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  • 2021-06-15 发布

【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷(文科)1【附详细答案和解析_可编辑】

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‎【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷(文科)1【附详细答案和解析_可编辑】‎ 真水无香陈 tougao33‎ 学校:__________ 班级:__________ 姓名:__________ 考号:__________‎ ‎ 一、 选择题 (本题共计 8 小题 ,每题 5 分 ,共计40分 , ) ‎ ‎ ‎ ‎1. 已知集合A={2,4,6}‎,B={4,5,6}‎,则A∪B=‎(        ) ‎ A.‎{4,6}‎ B.‎{2,3,4,6}‎ C. ‎{2,3,4,5,6}‎  D.‎‎{2,4,5,6}‎ ‎ ‎ ‎2. 已知复数z=‎‎2‎‎3‎‎-i,则复数z的共轭复数z‎¯‎‎=(‎        ‎)‎ ‎ A.‎3‎‎2‎‎+‎1‎‎2‎i B.‎1‎‎2‎‎-‎3‎‎2‎i C.‎3‎‎2‎‎-‎1‎‎2‎i D.‎‎1‎‎2‎‎+‎3‎‎2‎i ‎ ‎ ‎3. 下列函数中,在‎(-∞, 0)‎上是增函数的是(        ) ‎ A.f(x)=‎x‎2‎ B.f(x)=‎‎1‎x C.f(x)=‎x‎3‎ D.‎f(x)=‎x‎1‎‎2‎ ‎ ‎ ‎4. 执行如图所示的程序框图,若输入的a,b分别是‎1,2048‎,则输出的i=(‎        ‎)‎ ‎ A.‎4‎ B.‎5‎ C.‎6‎ D.‎‎8‎ ‎ ‎ ‎5. 已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0,b>0)‎的左焦点为F‎1‎,作直线y=-x交双曲线的左支于A点,若AF‎1‎与x轴垂直,则双曲线C的离心率为(        ) ‎ A.‎5‎ B.‎1+‎‎5‎‎2‎ C.‎2‎ D.‎‎1+‎‎5‎ ‎ ‎ ‎6. “‎0b>0)‎的左、右焦点F‎1‎,  F‎2‎的动直线l‎1‎,  l‎2‎相交于点P,与椭圆E分别交于A,B和C,D四点,直线OA,OB,OC,OD的斜率k‎1‎,k‎2‎,k‎3‎,k‎4‎满足k‎1‎‎+k‎2‎=k‎3‎+‎k‎4‎.已知当l‎1‎与x轴重合时,‎|AB|=2‎‎3‎,‎|CD|=‎‎4‎‎3‎‎3‎. ‎ ‎(1)‎求椭圆E的方程;‎ ‎ ‎ ‎(2)‎是否存在定点M,N,使得‎|PM|+|PN|‎为定值?若存在,求出点M,N的坐标及定值;若不存在,请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎20. 已知函数f(x)=xcosx-sinx,x∈[0, π‎2‎]‎ ‎ ‎1‎求证:f(x)≤0‎;‎ ‎ ‎ ‎2‎若ab,‎ 所以输出i=6‎,‎ 故选C.‎ ‎5.【答案】‎ B ‎【解答】‎ 解:根据题意可得 A‎-c,‎b‎2‎a, 且AF‎1‎‎=‎F‎1‎O,‎ 所以c=‎b‎2‎a,‎ ac=c‎2‎-‎a‎2‎‎.‎ 两边同除以a‎2‎,得 e‎2‎‎-e-1=0‎‎,‎ 解得e=‎‎1+‎‎5‎‎2‎,或e=‎‎1-‎‎5‎‎2‎(舍去).‎ 故选B.‎ ‎6.【答案】‎ A ‎【解答】‎ 解:由‎2‎x‎≥1‎解得‎01‎, 则‎4a+c=4a+‎aa-1‎ ‎=4(a-1)+‎1‎a-1‎+5≥2‎4(a-1)×‎‎1‎a-1‎+5=9‎, 当且仅当‎4(a-1)=‎‎1‎a-1‎, 即a=‎‎3‎‎2‎时取等号,此时c=3‎. 故‎4a+c的最小值为‎9‎. 故选C.‎ 二、 填空题 (本题共计 6 小题 ,每题 5 分 ,共计30分 ) ‎ ‎9.【答案】‎ ‎2‎‎3‎‎,‎‎0‎ ‎【解答】‎ 解:∵ 向量a‎→‎‎=(3, 1)‎,b‎→‎‎=(1, 3)‎,c‎→‎‎=(k, 2)‎, ∵ b‎→‎‎ // ‎c‎→‎,∴ k‎1‎‎=‎‎2‎‎3‎, 解得k=‎‎2‎‎3‎. ∵ 向量a‎→‎‎=(3, 1)‎,b‎→‎‎=(1, 3)‎,c‎→‎‎=(k, 2)‎, ∴ a‎→‎‎-c‎→‎=(3-k, -1)‎, ∵ ‎(a‎→‎-c‎→‎)⊥‎b‎→‎, ∴ ‎(3-k)⋅1+(-1)⋅3=0‎, 解得k=0‎. 故答案为:‎2‎‎3‎,‎0‎.‎ ‎10.【答案】‎ ‎-1‎ ‎【解答】‎ 解:由约束条件 x+y-1≤0,‎x-y+1≥0,‎y≥0‎  作出可行域,如图中阴影部分所示, 化目标函数z=x+2y为y=-‎1‎‎2‎x+‎1‎‎2‎z, 由图可知,当直线y=-‎1‎‎2‎x+‎1‎‎2‎z过B‎-1,0‎时, 直线在y轴上的截距最小,z的最小值为‎-1‎. 故答案为:‎‎-1.‎ ‎11.【答案】‎ ‎4‎ ‎【解答】‎ 抛物线y‎2‎=‎4x的准线方程为:x=‎-1‎, ∵ P到焦点F的距离等于P到准线的距离,点P(m, 2)‎,可得‎12‎=‎4m,解得m=‎3‎,P(3, 2)‎, ∴ P到焦点F的距离是‎|PF|‎=‎3+1‎=(4)‎ ‎12.【答案】‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 ‎16π ‎【解答】‎ 解:根据三视图可知几何体上部是一个高为‎3‎圆锥,下部是一个高为‎3‎圆柱,底面半径都是‎2‎, ∴ 几何体的体积是 ‎1‎‎3‎‎×‎2‎‎2‎×π×3+‎2‎‎2‎×π×3=16π. 故答案为:‎16π.‎ ‎13.【答案】‎ C ‎【解答】‎ 解:在①中:若a // b,a // α,则b // α或b⊂α,故①错误; 在②中:若a // α,b⊂α,则a与b平行或异面,故②错误; 在③中:若a // α,则a与α内的直线平行或异面,故③错误; 在④中:若a // α,a // b,b⊄α,则由线面平行的判定定理得b // α,故④正确. 故选C.‎ ‎14.【答案】‎ a>c>b ‎【解答】‎ 解:b=‎7‎-‎3‎0‎, ∴ a>c; 综上知,a>c>b. 故答案为:a>c>b.‎ 三、 解答题 (本题共计 6 小题 ,每题 13 分 ,共计78分 ) ‎ ‎15.【答案】‎ 解:‎(1)∵ 2csin(‎5π‎2‎+A)=acosB+bcosA,‎ ‎∴ 2ccosA=acosB+bcosA, 由正弦定理得,‎2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC, ‎∴ 2sinCcosA=sinC, 又‎024>10.828‎; 所以能在犯错误的概率不超过‎0.001‎的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系.‎ ‎【解答】‎ 解:‎(1)‎填写‎2×2‎列联表如下; ‎ ‎ ‎ 数学成绩及格 数学成绩不及格 合计 比较细心 ‎45‎ ‎10‎ ‎55‎ 比较粗心 ‎15‎ ‎30‎ ‎45‎ 合计 ‎60‎ ‎40‎ ‎100‎ ‎(2)‎根据‎2×2‎列联表可以求得K‎2‎的观测值 K‎2‎‎=‎100×(45×30-15×10‎‎)‎‎2‎‎60×40×55×45‎=‎2400‎‎99‎>24>10.828‎; 所以能在犯错误的概率不超过‎0.001‎的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系.‎ ‎18.【答案】‎ ‎(1)‎证明:连接AB‎1‎与A‎1‎B相交于点M,连接MD,则点M为AB‎1‎的中点. 又D为AC的中点,由三角形的中位线定理可得:MD // B‎1‎C. 又∵ B‎1‎C⊄‎平面A‎1‎BD,MD⊂‎平面A‎1‎BD, ∴ B‎1‎C // ‎平面A‎1‎BD.‎ ‎(2)‎解:∵ AB=B‎1‎B,及直三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中, ∴ 四边形ABB‎1‎A‎1‎为正方形,BB‎1‎⊥‎B‎1‎C‎1‎. ∴ A‎1‎B⊥AB‎1‎. 又AC‎1‎⊥‎平面A‎1‎BD, ∴ AC‎1‎⊥A‎1‎B, 又AB‎1‎∩AC‎1‎=A, ∴ A‎1‎B⊥‎平面AB‎1‎C‎1‎, ∴ A‎1‎B⊥‎B‎1‎C‎1‎, ∵ A‎1‎B∩BB‎1‎=B, ∴ B‎1‎C‎1‎‎⊥‎平面ABB‎1‎A‎1‎.‎ ‎(3)‎解:设AB=a,CE=x, ∵ B‎1‎C‎1‎‎⊥‎A‎1‎B‎1‎,在Rt△‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中,有A‎1‎C‎1‎‎=‎2‎a,同理A‎1‎B‎1‎‎=a, ∴ C‎1‎E=a-x. ∴ A‎1‎E=‎2a‎2‎+(a-x‎)‎‎2‎=‎x‎2‎‎-2ax+3‎a‎2‎,BE=‎a‎2‎‎+‎x‎2‎, ∴ 在‎△A‎1‎BE中,由余弦定理得BE‎2‎=A‎1‎B‎2‎+A‎1‎E‎2‎-2A‎1‎B⋅A‎1‎Ecos‎45‎‎​‎‎∘‎, 即a‎2‎‎+x‎2‎=2a‎2‎+x‎2‎+3a‎2‎-2ax-2‎2‎a‎3a‎2‎+x‎2‎-2ax×‎‎2‎‎2‎. ∴ ‎3a‎2‎+x‎2‎-2ax‎=2a-x, ∴ x=‎1‎‎2‎a,即点E是C‎1‎C的中点. ∵ D,E分别为AC,C‎1‎C的中点, ∴ DE // AC‎1‎, ∵ AC‎1‎⊥‎平面A‎1‎BD, ∴ DE⊥‎平面A‎1‎BD. 又DE⊂‎平面BDE, ∴ 平面A‎1‎BD⊥‎平面BDE.‎ ‎【解答】‎ ‎(1)‎证明:连接AB‎1‎与A‎1‎B相交于点M,连接MD,则点M为AB‎1‎的中点. 又D为AC的中点,由三角形的中位线定理可得:MD // B‎1‎C. 又∵ B‎1‎C⊄‎平面A‎1‎BD,MD⊂‎平面A‎1‎BD, ∴ B‎1‎C // ‎平面A‎1‎BD.‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 ‎(2)‎解:∵ AB=B‎1‎B,及直三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中, ∴ 四边形ABB‎1‎A‎1‎为正方形,BB‎1‎⊥‎B‎1‎C‎1‎. ∴ A‎1‎B⊥AB‎1‎. 又AC‎1‎⊥‎平面A‎1‎BD, ∴ AC‎1‎⊥A‎1‎B, 又AB‎1‎∩AC‎1‎=A, ∴ A‎1‎B⊥‎平面AB‎1‎C‎1‎, ∴ A‎1‎B⊥‎B‎1‎C‎1‎, ∵ A‎1‎B∩BB‎1‎=B, ∴ B‎1‎C‎1‎‎⊥‎平面ABB‎1‎A‎1‎.‎ ‎(3)‎解:设AB=a,CE=x, ∵ B‎1‎C‎1‎‎⊥‎A‎1‎B‎1‎,在Rt△‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中,有A‎1‎C‎1‎‎=‎2‎a,同理A‎1‎B‎1‎‎=a, ∴ C‎1‎E=a-x. ∴ A‎1‎E=‎2a‎2‎+(a-x‎)‎‎2‎=‎x‎2‎‎-2ax+3‎a‎2‎,BE=‎a‎2‎‎+‎x‎2‎, ∴ 在‎△A‎1‎BE中,由余弦定理得BE‎2‎=A‎1‎B‎2‎+A‎1‎E‎2‎-2A‎1‎B⋅A‎1‎Ecos‎45‎‎​‎‎∘‎, 即a‎2‎‎+x‎2‎=2a‎2‎+x‎2‎+3a‎2‎-2ax-2‎2‎a‎3a‎2‎+x‎2‎-2ax×‎‎2‎‎2‎. ∴ ‎3a‎2‎+x‎2‎-2ax‎=2a-x, ∴ x=‎1‎‎2‎a,即点E是C‎1‎C的中点. ∵ D,E分别为AC,C‎1‎C的中点, ∴ DE // AC‎1‎, ∵ AC‎1‎⊥‎平面A‎1‎BD, ∴ DE⊥‎平面A‎1‎BD. 又DE⊂‎平面BDE, ∴ 平面A‎1‎BD⊥‎平面BDE.‎ ‎19.【答案】‎ 解:‎(1)‎当l‎1‎与x轴重合时,k‎1‎‎+k‎2‎=k‎3‎+k‎4‎=0‎, 即k‎3‎‎=-‎k‎4‎, ∴ l‎2‎垂直于x轴,得‎|AB|=2a=2‎‎3‎,‎|CD|=‎2‎b‎2‎a=‎‎4‎‎3‎‎3‎, 解得a=‎‎3‎,b=‎‎2‎, ∴ 椭圆E的方程为x‎2‎‎3‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎.‎ ‎(2)‎焦点F‎1‎,F‎2‎坐标分别为‎(-1, 0)‎,‎(1, 0)‎, 当直线l‎1‎或l‎2‎斜率不存在时,P点坐标为‎(-1, 0)‎或‎(1, 0)‎, 当直线l‎1‎,l‎2‎斜率存在时,设斜率分别为m‎1‎,m‎2‎, 设A(x‎1‎, y‎1‎)‎,B(x‎2‎, y‎2‎)‎,由x‎2‎‎3‎‎+y‎2‎‎2‎=1,‎y=m‎1‎(x+1),‎ 得‎(2+3m‎1‎‎2‎)x‎2‎+6m‎1‎‎2‎x+3m‎1‎‎2‎-6=0‎, ∴ x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎6‎m‎1‎‎2‎‎2+3‎m‎1‎‎2‎,x‎1‎x‎2‎‎=‎‎3m‎1‎‎2‎-6‎‎2+3‎m‎1‎‎2‎, k‎1‎‎+k‎2‎=y‎1‎x‎1‎+y‎2‎x‎2‎=m‎1‎(x‎1‎‎+1‎x‎1‎+x‎2‎‎+1‎x‎2‎) ‎‎=m‎1‎(2+x‎1‎‎+‎x‎2‎x‎1‎x‎2‎)=‎‎-4‎m‎1‎m‎1‎‎2‎‎-2‎, 同理k‎3‎‎+k‎4‎=‎‎-4‎m‎2‎m‎2‎‎2‎‎-2‎, ∵ k‎1‎‎+k‎2‎=k‎3‎+‎k‎4‎, ∴ ‎-4‎m‎1‎m‎1‎‎2‎‎-2‎‎=‎‎-4‎m‎2‎m‎2‎‎2‎‎-2‎,即‎(m‎1‎m‎2‎+2)(m‎2‎-m‎1‎)=0‎, 由题意知m‎1‎‎≠‎m‎2‎, ∴ m‎1‎m‎2‎‎+2=0‎, 设P(x, y)‎,则yx+1‎‎⋅yx-1‎+2=0‎, 即y‎2‎‎2‎‎+x‎2‎=1‎,x≠±1‎, 由当直线l‎1‎或l‎2‎斜率不存在时, P点坐标为‎(-1, 0)‎或‎(1, 0)‎也满足方程, ∴ 点P(x, y)‎在椭圆y‎2‎‎2‎‎+x‎2‎=1‎上, ∴ 存在点M,N其坐标分别为‎(0, -1)‎,  ‎(0, 1)‎, 使得‎|PM|+|PN|‎为定值‎2‎‎2‎.‎ ‎【解答】‎ 解:‎(1)‎当l‎1‎与x轴重合时,k‎1‎‎+k‎2‎=k‎3‎+k‎4‎=0‎, 即k‎3‎‎=-‎k‎4‎, ∴ l‎2‎垂直于x轴,得‎|AB|=2a=2‎‎3‎,‎|CD|=‎2‎b‎2‎a=‎‎4‎‎3‎‎3‎, 解得a=‎‎3‎,b=‎‎2‎, ∴ 椭圆E的方程为x‎2‎‎3‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎.‎ ‎(2)‎焦点F‎1‎,F‎2‎坐标分别为‎(-1, 0)‎,‎(1, 0)‎, 当直线l‎1‎或l‎2‎斜率不存在时,P点坐标为‎(-1, 0)‎或‎(1, 0)‎, 当直线l‎1‎,l‎2‎斜率存在时,设斜率分别为m‎1‎,m‎2‎, 设A(x‎1‎, y‎1‎)‎,B(x‎2‎, y‎2‎)‎,由x‎2‎‎3‎‎+y‎2‎‎2‎=1,‎y=m‎1‎(x+1),‎ 得‎(2+3m‎1‎‎2‎)x‎2‎+6m‎1‎‎2‎x+3m‎1‎‎2‎-6=0‎, ∴ ‎ 第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页 x‎1‎‎+x‎2‎=-‎‎6‎m‎1‎‎2‎‎2+3‎m‎1‎‎2‎‎,x‎1‎x‎2‎‎=‎‎3m‎1‎‎2‎-6‎‎2+3‎m‎1‎‎2‎, k‎1‎‎+k‎2‎=y‎1‎x‎1‎+y‎2‎x‎2‎=m‎1‎(x‎1‎‎+1‎x‎1‎+x‎2‎‎+1‎x‎2‎) ‎‎=m‎1‎(2+x‎1‎‎+‎x‎2‎x‎1‎x‎2‎)=‎‎-4‎m‎1‎m‎1‎‎2‎‎-2‎, 同理k‎3‎‎+k‎4‎=‎‎-4‎m‎2‎m‎2‎‎2‎‎-2‎, ∵ k‎1‎‎+k‎2‎=k‎3‎+‎k‎4‎, ∴ ‎-4‎m‎1‎m‎1‎‎2‎‎-2‎‎=‎‎-4‎m‎2‎m‎2‎‎2‎‎-2‎,即‎(m‎1‎m‎2‎+2)(m‎2‎-m‎1‎)=0‎, 由题意知m‎1‎‎≠‎m‎2‎, ∴ m‎1‎m‎2‎‎+2=0‎, 设P(x, y)‎,则yx+1‎‎⋅yx-1‎+2=0‎, 即y‎2‎‎2‎‎+x‎2‎=1‎,x≠±1‎, 由当直线l‎1‎或l‎2‎斜率不存在时, P点坐标为‎(-1, 0)‎或‎(1, 0)‎也满足方程, ∴ 点P(x, y)‎在椭圆y‎2‎‎2‎‎+x‎2‎=1‎上, ∴ 存在点M,N其坐标分别为‎(0, -1)‎,  ‎(0, 1)‎, 使得‎|PM|+|PN|‎为定值‎2‎‎2‎.‎ ‎20.【答案】‎ ‎1‎证明:由f(x)=xcosx-sinx得 f'(x)=cosx-xsinx-cosx ‎‎=-xsinx, 则在区间‎(0, π‎2‎)‎上, f'(x)=-xsinx<0‎, 所以f(x)‎在区间‎[0, π‎2‎]‎上单调递减, 从而f(x)≤f(0)=0‎.‎ ‎2‎解:当x>0‎时, “sinxx‎>a”等价于“sinx-ax>0‎”, “sinxx‎0‎对x∈(0, π‎2‎)‎上恒成立; ②当c≥1‎时,因为对任意x∈(0, π‎2‎)‎, g'(x)=cosx-c<0‎, 所以g(x)‎在区间‎[0, π‎2‎]‎上单调递减, 从而,g(x)g(0)=0‎. 进一步g(x)>0‎对任意x∈(0, π‎2‎)‎恒成立, 当且仅当g(π‎2‎)=1-π‎2‎c≥0即00‎对任意x∈(0, π‎2‎)‎恒成立, 当且仅当c≥1‎时,g(x)<0‎对任意x∈(0, π‎2‎)‎恒成立. 所以若a0‎时, “sinxx‎>a”等价于“sinx-ax>0‎”, “sinxx‎0‎对x∈(0, π‎2‎)‎上恒成立; ②当c≥1‎时,因为对任意x∈(0, π‎2‎)‎, g'(x)=cosx-c<0‎, 所以g(x)‎在区间‎[0, π‎2‎]‎上单调递减, 从而,g(x)g(0)=0‎. 进一步g(x)>0‎对任意x∈(0, π‎2‎)‎恒成立, 当且仅当g(π‎2‎)=1-π‎2‎c≥0即00‎对任意x∈(0, π‎2‎)‎恒成立, 当且仅当c≥1‎时,g(x)<0‎对任意x∈(0, π‎2‎)‎恒成立. 所以若a