2007年上海市春季高考数学试卷【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 7页

‎2007年上海市春季高考数学试卷 一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1. 计算limn→∞‎‎2n‎2‎+1‎‎3n(n+1)‎‎=‎________．‎ ‎2. 若关于x的一元二次实系数方程x‎2‎‎+px+q=0‎有一个根为‎1+i（i是虚数单位），则q=‎________．‎ ‎3. 若关于x的不等式x-ax+1‎‎>0‎的解集为‎(-∞, -1)∪(4, +∞)‎，则实数a=‎________．‎ ‎4. 函数y＝‎(sinx+cosx‎)‎‎2‎的最小正周期是________．‎ ‎5. 设函数y=f(x)‎是奇函数．若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3‎，则f(1)+f(2)=‎________．‎ ‎6. 在平面直角坐标系xoy中，若抛物线y‎2‎‎=4x上的点P到该抛物线的焦点的距离为‎6‎，则点P的横坐标x=‎________．‎ ‎7. 在平面直角坐标系xOy中，若曲线x=‎‎4-‎y‎2‎与直线x=m有且只有一个公共点，则实数m=‎________．‎ ‎8. 若向量a‎→‎，b‎→‎满足‎|a‎→‎|=‎‎2‎，‎|b‎→‎|=1‎，a‎→‎‎⋅(a‎→‎+b‎→‎)=1‎，则向量a‎→‎，b‎→‎的夹角的大小为________．‎ ‎9. 若x‎1‎、x‎2‎为方程‎2‎x‎=‎‎(‎1‎‎2‎)‎‎-‎1‎x+1‎的两个实数解，则x‎1‎‎+‎x‎2‎＝________．‎ ‎10. 在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多‎12‎人，从这些教师中随机挑选一人表演节目．若选到男教师的概率为‎9‎‎20‎，则参加联欢会的教师共有________人．‎ ‎11. 函数y=‎x‎2‎‎+1，x≥0‎‎2‎x‎，x<0‎  的反函数是________．‎ 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．‎ ‎12. 若集合A={1, m‎2‎}‎，B={2, 4}‎，则“m=2‎”是“A∩B={4}‎”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎13. 如图，平面内的两条相交直线OP‎1‎和OP‎2‎将该平面分割成四个部分I、II、III、IV（不包括边界）．若OP‎→‎‎=aOP‎1‎‎→‎+bOP‎2‎‎→‎，且点P落在第III部分，则实数a、b满足（ ）‎ A.a>0‎，b>0‎ B.a>0‎，b<0‎ C.a<0‎，b>0‎ D.a<0‎，‎b<0‎ ‎14. 下列四个函数中，图象如图所示的只能是（ ）‎ A.y=x+lgx B.y=x-lgx C.y=-x+lgx D.‎y=-x-lgx ‎15. 设a、b是正实数，以下不等式：①ab‎>‎‎2aba+b；②a>|a-b|-b；③a‎2‎‎+b‎2‎>4ab-3‎b‎2‎；④ab+‎2‎ab>2‎恒成立的序号为（ ）‎ A.①③ B.①④ C.②③ D.②④‎ 三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．‎ ‎16. 如图，在棱长为‎2‎的正方体ABCD-‎A‎'‎B‎'‎C‎'‎D‎'‎中，E，F分别是A‎'‎B‎'‎和AB的中点，求异面直线A‎'‎F与 ‎ 7 / 7‎ CE所成角的大小 （结果用反三角函数值表示）．‎ ‎17. 求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称为原来问题的一个“逆向”问题．‎ 例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为‎4‎，侧棱长为‎3‎，求该正四棱锥的体积”．求出体积‎16‎‎3‎后，它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为‎4‎，体积为‎16‎‎3‎，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥的体积为‎16‎‎3‎，求所有侧面面积之和的最小值”．‎ 试给出问题“在平面直角坐标系xoy中，求点P(2, 1)‎到直线‎3x+4y=0‎的距离．”的一个有意义的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题．‎ ‎18. 在直角坐标系中，设椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的左、右两个焦点分别为F‎1‎，F‎2‎．过右焦点F‎2‎且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交，其中一个交点为M(‎2‎, 1)‎．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设椭圆C的一个顶点为B(0, -b)‎，直线BF‎2‎交椭圆C于另一点N，求‎△F‎1‎BN的面积．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎19. 某人定制了一批地砖．每块地砖 （如图‎1‎所示）是边长为‎0.4‎米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，‎△CFE、‎△ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成‎△CFE、‎△ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格之比依次为‎3:2:1‎．若将此种地砖按图‎2‎所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH．‎ ‎（1）求证：四边形EFGH是正方形；‎ ‎（2）E，F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？‎ ‎20. 通常用a、b、c表示‎△ABC的三个内角‎∠A、‎∠B、‎∠C所对边的边长，R表示‎△ABC外接圆半径．‎ ‎（1）如图所示，在以O为圆心，半径为‎2‎的‎⊙O中，BC和BA是‎⊙O的弦，其中BC=2‎，‎∠ABC=‎‎45‎‎∘‎，求弦AB的长；‎ ‎（2）在‎△ABC中，若‎∠C是钝角，求证：a‎2‎‎+b‎2‎<4‎R‎2‎；‎ ‎（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的‎△ABC不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在‎△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎21. 我们在下面的表格内填写数值：先将第‎1‎行的所有空格填上‎1‎；再把一个首项为‎1‎，公比为q的数列‎{an}‎依次填入第一列的空格内；然后按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写其它空格．‎ 第‎1‎列 第‎2‎列 第‎3‎列 ‎…‎ 第n列 第‎1‎行 ‎1‎ ‎1‎ ‎1‎ ‎…‎ ‎1‎ 第‎2‎行 q 第‎3‎行 q‎2‎ ‎…‎ ‎…‎ 第n行 qn-1‎ ‎（1）设第‎2‎行的数依次为B‎1‎，B‎2‎，…，Bn，试用n，q表示B‎1‎‎+B‎2‎+...+‎Bn的值；‎ ‎（2）设第‎3‎列的数依次为c‎1‎，c‎2‎，c‎3‎，…，cn，求证：对于任意非零实数q，c‎1‎‎+c‎3‎>2‎c‎2‎；‎ ‎（3）请在以下两个问题中选择一个进行研究 （只能选择一个问题，如果都选，被认为选择了第一问）．‎ ‎①能否找到q的值，使得（2）中的数列c‎1‎，c‎2‎，c‎3‎，…，cn的前m项c‎1‎，c‎2‎，…，cm ‎(m≥3)‎成为等比数列？若能找到，m的值有多少个？若不能找到，说明理由．‎ ‎②能否找到q的值，使得填完表格后，除第‎1‎列外，还有不同的两列数的前三项各自依次成等比数列？并说明理由．‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2007年上海市春季高考数学试卷 一、填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1.‎‎2‎‎3‎ ‎2.‎‎2‎ ‎3.‎‎4‎ ‎4.‎π ‎5.‎‎-3‎ ‎6.‎‎5‎ ‎7.‎‎2‎ ‎8.‎‎3π‎4‎ ‎9.‎‎-1‎ ‎10.‎‎120‎ ‎11.‎y=‎x-1‎‎，x≥1‎‎2‎x‎，x<0.‎ 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分．‎ ‎12.A ‎13.B ‎14.B ‎15.D 三、解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．‎ ‎16.解：（法一）如图建立空间直角坐标系．   …‎ 由题意可知A'(2, 0, 2)‎，C(0, 2, 0)‎，E(2, 1, 2)‎，F(2, 1, 0)‎．‎ ‎∴ A'F‎→‎‎=(0,1,-2)，CE‎→‎=(2,-1,2)‎．…‎ 设直线A'F与CE所成角为θ，‎ 则cosθ=‎|A'F‎→‎|⋅|CE‎→‎|‎‎˙‎=‎5‎‎5‎‎⋅3‎=‎‎5‎‎3‎．  …‎ ‎∴ θ=arccos‎5‎‎3‎，‎ 即异面直线A‎'‎F与CE所成角的大小为arccos‎5‎‎3‎．          …‎ ‎（法二）：连接EB，…‎ ‎∵ A‎'‎E // BF，且A‎'‎E=BF，∴ A‎'‎FBE是平行四边形，则A‎'‎F // EB，‎ ‎∴ 异面直线A‎'‎F与CE所成的角就是CE与EB所成的角．     …‎ 由CB⊥‎平面ABB‎'‎A‎'‎，得CB⊥BE．‎ 在Rt△CEB中，CB=2,BE=‎‎5‎，‎ 则tan∠CEB=‎‎2‎‎5‎‎5‎，…‎ ‎∴ ‎∠CEB=arctan‎2‎‎5‎‎5‎．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎∴ 异面直线A‎'‎F与CE所成角的大小为arctan‎2‎‎5‎‎5‎．         …‎ ‎17.解：点‎(2, 1)‎到直线‎3x+4y=0‎的距离为‎|3⋅2+4⋅1|‎‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎‎=2‎．‎ ‎“逆向”问题可以是：‎(1)‎求到直线‎3x+4y=0‎的距离为‎2‎的点的轨迹方程．‎ 设所求轨迹上任意一点为P(x, y)‎，则‎|3x+4y|‎‎5‎‎=2‎，‎ 所求轨迹为‎3x+4y-10=0‎或‎3x+4y+10=0‎． ‎ ‎(2)‎若点P(2, 1)‎到直线l:ax+by=0‎的距离为‎2‎，求直线l的方程．‎ 由‎|2a+b|‎a‎2‎‎+‎b‎2‎‎=2‎，化简得‎4ab-3b‎2‎=0‎，b=0‎或‎4a=3b，‎ 所以，直线l的方程为x=0‎或‎3x+4y=0‎．‎ ‎18.由椭圆定义可知‎|MF‎1‎|+|MF‎2‎|‎＝‎2a．由题意‎|MF‎2‎|‎＝‎1‎，‎ ‎∴ ‎|MF‎1‎|‎＝‎2a-1‎．又由Rt△MF‎1‎F‎2‎可知‎(2a-1‎)‎‎2‎=(2‎2‎‎)‎‎2‎+1‎，a>0‎，‎ ‎∴ a＝‎2‎，又a‎2‎‎-‎b‎2‎＝‎2‎，得b‎2‎＝‎2‎．∴ 椭圆C的方程为x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎．‎ 直线BF‎2‎的方程为y=x-‎‎2‎．‎ 由y=x-‎‎2‎x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎ 得点N的纵坐标为‎2‎‎3‎．又‎|F‎1‎F‎2‎|=2‎‎2‎，‎ ‎∴ S‎△F‎1‎BN‎=‎1‎‎2‎×(‎2‎+‎2‎‎3‎)×2‎2‎=‎‎8‎‎3‎．‎ ‎19.解：（1）证明：图‎2‎是由四块图‎1‎所示地砖组成，‎ 由图‎1‎依次逆时针旋转‎90‎‎∘‎，‎180‎‎∘‎，‎270‎‎∘‎后得到，‎ ‎∴ EF=FG=GH=HE．又CE=CF，‎ ‎∴ ‎△CEF为等腰直角三角形．‎ ‎∴ 四边形EFGH是正方形．‎ ‎（2）设CE=x，则BE=0.4-x，‎ 每块地砖的费用为W，‎ 制成‎△CEF、‎△ABE和四边形AEFD三种材料的每平方米价格依次为‎3a，‎2a，a（元），‎ 则W=‎1‎‎2‎x‎2‎⋅3a+‎1‎‎2‎(0.4-x)×0.4×2a+[0.16-‎1‎‎2‎x‎2‎-‎1‎‎2‎×0.4×0.4-x]⋅a ‎=a(x‎2‎-0.2x+0.24)=a[(x-0.1‎)‎‎2‎+0.23](00‎，当x=0.1‎时，W有最小值，‎ 即总费用最省．当CE=CF=0.1‎米时最省．‎ ‎20.解：（1）在‎△ABC中，BC=2‎，‎‎∠ABC=‎45‎‎∘‎ABsinC=bsinB=asinA=2R⇒b=2‎‎2‎ sinA=‎‎1‎‎2‎‎∵ A为锐角∴ A=‎‎30‎‎∘‎，‎B=‎‎45‎‎∘‎ ‎∴ C=‎‎105‎‎∘‎∴ AB=2Rsin‎75‎‎∘‎=4sin‎105‎‎∘‎=‎6‎+‎‎2‎；‎ ‎（2）‎∠C为钝角，∴ cosC<0‎，且cosC≠1‎ cosC=a‎2‎‎+b‎2‎-‎c‎2‎‎2ab<0‎‎∴ ‎a‎2‎‎+b‎2‎2R或a=b=2R时，‎△ABC不存在 当a=2Rb‎‎90‎‎∘‎时，‎ c=‎a‎2‎‎+b‎2‎+ab‎2‎R‎2‎(‎4R‎2‎-‎a‎2‎‎4R‎2‎-‎b‎2‎+ab)‎ ‎21.解：（1）由题意得，B‎1‎‎=q，B‎2‎‎=1+q，‎ B‎3‎‎=1+(1+q)=2+q‎，…，Bn‎=(n-1)+q，‎ ‎∴ B‎1‎‎+B‎2‎+...+Bn=1+2+...+(n-1)+nq=n(n-1)‎‎2‎+nq．‎ ‎（2）由题意得，c‎1‎‎=1‎，c‎2‎‎=1+(1+q)=2+q，‎ c‎3‎‎=(2+q)+(1+q+q‎2‎)=3+2q+‎q‎2‎‎，‎ 由 c‎1‎‎+c‎3‎-2c‎2‎=1+3+2q+q‎2‎-2(2+q)=q‎2‎>0‎，‎ 即 c‎1‎‎+c‎3‎>2‎c‎2‎．‎ ‎（3）①先设c‎1‎，c‎2‎，c‎3‎成等比数列，由c‎1‎c‎3‎‎=‎c‎2‎‎2‎得，‎ ‎ ‎3+2q+q‎2‎=(2+q‎)‎‎2‎，q=-‎‎1‎‎2‎．‎ 此时 c‎1‎‎=1‎，c‎2‎‎=‎3‎‎2‎，c‎3‎=‎‎9‎‎4‎，‎ ‎∴ c‎1‎，c‎2‎，c‎3‎是一个公比为‎3‎‎2‎的等比数列．‎ 如果m≥4‎，c‎1‎，c‎2‎，…，cm为等比数列，那么c‎1‎，c‎2‎，c‎3‎一定是等比数列．‎ 由上所述，此时q=-‎‎1‎‎2‎，c‎1‎‎=1，c‎2‎=‎3‎‎2‎，c‎3‎=‎‎9‎‎4‎，c‎4‎‎=‎‎23‎‎8‎，‎ 由于c‎4‎c‎3‎‎≠‎‎3‎‎2‎，因此，对于任意m≥4‎，c‎1‎，c‎2‎，…，cm一定不是等比数列．‎ 综上所述，当且仅当m=3‎且q=-‎‎1‎‎2‎时，数列c‎1‎，c‎2‎，…，cm是等比数列．‎ ‎②设x‎1‎，x‎2‎，x‎3‎和y‎1‎，y‎2‎，y‎3‎分别为第k+1‎列和第m+1‎列的前三项，‎1≤k