(﹣1)4的展开式中,x的系数为  .‎ ‎10.(5分)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=  .‎ ‎11.(5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b=  .‎ ‎12.(5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了  条毕业留言.(用数字作答)‎ ‎13.(5分)已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则P=  .‎ ‎14.(5分)已知直线l的极坐标方程为2ρsin(θ﹣)=,点A的极坐标为A(2,),则点A到直线l的距离为  .‎ ‎15.如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1.过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于D和点P,则OD=  .‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎16.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量=(,﹣),=(sinx,cosx),x∈(0,).‎ ‎(1)若⊥,求tanx的值;‎ ‎(2)若与的夹角为,求x的值.‎ ‎17.(12分)某工厂36名工人年龄数据如图:‎ 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎40‎ ‎44‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎33‎ ‎40‎ ‎45‎ ‎42‎ ‎43‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎36‎ ‎31‎ ‎38‎ ‎39‎ ‎43‎ ‎45‎ ‎39‎ ‎38‎ ‎36‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎27‎ ‎43‎ ‎41‎ ‎37‎ ‎34‎ ‎42‎ ‎37‎ ‎44‎ ‎42‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎33‎ ‎34‎ ‎35‎ ‎36‎ ‎34‎ ‎39‎ ‎43‎ ‎38‎ ‎42‎ ‎53‎ ‎37‎ ‎49‎ ‎39‎ ‎(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;‎ ‎(2)计算(1)中样本的均值和方差s2;‎ ‎(3)36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人?所占百分比是多少(精确到0.01%)?‎ ‎18.(14分)如图,三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3,点E是CD的中点,点F、G分别在线段AB、BC上,且AF=2FB,CG=2GB.‎ ‎(1)证明:PE⊥FG;‎ ‎(2)求二面角P﹣AD﹣C的正切值;‎ ‎(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.‎ ‎19.(14分)设a>1,函数f(x)=(1+x2)ex﹣a.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)证明f(x)在(﹣∞,+∞)上仅有一个零点;‎ ‎(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行,(O是坐标原点),证明:m≤﹣1.‎ ‎20.(14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A,B.‎ ‎(1)求圆C1的圆心坐标;‎ ‎(2)求线段AB 的中点M的轨迹C的方程;‎ ‎(3)是否存在实数 k,使得直线L:y=k(x﹣4)与曲线 C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.‎ ‎21.(14分)数列{an}满足:a1+2a2+…nan=4﹣,n∈N+.‎ ‎(1)求a3的值;‎ ‎(2)求数列{an}的前 n项和Tn;‎ ‎(3)令b1=a1,bn=+(1+++…+)an(n≥2),证明:数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<2+2lnn.‎ ‎ ‎ ‎2015年广东省高考数学试卷(理科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)‎ ‎1.(5分)(2015•广东)若集合M={x|(x+4)(x+1)=0},N={x|(x﹣4)(x﹣1)=0},则M∩N=(  )‎ A.{1,4} B.{﹣1,﹣4} C.{0} D.∅‎ ‎【分析】求出两个集合,然后求解交集即可.‎ ‎【解答】解:集合M={x|(x+4)(x+1)=0}={﹣1,﹣4},‎ N={x|(x﹣4)(x﹣1)=0}={1,4},‎ 则M∩N=∅.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2015•广东)若复数z=i(3﹣2i)(i是虚数单位),则=(  )‎ A.2﹣3i B.2+3i C.3+2i D.3﹣2i ‎【分析】直接利用复数的乘法运算法则化简求解即可.‎ ‎【解答】解:复数z=i(3﹣2i)=2+3i,则=2﹣3i,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2015•广东)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是(  )‎ A.y= B.y=x+ C.y=2x+ D.y=x+ex ‎【分析】直接利用函数的奇偶性判断选项即可.‎ ‎【解答】解:对于A,y=是偶函数,所以A不正确;‎ 对于B,y=x+函数是奇函数,所以B不正确;‎ 对于C,y=2x+是偶函数,所以C不正确;‎ 对于D,不满足f(﹣x)=f(x)也不满足f(﹣x)=﹣f(x),所以函数既不是奇函数,也不是偶函数,所以D正确.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2015•广东)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为(  )‎ A. B. C. D.1‎ ‎【分析】首先判断这是一个古典概型,从而求基本事件总数和“所取的2个球中恰有1个白球,1个红球”事件包含的基本事件个数,容易知道基本事件总数便是从15个球任取2球的取法,而在求“所取的2个球中恰有1个白球,1个红球”事件的基本事件个数时,可利用分步计数原理求解,最后带入古典概型的概率公式即可.‎ ‎【解答】解:这是一个古典概型,从15个球中任取2个球的取法有;‎ ‎∴基本事件总数为105;‎ 设“所取的2个球中恰有1个白球,1个红球”为事件A;‎ 则A包含的基本事件个数为=50;‎ ‎∴P(A)=.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2015•广东)平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是(  )‎ A.2x+y+5=0或2x+y﹣5=0 B.2x+y+=0或2x+y﹣=0‎ C.2x﹣y+5=0或2x﹣y﹣5=0 D.2x﹣y+=0或2x﹣y﹣=0‎ ‎【分析】设出所求直线方程,利用圆心到直线的距离等于半径,求出直线方程中的变量,即可求出直线方程.‎ ‎【解答】解:设所求直线方程为2x+y+b=0,则,‎ 所以=,所以b=±5,‎ 所以所求直线方程为:2x+y+5=0或2x+y﹣5=0‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2015•广东)若变量x,y满足约束条件,则z=3x+2y的最小值为(  )‎ A.4 B. C.6 D.‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,根据z的几何意义,利用数形结合即可得到最小值.‎ ‎【解答】解:不等式组对应的平面区域如图:‎ 由z=3x+2y得y=﹣x+,平移直线y=﹣x+,‎ 则由图象可知当直线y=﹣x+,经过点A时直线y=﹣x+的截距最小,‎ 此时z最小,‎ 由,解得,即A(1,),‎ 此时z=3×1+2×=,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2015•广东)已知双曲线C:﹣=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为(  )‎ A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1‎ ‎【分析】利用已知条件,列出方程,求出双曲线的几何量,即可得到双曲线方程.‎ ‎【解答】解:双曲线C:﹣=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),‎ 可得:,c=5,∴a=4,b==3,‎ 所求双曲线方程为:﹣=1.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2015•广东)若空间中n个不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值(  )‎ A.至多等于3 B.至多等于4 C.等于5 D.大于5‎ ‎【分析】先考虑平面上的情况:只有三个点的情况成立;再考虑空间里,只有四个点的情况成立,注意运用外接球和三角形三边的关系,即可判断.‎ ‎【解答】解:考虑平面上,3个点两两距离相等,构成等边三角形,成立;‎ ‎4个点两两距离相等,由三角形的两边之和大于第三边,则不成立;‎ n大于4,也不成立;‎ 在空间中,4个点两两距离相等,构成一个正四面体,成立;‎ 若n>4,由于任三点不共线,当n=5时,考虑四个点构成的正四面体,‎ 第五个点,与它们距离相等,必为正四面体的外接球的球心,‎ 且球的半径等于边长,即有球心与正四面体的底面的中心重合,故不成立;‎ 同理n>5,不成立.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.)(一)必做题(11~13题)‎ ‎9.(5分)(2015•广东)在(﹣1)4的展开式中,x的系数为 6 .‎ ‎【分析】根据题意二项式(﹣1)4的展开式的通项公式为Tr+1=•(﹣1)r•,分析可得,r=2时,有x的项,将r=2代入可得答案.‎ ‎【解答】解:二项式(﹣1)4的展开式的通项公式为Tr+1=•(﹣1)r•,‎ 令2﹣=1,求得r=2,‎ ‎∴二项式(﹣1)4的展开式中x的系数为=6,‎ 故答案为:6.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2015•广东)在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8= 10 .‎ ‎【分析】根据等差数列的性质,化简已知的等式即可求出a5的值,然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后,将a5的值代入即可求出值.‎ ‎【解答】解:由a3+a4+a5+a6+a7=(a3+a7)+(a4+a6)+a5=5a5=25,‎ 得到a5=5,‎ 则a2+a8=2a5=10.‎ 故答案为:10.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2015•广东)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b= 1 .‎ ‎【分析】由sinB=,可得B=或B=,结合a=,C=及正弦定理可求b ‎【解答】解:∵sinB=,‎ ‎∴B=或B=‎ 当B=时,a=,C=,A=,‎ 由正弦定理可得,‎ 则b=1‎ 当B=时,C=,与三角形的内角和为π矛盾 故答案为:1‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2015•广东)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了 1560 条毕业留言.(用数字作答)‎ ‎【分析】通过题意,列出排列关系式,求解即可.‎ ‎【解答】解:某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了=40×39=1560条.‎ 故答案为:1560.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2015•广东)已知随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,则P=  .‎ ‎【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可.‎ ‎【解答】解:随机变量X服从二项分布B(n,p),若E(X)=30,D(X)=20,‎ 可得np=30,npq=20,q=,则p=,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2015•广东)已知直线l的极坐标方程为2ρsin(θ﹣)=,点A的极坐标为A(2,),则点A到直线l的距离为  .‎ ‎【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程,然后求出极坐标表示的直角坐标,利用点到直线的距离求解即可.‎ ‎【解答】解:直线l的极坐标方程为2ρsin(θ﹣)=,对应的直角坐标方程为:y﹣x=1,‎ 点A的极坐标为A(2,),它的直角坐标为(2,﹣2).‎ 点A到直线l的距离为:=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎15.(2015•广东)如图,已知AB是圆O的直径,AB=4,EC是圆O的切线,切点为C,BC=1.过圆心O作BC的平行线,分别交EC和AC于D和点P,则OD= 8 .‎ ‎【分析】连接OC,确定OP⊥AC,OP=BC=,Rt△OCD中,由射影定理可得OC2=OP•OD,即可得出结论.‎ ‎【解答】解:连接OC,则OC⊥CD,‎ ‎∵AB是圆O的直径,‎ ‎∴BC⊥AC,‎ ‎∵OP∥BC,‎ ‎∴OP⊥AC,OP=BC=,‎ Rt△OCD中,由射影定理可得OC2=OP•OD,‎ ‎∴4=OD,‎ ‎∴OD=8.‎ 故答案为:8.‎ ‎ ‎ 三、解答题 ‎16.(12分)(2015•广东)在平面直角坐标系xOy中,已知向量=(,﹣),=(sinx,cosx),x∈(0,).‎ ‎(1)若⊥,求tanx的值;‎ ‎(2)若与的夹角为,求x的值.‎ ‎【分析】(1)若⊥,则•=0,结合三角函数的关系式即可求tanx的值;‎ ‎(2)若与的夹角为,利用向量的数量积的坐标公式进行求解即可求x的值.‎ ‎【解答】解:(1)若⊥,‎ 则•=(,﹣)•(sinx,cosx)=sinx﹣cosx=0,‎ 即sinx=cosx sinx=cosx,即tanx=1;‎ ‎(2)∵||=,||==1,•=(,﹣)•(sinx,cosx)=sinx﹣cosx,‎ ‎∴若与的夹角为,‎ 则•=||•||cos=,‎ 即sinx﹣cosx=,‎ 则sin(x﹣)=,‎ ‎∵x∈(0,).‎ ‎∴x﹣∈(﹣,).‎ 则x﹣=‎ 即x=+=.‎ ‎ ‎ ‎17.(12分)(2015•广东)某工厂36名工人年龄数据如图:‎ 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 工人编号 年龄 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎40‎ ‎44‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎33‎ ‎40‎ ‎45‎ ‎42‎ ‎43‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎16‎ ‎17‎ ‎18‎ ‎36‎ ‎31‎ ‎38‎ ‎39‎ ‎43‎ ‎45‎ ‎39‎ ‎38‎ ‎36‎ ‎19‎ ‎20‎ ‎21‎ ‎22‎ ‎23‎ ‎24‎ ‎25‎ ‎26‎ ‎27‎ ‎27‎ ‎43‎ ‎41‎ ‎37‎ ‎34‎ ‎42‎ ‎37‎ ‎44‎ ‎42‎ ‎28‎ ‎29‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎32‎ ‎33‎ ‎34‎ ‎35‎ ‎36‎ ‎34‎ ‎39‎ ‎43‎ ‎38‎ ‎42‎ ‎53‎ ‎37‎ ‎49‎ ‎39‎ ‎(1)用系统抽样法从36名工人中抽取容量为9的样本,且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为44,列出样本的年龄数据;‎ ‎(2)计算(1)中样本的均值和方差s2;‎ ‎(3)36名工人中年龄在﹣s和+s之间有多少人?所占百分比是多少(精确到0.01%)?‎ ‎【分析】(1)利用系统抽样的定义进行求解即可;‎ ‎(2)根据均值和方差公式即可计算(1)中样本的均值和方差s2;‎ ‎(3)求出样本和方差即可得到结论.‎ ‎【解答】解:(1)由系统抽样知,36人分成9组,每组4人,其中第一组的工人年龄为44,所以其编号为2,‎ ‎∴所有样本数据的编号为:4n﹣2,(n=1,2,…,9),‎ 其数据为:44,40,36,43,36,37,44,43,37.‎ ‎(2)由平均值公式得=(44+40+36+43+36+37+44+43+37)=40.‎ 由方差公式得s2=[(44﹣40)2+(40﹣40)2+…+(37﹣40)2]=.‎ ‎(3)∵s2=.∴s=∈(3,4),‎ ‎∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间的人数等于区间[37,43]的人数,‎ 即40,40,41,…,39,共23人.‎ ‎∴36名工人中年龄在﹣s和+s之间所占百分比为≈63.89%.‎ ‎ ‎ ‎18.(14分)(2015•广东)如图,三角形△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3,点E是CD的中点,点F、G分别在线段AB、BC上,且AF=2FB,CG=2GB.‎ ‎(1)证明:PE⊥FG;‎ ‎(2)求二面角P﹣AD﹣C的正切值;‎ ‎(3)求直线PA与直线FG所成角的余弦值.‎ ‎【分析】(1)通过△PDC为等腰三角形可得PE⊥CD,利用线面垂直判定定理及性质定理即得结论;‎ ‎(2)通过(1)及面面垂直定理可得PG⊥AD,则∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角,利用勾股定理即得结论;‎ ‎(3)连结AC,利用勾股定理及已知条件可得FG∥AC,在△PAC中,利用余弦定理即得直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠‎ PAC的余弦值.‎ ‎【解答】(1)证明:在△PDC中PO=PC且E为CD中点,‎ ‎∴PE⊥CD,‎ 又∵平面PDC⊥平面ABCD,平面PDC∩平面ABCD=CD,PE⊂平面PCD,‎ ‎∴PE⊥平面ABCD,‎ 又∵FG⊂平面ABCD,‎ ‎∴PE⊥FG;‎ ‎(2)解:由(1)知PE⊥平面ABCD,∴PE⊥AD,‎ 又∵CD⊥AD且PE∩CD=E,‎ ‎∴AD⊥平面PDC,‎ 又∵PD⊂平面PDC,∴AD⊥PD,‎ 又∵AD⊥CD,∴∠PDC为二面角P﹣AD﹣C的平面角,‎ 在Rt△PDE中,由勾股定理可得:‎ PE===,‎ ‎∴tan∠PDC==;‎ ‎(3)解:连结AC,则AC==3,‎ 在Rt△ADP中,AP===5,‎ ‎∵AF=2FB,CG=2GB,‎ ‎∴FG∥AC,‎ ‎∴直线PA与直线FG所成角即为直线PA与直线AC所成角∠PAC,‎ 在△PAC中,由余弦定理得 cos∠PAC=‎ ‎=‎ ‎=.‎ ‎ ‎ ‎19.(14分)(2015•广东)设a>1,函数f(x)=(1+x2)ex﹣a.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间;‎ ‎(2)证明f(x)在(﹣∞,+∞)上仅有一个零点;‎ ‎(3)若曲线y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,且在点M(m,n)处的切线与直线OP平行,(O是坐标原点),证明:m≤﹣1.‎ ‎【分析】(1)利用f′(x)>0,求出函数单调增区间.‎ ‎(2)证明只有1个零点,需要说明两个方面:①函数单调;②函数有零点.‎ ‎(3)利用导数的最值求解方法证明,思路较为复杂.‎ ‎【解答】解:(1)f′(x)=ex(x2+2x+1)=ex(x+1)2,‎ ‎∴f′(x)>0,‎ ‎∴f(x)=(1+x2)ex﹣a在(﹣∞,+∞)上为增函数.‎ ‎(2)证明:∵f(0)=1﹣a,a>1,‎ ‎∴1﹣a<0,即f(0)<0,‎ ‎∵f()=(1+a)﹣a=+a(﹣1),a>1,‎ ‎∴>1,﹣1>0,即f()>0,‎ 且由(1)问知函数在(﹣∞,+∞)上为增函数,‎ ‎∴f(x)在(﹣∞,+∞)上有且只有一个零点.‎ ‎(3)证明:f′(x)=ex(x+1)2,‎ 设点P(x0,y0)则)f'(x)=ex0(x0+1)2,‎ ‎∵y=f(x)在点P处的切线与x轴平行,‎ ‎∴f′(x0)=0,即:ex0(x0+1)2=0,‎ ‎∴x0=﹣1,‎ 将x0=﹣1代入y=f(x)得y0=.‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ 要证m≤﹣1,即证(m+1)3≤a﹣,‎ 需要证(m+1)3≤em(m+1)2,‎ 即证m+1≤em,‎ 因此构造函数g(m)=em﹣(m+1),‎ 则g′(m)=em﹣1,由g′(m)=0得m=0.‎ 当m∈(0,+∞)时,g′(m)>0,‎ 当m∈(﹣∞,0)时,g′(m)<0,‎ ‎∴g(m)的最小值为g(0)=0,‎ ‎∴g(m)=em﹣(m+1)≥0,‎ ‎∴em≥m+1,‎ ‎∴em(m+1)2≥(m+1)3,‎ 即:,‎ ‎∴m≤.‎ ‎ ‎ ‎20.(14分)(2015•广东)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2﹣6x+5=0相交于不同的两点A,B.‎ ‎(1)求圆C1的圆心坐标;‎ ‎(2)求线段AB 的中点M的轨迹C的方程;‎ ‎(3)是否存在实数 k,使得直线L:y=k(x﹣4)与曲线 C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.‎ ‎【分析】(1)通过将圆C1的一般式方程化为标准方程即得结论;‎ ‎(2)设当直线l的方程为y=kx,通过联立直线l与圆C1的方程,利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化,计算即得结论;‎ ‎(3)通过联立直线L与圆C1的方程,利用根的判别式△=0及轨迹C的端点与点(4,0)决定的直线斜率,即得结论.‎ ‎【解答】解:(1)∵圆C1:x2+y2﹣6x+5=0,‎ 整理,得其标准方程为:(x﹣3)2+y2=4,‎ ‎∴圆C1的圆心坐标为(3,0);‎ ‎(2)设当直线l的方程为y=kx、A(x1,y1)、B(x2,y2),‎ 联立方程组,‎ 消去y可得:(1+k2)x2﹣6x+5=0,‎ 由△=36﹣4(1+k2)×5>0,可得k2<‎ 由韦达定理,可得x1+x2=,‎ ‎∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为,其中﹣<k<,‎ ‎∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为:(x﹣)2+y2=,其中<x≤3;‎ ‎(3)结论:当k∈(﹣,)∪{﹣,}时,直线L:y=k(x﹣4)与曲线C只有一个交点.‎ 理由如下:‎ 联立方程组,‎ 消去y,可得:(1+k2)x2﹣(3+8k2)x+16k2=0,‎ 令△=(3+8k2)2﹣4(1+k2)•16k2=0,解得k=±,‎ 又∵轨迹C的端点(,±)与点(4,0)决定的直线斜率为±,‎ ‎∴当直线L:y=k(x﹣4)与曲线C只有一个交点时,‎ k的取值范围为(﹣,)∪{﹣,}.‎ ‎ ‎ ‎21.(14分)(2015•广东)数列{an}满足:a1+2a2+…nan=4﹣,n∈N+.‎ ‎(1)求a3的值;‎ ‎(2)求数列{an}的前 n项和Tn;‎ ‎(3)令b1=a1,bn=+(1+++…+)an(n≥2),证明:数列{bn}的前n项和Sn满足Sn<2+2lnn.‎ ‎【分析】(1)利用数列的递推关系即可求a3的值;‎ ‎(2)利用作差法求出数列{an}的通项公式,利用等比数列的前n项和公式即可求数列{an}的前 n项和Tn;‎ ‎(3)利用构造法,结合裂项法进行求解即可证明不等式.‎ ‎【解答】解:(1)∵a1+2a2+…nan=4﹣,n∈N+.‎ ‎∴a1=4﹣3=1,1+2a2=4﹣=2,‎ 解得a2=,‎ ‎∵a1+2a2+…+nan=4﹣,n∈N+.‎ ‎∴a1+2a2+…+(n﹣1)an﹣1=4﹣,n∈N+.‎ 两式相减得nan=4﹣﹣(4﹣)=,n≥2,‎ 则an=,n≥2,‎ 当n=1时,a1=1也满足,‎ ‎∴an=,n≥1,‎ 则a3=;‎ ‎(2)∵an=,n≥1,‎ ‎∴数列{an}是公比q=,‎ 则数列{an}的前 n项和Tn==2﹣21﹣n.‎ ‎(3)bn=+(1+++…+)an,‎ ‎∴b1=a1,b2=+(1+)a2,b3=(1++)a3,‎ ‎∴bn=+(1+++…+)an,‎ ‎∴Sn=b1+b2+…+bn=(1+++…+)a1+(1+++…+)a2+…+(1+++…+)an ‎=(1+++…+)(a1+a2+…+an)=(1+++…+)Tn ‎=(1+++…+)(2﹣21﹣n)<2×(1+++…+),‎ 设f(x)=lnx+﹣1,x>1,‎ 则f′(x)=﹣.‎ 即f(x)在(1,+∞)上为增函数,‎ ‎∵f(1)=0,即f(x)>0,‎ ‎∵k≥2,且k∈N•时,,‎ ‎∴f()=ln+﹣1>0,即ln>,‎ ‎∴ln,,…,‎ 即=lnn,‎ ‎∴2×(1+++…+)=2+2×(++…+)<2+2lnn,‎ 即Sn<2(1+lnn)=2+2lnn.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;wkl197822;刘长柏;双曲线;吕静;maths;cst;雪狼王(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日