• 76.39 KB
  • 2021-06-15 发布

2007年上海市春季高考数学试卷【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

  • 7页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
‎2007年上海市春季高考数学试卷 一、填空题(本大题满分44分)本大题共有11题,只要求直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分.‎ ‎1. 计算limn→∞‎‎2n‎2‎+1‎‎3n(n+1)‎‎=‎________.‎ ‎2. 若关于x的一元二次实系数方程x‎2‎‎+px+q=0‎有一个根为‎1+i(i是虚数单位),则q=‎________.‎ ‎3. 若关于x的不等式x-ax+1‎‎>0‎的解集为‎(-∞, -1)∪(4, +∞)‎,则实数a=‎________.‎ ‎4. 函数y=‎(sinx+cosx‎)‎‎2‎的最小正周期是________.‎ ‎5. 设函数y=f(x)‎是奇函数.若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3‎,则f(1)+f(2)=‎________.‎ ‎6. 在平面直角坐标系xoy中,若抛物线y‎2‎‎=4x上的点P到该抛物线的焦点的距离为‎6‎,则点P的横坐标x=‎________.‎ ‎7. 在平面直角坐标系xOy中,若曲线x=‎‎4-‎y‎2‎与直线x=m有且只有一个公共点,则实数m=‎________.‎ ‎8. 若向量a‎→‎,b‎→‎满足‎|a‎→‎|=‎‎2‎,‎|b‎→‎|=1‎,a‎→‎‎⋅(a‎→‎+b‎→‎)=1‎,则向量a‎→‎,b‎→‎的夹角的大小为________.‎ ‎9. 若x‎1‎、x‎2‎为方程‎2‎x‎=‎‎(‎1‎‎2‎)‎‎-‎1‎x+1‎的两个实数解,则x‎1‎‎+‎x‎2‎=________.‎ ‎10. 在一次教师联欢会上,到会的女教师比男教师多‎12‎人,从这些教师中随机挑选一人表演节目.若选到男教师的概率为‎9‎‎20‎,则参加联欢会的教师共有________人.‎ ‎11. 函数y=‎x‎2‎‎+1,x≥0‎‎2‎x‎,x<0‎  的反函数是________.‎ 二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,否则一律得零分.‎ ‎12. 若集合A={1, m‎2‎}‎,B={2, 4}‎,则“m=2‎”是“A∩B={4}‎”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎13. 如图,平面内的两条相交直线OP‎1‎和OP‎2‎将该平面分割成四个部分I、II、III、IV(不包括边界).若OP‎→‎‎=aOP‎1‎‎→‎+bOP‎2‎‎→‎,且点P落在第III部分,则实数a、b满足( )‎ A.a>0‎,b>0‎ B.a>0‎,b<0‎ C.a<0‎,b>0‎ D.a<0‎,‎b<0‎ ‎14. 下列四个函数中,图象如图所示的只能是( )‎ A.y=x+lgx B.y=x-lgx C.y=-x+lgx D.‎y=-x-lgx ‎15. 设a、b是正实数,以下不等式:①ab‎>‎‎2aba+b;②a>|a-b|-b;③a‎2‎‎+b‎2‎>4ab-3‎b‎2‎;④ab+‎2‎ab>2‎恒成立的序号为( )‎ A.①③ B.①④ C.②③ D.②④‎ 三、解答题(本大题满分90分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.‎ ‎16. 如图,在棱长为‎2‎的正方体ABCD-‎A‎'‎B‎'‎C‎'‎D‎'‎中,E,F分别是A‎'‎B‎'‎和AB的中点,求异面直线A‎'‎F与 ‎ 7 / 7‎ CE所成角的大小 (结果用反三角函数值表示).‎ ‎17. 求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提出与原来问题有关的新问题,我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题.‎ 例如,原来问题是“若正四棱锥底面边长为‎4‎,侧棱长为‎3‎,求该正四棱锥的体积”.求出体积‎16‎‎3‎后,它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为‎4‎,体积为‎16‎‎3‎,求侧棱长”;也可以是“若正四棱锥的体积为‎16‎‎3‎,求所有侧面面积之和的最小值”.‎ 试给出问题“在平面直角坐标系xoy中,求点P(2, 1)‎到直线‎3x+4y=0‎的距离.”的一个有意义的“逆向”问题,并解答你所给出的“逆向”问题.‎ ‎18. 在直角坐标系中,设椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左、右两个焦点分别为F‎1‎,F‎2‎.过右焦点F‎2‎且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交,其中一个交点为M(‎2‎, 1)‎.‎ ‎(1)求椭圆C的方程;‎ ‎(2)设椭圆C的一个顶点为B(0, -b)‎,直线BF‎2‎交椭圆C于另一点N,求‎△F‎1‎BN的面积.‎ ‎ 7 / 7‎ ‎19. 某人定制了一批地砖.每块地砖 (如图‎1‎所示)是边长为‎0.4‎米的正方形ABCD,点E、F分别在边BC和CD上,‎△CFE、‎△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成,制成‎△CFE、‎△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为‎3:2:1‎.若将此种地砖按图‎2‎所示的形式铺设,能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH.‎ ‎(1)求证:四边形EFGH是正方形;‎ ‎(2)E,F在什么位置时,定制这批地砖所需的材料费用最省?‎ ‎20. 通常用a、b、c表示‎△ABC的三个内角‎∠A、‎∠B、‎∠C所对边的边长,R表示‎△ABC外接圆半径.‎ ‎(1)如图所示,在以O为圆心,半径为‎2‎的‎⊙O中,BC和BA是‎⊙O的弦,其中BC=2‎,‎∠ABC=‎‎45‎‎∘‎,求弦AB的长;‎ ‎(2)在‎△ABC中,若‎∠C是钝角,求证:a‎2‎‎+b‎2‎<4‎R‎2‎;‎ ‎(3)给定三个正实数a、b、R,其中b≤a,问:a、b、R满足怎样的关系时,以a、b为边长,R为外接圆半径的‎△ABC不存在,存在一个或两个(全等的三角形算作同一个)?在‎△ABC存在的情况下,用a、b、R表示c.‎ ‎ 7 / 7‎ ‎21. 我们在下面的表格内填写数值:先将第‎1‎行的所有空格填上‎1‎;再把一个首项为‎1‎,公比为q的数列‎{an}‎依次填入第一列的空格内;然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格.‎ 第‎1‎列 第‎2‎列 第‎3‎列 ‎…‎ 第n列 第‎1‎行 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎…‎ ‎1‎ 第‎2‎行 q 第‎3‎行 q‎2‎ ‎…‎ ‎…‎ 第n行 qn-1‎ ‎(1)设第‎2‎行的数依次为B‎1‎,B‎2‎,…,Bn,试用n,q表示B‎1‎‎+B‎2‎+...+‎Bn的值;‎ ‎(2)设第‎3‎列的数依次为c‎1‎,c‎2‎,c‎3‎,…,cn,求证:对于任意非零实数q,c‎1‎‎+c‎3‎>2‎c‎2‎;‎ ‎(3)请在以下两个问题中选择一个进行研究 (只能选择一个问题,如果都选,被认为选择了第一问).‎ ‎①能否找到q的值,使得(2)中的数列c‎1‎,c‎2‎,c‎3‎,…,cn的前m项c‎1‎,c‎2‎,…,cm ‎(m≥3)‎成为等比数列?若能找到,m的值有多少个?若不能找到,说明理由.‎ ‎②能否找到q的值,使得填完表格后,除第‎1‎列外,还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列?并说明理由.‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2007年上海市春季高考数学试卷 一、填空题(本大题满分44分)本大题共有11题,只要求直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分.‎ ‎1.‎‎2‎‎3‎ ‎2.‎‎2‎ ‎3.‎‎4‎ ‎4.‎π ‎5.‎‎-3‎ ‎6.‎‎5‎ ‎7.‎‎2‎ ‎8.‎‎3π‎4‎ ‎9.‎‎-1‎ ‎10.‎‎120‎ ‎11.‎y=‎x-1‎‎,x≥1‎‎2‎x‎,x<0.‎ 二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,否则一律得零分.‎ ‎12.A ‎13.B ‎14.B ‎15.D 三、解答题(本大题满分90分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.‎ ‎16.解:(法一)如图建立空间直角坐标系.   …‎ 由题意可知A'(2, 0, 2)‎,C(0, 2, 0)‎,E(2, 1, 2)‎,F(2, 1, 0)‎.‎ ‎∴ A'F‎→‎‎=(0,1,-2),CE‎→‎=(2,-1,2)‎.…‎ 设直线A'F与CE所成角为θ,‎ 则cosθ=‎|A'F‎→‎|⋅|CE‎→‎|‎‎˙‎=‎5‎‎5‎‎⋅3‎=‎‎5‎‎3‎.  …‎ ‎∴ θ=arccos‎5‎‎3‎,‎ 即异面直线A‎'‎F与CE所成角的大小为arccos‎5‎‎3‎.          …‎ ‎(法二):连接EB,…‎ ‎∵ A‎'‎E // BF,且A‎'‎E=BF,∴ A‎'‎FBE是平行四边形,则A‎'‎F // EB,‎ ‎∴ 异面直线A‎'‎F与CE所成的角就是CE与EB所成的角.     …‎ 由CB⊥‎平面ABB‎'‎A‎'‎,得CB⊥BE.‎ 在Rt△CEB中,CB=2,BE=‎‎5‎,‎ 则tan∠CEB=‎‎2‎‎5‎‎5‎,…‎ ‎∴ ‎∠CEB=arctan‎2‎‎5‎‎5‎.‎ ‎ 7 / 7‎ ‎∴ 异面直线A‎'‎F与CE所成角的大小为arctan‎2‎‎5‎‎5‎.         …‎ ‎17.解:点‎(2, 1)‎到直线‎3x+4y=0‎的距离为‎|3⋅2+4⋅1|‎‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎‎=2‎.‎ ‎“逆向”问题可以是:‎(1)‎求到直线‎3x+4y=0‎的距离为‎2‎的点的轨迹方程.‎ 设所求轨迹上任意一点为P(x, y)‎,则‎|3x+4y|‎‎5‎‎=2‎,‎ 所求轨迹为‎3x+4y-10=0‎或‎3x+4y+10=0‎. ‎ ‎(2)‎若点P(2, 1)‎到直线l:ax+by=0‎的距离为‎2‎,求直线l的方程.‎ 由‎|2a+b|‎a‎2‎‎+‎b‎2‎‎=2‎,化简得‎4ab-3b‎2‎=0‎,b=0‎或‎4a=3b,‎ 所以,直线l的方程为x=0‎或‎3x+4y=0‎.‎ ‎18.由椭圆定义可知‎|MF‎1‎|+|MF‎2‎|‎=‎2a.由题意‎|MF‎2‎|‎=‎1‎,‎ ‎∴ ‎|MF‎1‎|‎=‎2a-1‎.又由Rt△MF‎1‎F‎2‎可知‎(2a-1‎)‎‎2‎=(2‎2‎‎)‎‎2‎+1‎,a>0‎,‎ ‎∴ a=‎2‎,又a‎2‎‎-‎b‎2‎=‎2‎,得b‎2‎=‎2‎.∴ 椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎.‎ 直线BF‎2‎的方程为y=x-‎‎2‎.‎ 由y=x-‎‎2‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎ 得点N的纵坐标为‎2‎‎3‎.又‎|F‎1‎F‎2‎|=2‎‎2‎,‎ ‎∴ S‎△F‎1‎BN‎=‎1‎‎2‎×(‎2‎+‎2‎‎3‎)×2‎2‎=‎‎8‎‎3‎.‎ ‎19.解:(1)证明:图‎2‎是由四块图‎1‎所示地砖组成,‎ 由图‎1‎依次逆时针旋转‎90‎‎∘‎,‎180‎‎∘‎,‎270‎‎∘‎后得到,‎ ‎∴ EF=FG=GH=HE.又CE=CF,‎ ‎∴ ‎△CEF为等腰直角三角形.‎ ‎∴ 四边形EFGH是正方形.‎ ‎(2)设CE=x,则BE=0.4-x,‎ 每块地砖的费用为W,‎ 制成‎△CEF、‎△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为‎3a,‎2a,a(元),‎ 则W=‎1‎‎2‎x‎2‎⋅3a+‎1‎‎2‎(0.4-x)×0.4×2a+[0.16-‎1‎‎2‎x‎2‎-‎1‎‎2‎×0.4×0.4-x]⋅a ‎=a(x‎2‎-0.2x+0.24)=a[(x-0.1‎)‎‎2‎+0.23](00‎,当x=0.1‎时,W有最小值,‎ 即总费用最省.当CE=CF=0.1‎米时最省.‎ ‎20.解:(1)在‎△ABC中,BC=2‎,‎‎∠ABC=‎45‎‎∘‎ABsinC=bsinB=asinA=2R⇒b=2‎‎2‎ sinA=‎‎1‎‎2‎‎∵ A为锐角∴ A=‎‎30‎‎∘‎,‎B=‎‎45‎‎∘‎ ‎∴ C=‎‎105‎‎∘‎∴ AB=2Rsin‎75‎‎∘‎=4sin‎105‎‎∘‎=‎6‎+‎‎2‎;‎ ‎(2)‎∠C为钝角,∴ cosC<0‎,且cosC≠1‎ cosC=a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab<0‎‎∴ ‎a‎2‎‎+b‎2‎2R或a=b=2R时,‎△ABC不存在 当a=2Rb‎‎90‎‎∘‎时,‎ c=‎a‎2‎‎+b‎2‎+ab‎2‎R‎2‎(‎4R‎2‎-‎a‎2‎‎4R‎2‎-‎b‎2‎+ab)‎ ‎21.解:(1)由题意得,B‎1‎‎=q,B‎2‎‎=1+q,‎ B‎3‎‎=1+(1+q)=2+q‎,…,Bn‎=(n-1)+q,‎ ‎∴ B‎1‎‎+B‎2‎+...+Bn=1+2+...+(n-1)+nq=n(n-1)‎‎2‎+nq.‎ ‎(2)由题意得,c‎1‎‎=1‎,c‎2‎‎=1+(1+q)=2+q,‎ c‎3‎‎=(2+q)+(1+q+q‎2‎)=3+2q+‎q‎2‎‎,‎ 由 c‎1‎‎+c‎3‎-2c‎2‎=1+3+2q+q‎2‎-2(2+q)=q‎2‎>0‎,‎ 即 c‎1‎‎+c‎3‎>2‎c‎2‎.‎ ‎(3)①先设c‎1‎,c‎2‎,c‎3‎成等比数列,由c‎1‎c‎3‎‎=‎c‎2‎‎2‎得,‎ ‎ ‎3+2q+q‎2‎=(2+q‎)‎‎2‎,q=-‎‎1‎‎2‎.‎ 此时 c‎1‎‎=1‎,c‎2‎‎=‎3‎‎2‎,c‎3‎=‎‎9‎‎4‎,‎ ‎∴ c‎1‎,c‎2‎,c‎3‎是一个公比为‎3‎‎2‎的等比数列.‎ 如果m≥4‎,c‎1‎,c‎2‎,…,cm为等比数列,那么c‎1‎,c‎2‎,c‎3‎一定是等比数列.‎ 由上所述,此时q=-‎‎1‎‎2‎,c‎1‎‎=1,c‎2‎=‎3‎‎2‎,c‎3‎=‎‎9‎‎4‎,c‎4‎‎=‎‎23‎‎8‎,‎ 由于c‎4‎c‎3‎‎≠‎‎3‎‎2‎,因此,对于任意m≥4‎,c‎1‎,c‎2‎,…,cm一定不是等比数列.‎ 综上所述,当且仅当m=3‎且q=-‎‎1‎‎2‎时,数列c‎1‎,c‎2‎,…,cm是等比数列.‎ ‎②设x‎1‎,x‎2‎,x‎3‎和y‎1‎,y‎2‎,y‎3‎分别为第k+1‎列和第m+1‎列的前三项,‎1≤k