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- 2021-06-15 发布
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【2020年高考数学预测题】北京市高考数学试卷（文科）1【附详细答案和解析_可编辑】
真水无香陈 tougao33
学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________
一、 选择题 （本题共计 8 小题 ，每题 5 分 ，共计40分 ， ）
1. 已知集合A={2,4,6}，B={4,5,6}，则A∪B=( )
A.{4,6} B.{2,3,4,6} C. {2,3,4,5,6} D.{2,4,5,6}
2. 已知复数z=23-i，则复数z的共轭复数z¯=( )
A.32+12i B.12-32i C.32-12i D.12+32i
3. 下列函数中，在(-∞, 0)上是增函数的是( )
A.f(x)=x2 B.f(x)=1x C.f(x)=x3 D.f(x)=x12
4. 执行如图所示的程序框图，若输入的a，b分别是1，2048，则输出的i=( )
A.4 B.5 C.6 D.8
5. 已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1，作直线y=-x交双曲线的左支于A点，若AF1与x轴垂直，则双曲线C的离心率为( )
A.5 B.1+52 C.2 D.1+5
6. “0b>0)的左、右焦点F1, F2的动直线l1, l2相交于点P，与椭圆E分别交于A，B和C，D四点，直线OA，OB，OC，OD的斜率k1，k2，k3，k4满足k1+k2=k3+k4.已知当l1与x轴重合时，|AB|=23，|CD|=433．
(1)求椭圆E的方程；
(2)是否存在定点M，N，使得|PM|+|PN|为定值？若存在，求出点M，N的坐标及定值；若不存在，请说明理由．
20. 已知函数f(x)=xcosx-sinx，x∈[0, π2]
1求证：f(x)≤0；
2若ab，
所以输出i=6，
故选C.
5.【答案】
B
【解答】
解：根据题意可得
A-c,b2a，
且AF1=F1O，
所以c=b2a，
ac=c2-a2.
两边同除以a2，得
e2-e-1=0，
解得e=1+52，或e=1-52（舍去）.
故选B.
6.【答案】
A
【解答】
解：由2x≥1解得01,
则4a+c=4a+aa-1
=4(a-1)+1a-1+5≥24(a-1)×1a-1+5=9,
当且仅当4(a-1)=1a-1，
即a=32时取等号，此时c=3.
故4a+c的最小值为9.
故选C.
二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ）
9.【答案】
23,0
【解答】
解：∵ 向量a→=(3, 1)，b→=(1, 3)，c→=(k, 2)，
∵ b→ // c→，∴ k1=23，
解得k=23．
∵ 向量a→=(3, 1)，b→=(1, 3)，c→=(k, 2)，
∴ a→-c→=(3-k, -1)，
∵ (a→-c→)⊥b→，
∴ (3-k)⋅1+(-1)⋅3=0，
解得k=0．
故答案为：23，0．
10.【答案】
-1
【解答】
解：由约束条件 x+y-1≤0，x-y+1≥0，y≥0
作出可行域，如图中阴影部分所示，
化目标函数z=x+2y为y=-12x+12z，
由图可知，当直线y=-12x+12z过B-1,0时，
直线在y轴上的截距最小，z的最小值为-1．
故答案为：-1.
11.【答案】
4
【解答】
抛物线y2＝4x的准线方程为：x＝-1，
∵ P到焦点F的距离等于P到准线的距离，点P(m, 2)，可得12＝4m，解得m＝3，P(3, 2)，
∴ P到焦点F的距离是|PF|＝3+1＝（4）
12.【答案】
第17页 共18页 ◎ 第18页 共18页
16π
【解答】
解：根据三视图可知几何体上部是一个高为3圆锥，下部是一个高为3圆柱，底面半径都是2，
∴ 几何体的体积是 13×22×π×3+22×π×3=16π．
故答案为：16π．
13.【答案】
C
【解答】
解：在①中：若a // b，a // α，则b // α或b⊂α，故①错误；
在②中：若a // α，b⊂α，则a与b平行或异面，故②错误；
在③中：若a // α，则a与α内的直线平行或异面，故③错误；
在④中：若a // α，a // b，b⊄α，则由线面平行的判定定理得b // α，故④正确．
故选C.
14.【答案】
a>c>b
【解答】
解：b=7-30，
∴ a>c；
综上知，a>c>b．
故答案为：a>c>b．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，每题 13 分 ，共计78分 ）
15.【答案】
解：(1)∵ 2csin(5π2+A)=acosB+bcosA,
∴ 2ccosA=acosB+bcosA，
由正弦定理得，2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC，
∴ 2sinCcosA=sinC，
又024>10.828；
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系．
【解答】
解：(1)填写2×2列联表如下；
数学成绩及格
数学成绩不及格
合计
比较细心
45
10
55
比较粗心
15
30
45
合计
60
40
100
(2)根据2×2列联表可以求得K2的观测值
K2=100×(45×30-15×10)260×40×55×45=240099>24>10.828；
所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系．
18.【答案】
(1)证明：连接AB1与A1B相交于点M，连接MD，则点M为AB1的中点．
又D为AC的中点，由三角形的中位线定理可得：MD // B1C．
又∵ B1C⊄平面A1BD，MD⊂平面A1BD，
∴ B1C // 平面A1BD.
(2)解：∵ AB=B1B，及直三棱柱ABC-A1B1C1中，
∴ 四边形ABB1A1为正方形，BB1⊥B1C1．
∴ A1B⊥AB1．
又AC1⊥平面A1BD，
∴ AC1⊥A1B，
又AB1∩AC1=A,
∴ A1B⊥平面AB1C1，
∴ A1B⊥B1C1,
∵ A1B∩BB1=B，
∴ B1C1⊥平面ABB1A1．
(3)解：设AB=a，CE=x，
∵ B1C1⊥A1B1，在Rt△A1B1C1中，有A1C1=2a，同理A1B1=a，
∴ C1E=a-x．
∴ A1E=2a2+(a-x)2=x2-2ax+3a2，BE=a2+x2，
∴ 在△A1BE中，由余弦定理得BE2=A1B2+A1E2-2A1B⋅A1Ecos45∘，
即a2+x2=2a2+x2+3a2-2ax-22a3a2+x2-2ax×22．
∴ 3a2+x2-2ax=2a-x，
∴ x=12a，即点E是C1C的中点．
∵ D，E分别为AC，C1C的中点，
∴ DE // AC1，
∵ AC1⊥平面A1BD，
∴ DE⊥平面A1BD．
又DE⊂平面BDE，
∴ 平面A1BD⊥平面BDE．
【解答】
(1)证明：连接AB1与A1B相交于点M，连接MD，则点M为AB1的中点．
又D为AC的中点，由三角形的中位线定理可得：MD // B1C．
又∵ B1C⊄平面A1BD，MD⊂平面A1BD，
∴ B1C // 平面A1BD.
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(2)解：∵ AB=B1B，及直三棱柱ABC-A1B1C1中，
∴ 四边形ABB1A1为正方形，BB1⊥B1C1．
∴ A1B⊥AB1．
又AC1⊥平面A1BD，
∴ AC1⊥A1B，
又AB1∩AC1=A,
∴ A1B⊥平面AB1C1，
∴ A1B⊥B1C1,
∵ A1B∩BB1=B，
∴ B1C1⊥平面ABB1A1．
(3)解：设AB=a，CE=x，
∵ B1C1⊥A1B1，在Rt△A1B1C1中，有A1C1=2a，同理A1B1=a，
∴ C1E=a-x．
∴ A1E=2a2+(a-x)2=x2-2ax+3a2，BE=a2+x2，
∴ 在△A1BE中，由余弦定理得BE2=A1B2+A1E2-2A1B⋅A1Ecos45∘，
即a2+x2=2a2+x2+3a2-2ax-22a3a2+x2-2ax×22．
∴ 3a2+x2-2ax=2a-x，
∴ x=12a，即点E是C1C的中点．
∵ D，E分别为AC，C1C的中点，
∴ DE // AC1，
∵ AC1⊥平面A1BD，
∴ DE⊥平面A1BD．
又DE⊂平面BDE，
∴ 平面A1BD⊥平面BDE．
19.【答案】
解：(1)当l1与x轴重合时，k1+k2=k3+k4=0，
即k3=-k4，
∴ l2垂直于x轴，得|AB|=2a=23，|CD|=2b2a=433，
解得a=3，b=2，
∴ 椭圆E的方程为x23+y22=1．
(2)焦点F1，F2坐标分别为(-1, 0)，(1, 0)，
当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(-1, 0)或(1, 0)，
当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，由x23+y22=1,y=m1(x+1),
得(2+3m12)x2+6m12x+3m12-6=0，
∴ x1+x2=-6m122+3m12，x1x2=3m12-62+3m12，
k1+k2=y1x1+y2x2=m1(x1+1x1+x2+1x2)
=m1(2+x1+x2x1x2)=-4m1m12-2，
同理k3+k4=-4m2m22-2，
∵ k1+k2=k3+k4，
∴ -4m1m12-2=-4m2m22-2，即(m1m2+2)(m2-m1)=0，
由题意知m1≠m2，
∴ m1m2+2=0，
设P(x, y)，则yx+1⋅yx-1+2=0，
即y22+x2=1，x≠±1，
由当直线l1或l2斜率不存在时，
P点坐标为(-1, 0)或(1, 0)也满足方程，
∴ 点P(x, y)在椭圆y22+x2=1上，
∴ 存在点M，N其坐标分别为(0, -1), (0, 1)，
使得|PM|+|PN|为定值22．
【解答】
解：(1)当l1与x轴重合时，k1+k2=k3+k4=0，
即k3=-k4，
∴ l2垂直于x轴，得|AB|=2a=23，|CD|=2b2a=433，
解得a=3，b=2，
∴ 椭圆E的方程为x23+y22=1．
(2)焦点F1，F2坐标分别为(-1, 0)，(1, 0)，
当直线l1或l2斜率不存在时，P点坐标为(-1, 0)或(1, 0)，
当直线l1，l2斜率存在时，设斜率分别为m1，m2，
设A(x1, y1)，B(x2, y2)，由x23+y22=1,y=m1(x+1),
得(2+3m12)x2+6m12x+3m12-6=0，
∴
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x1+x2=-6m122+3m12，x1x2=3m12-62+3m12，
k1+k2=y1x1+y2x2=m1(x1+1x1+x2+1x2)
=m1(2+x1+x2x1x2)=-4m1m12-2，
同理k3+k4=-4m2m22-2，
∵ k1+k2=k3+k4，
∴ -4m1m12-2=-4m2m22-2，即(m1m2+2)(m2-m1)=0，
由题意知m1≠m2，
∴ m1m2+2=0，
设P(x, y)，则yx+1⋅yx-1+2=0，
即y22+x2=1，x≠±1，
由当直线l1或l2斜率不存在时，
P点坐标为(-1, 0)或(1, 0)也满足方程，
∴ 点P(x, y)在椭圆y22+x2=1上，
∴ 存在点M，N其坐标分别为(0, -1), (0, 1)，
使得|PM|+|PN|为定值22．
20.【答案】
1证明：由f(x)=xcosx-sinx得
f'(x)=cosx-xsinx-cosx
=-xsinx，
则在区间(0, π2)上，
f'(x)=-xsinx<0，
所以f(x)在区间[0, π2]上单调递减，
从而f(x)≤f(0)=0．
2解：当x>0时，
“sinxx>a”等价于“sinx-ax>0”，
“sinxx0对x∈(0, π2)上恒成立；
②当c≥1时，因为对任意x∈(0, π2)，
g'(x)=cosx-c<0，
所以g(x)在区间[0, π2]上单调递减，
从而，g(x)g(0)=0.
进一步g(x)>0对任意x∈(0, π2)恒成立，
当且仅当g(π2)=1-π2c≥0即00对任意x∈(0, π2)恒成立，
当且仅当c≥1时，g(x)<0对任意x∈(0, π2)恒成立.
所以若a0时，
“sinxx>a”等价于“sinx-ax>0”，
“sinxx0对x∈(0, π2)上恒成立；
②当c≥1时，因为对任意x∈(0, π2)，
g'(x)=cosx-c<0，
所以g(x)在区间[0, π2]上单调递减，
从而，g(x)g(0)=0.
进一步g(x)>0对任意x∈(0, π2)恒成立，
当且仅当g(π2)=1-π2c≥0即00对任意x∈(0, π2)恒成立，
当且仅当c≥1时，g(x)<0对任意x∈(0, π2)恒成立.
所以若a
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