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- 2021-06-15 发布
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江西省赣州市石城中学2019-2020学年
高一上学期期中考试试题
一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分。每小题给出的四个选项中只有一项是符合题意的)
1.设集合,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】,故选C.
2.在映射中,,且,则元素在作用下的原像是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由,解得
在作用下的原像是
故答案选A.
3.下列函数中哪个与函数是相同函数( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对于A,的定义域为,与 的定义域R不相同,故不是同一函数;对于 B,的定义域为,与 的定义域R不相同,故不是同一函数;对于C, 的对应法则与的对应法则不同,故不是同一函数;对于D.,与定义域及对应法则相同,故是同一个函数.故选D.
【点睛】本题主要考查了函数的定义域,解析式,属于中档题.
4.若函数,则等于( )
A. B. C. 1 D.
【答案】B
【解析】由题意,函数,令,则.
故选:B.
5.函数的定义域,则实数的值为( )
A. B. 3 C. 9 D.
【答案】B
【解析】由题意,函数有意义,满足,
又由函数的定义域为,所以,解得.
故选:B.
6.设, ,,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意,根据指数函数的性质,可得,即,
根据对数函数的性质,可得,即,
,即,所以.故选:A.
7.函数(其中为自然对数的底数)的图象大致为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意,函数定义域为,
且,即为奇函数,排除,,当时,,,即时,,可排除D,故选C.
8.已知函数且在上单调递减,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意,
函数且在上单调递减,
则满足,解得,即实数的取值范围为.
故选:A.
9.若函数为奇函数且在上为减函数,又,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意,函数奇函数且在上为减函数,且,
可得为奇函数且在上为减函数,又,
当时,则满足,即,即,解得,
当时,则满足,即,即,解得,
综上可得不等式的解集为.
故选:C.
10.已知函数的定义域为,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由题意,函数的定义域为,
即在上恒成立,
由,解得,
当时,不等式可化为在恒成立;
当时,不等式可化为,解得,不符合题意,舍去;
当时,即时,则满足,
即,解得或,
综上可得,实数的取值范围是.
故选:D.
11.对于任意两个正整数 ,定义某种运算,法则如下:当都是正奇数时,
;当不全为正奇数时, ,则在此定义下,集合
的真子集的个数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意,当 都是正奇数时, ;
当不全为正奇数时, ;
若 都是正奇数,则由 ,可得 ,
此时符合条件的数对为( 满足条件的共8个;
若不全为正奇数时, ,由 ,可得 ,则符合条件的数对分别为 共5个;
故集合 中的元素个数是13,
所以集合的真子集的个数是
故选C.
12.已知是定义在R上的奇函数,对任意两个不相等的正数,都有
,记,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意,不妨设,则,
因为,即,
所以,即,
设,所以函数在为单调递减函数,
又由是定义在R上的奇函数,则,
所以函数是定义域上的偶函数,
可得,,,
又由,所以,即.
故选:A.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.幂函数在区间上是增函数,则_______.
【答案】-1
【解析】由题意,幂函数,则,解得或,
当时,函数,由幂函数的性质可得函数在区间上是增函数;
当时,函数,此时函数在区间上不单调函数,不符合题意,(舍去),
综上可得,.
故答案为:.
14.若集合A={x|ax2+ax+1=0,x∈R}不含有任何元素,则实数a的取值范围是_____.
【答案】0≤a<4
【解析】当时,原方程可化为,显然无解,当时,一元二次方程
无解则需,即,解得,综上.
15.若只有一个实数解,则实数的取值范围_____.
【答案】或
【解析】作出函数的图象,如图所示,
结合图象可得,方程只有一个实数解,
即函数与的图象只有一个交点,则满足或.
故答案为:或.
16.已知函数在区间上单调递增,则的取值范围为
______.
【答案】
【解析】由题意,函数在区间上单调递增,
设,根据复合函数的单调性的判定方法,
可得函数在区间上单调递减,且在区间上恒成立,
所以,解得,即实数的取值范围为.
故答案为:.
二、解答题(本大题共6小题,共70分17题10分,其他12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(1)计算:;
(2)计算:.
【解】(1)由题意,根据实数指数幂的运算,可得
;
(2)由题意,根据对数的运算公式,可得
.
18.已知集合
(1)若,求 ;
(2)若,求的取值范围.
【解】(1)由题意,当时,集合,
则 或
所以 或 ;
(2)由,可得,
①当时,即,解得,符合题意;
②当时,则满足,解得.
综上所述,实数的取值范围.
19.已知.
(1)当,时,求函数的值域;
(2)若函数在区间内有最大值-5,求的值.
【解】(1)当时,的对称轴,开口向下,
时,函数单调递减,
当时,函数有最大值,
当时,函数有最小值,
故函数的值域;
(2)∵的开口向下,对称轴,
①当,即时,在上单调递增,函数取最大值.
令,得,(舍去).
②当,即时,时, 取最大值为,
令,得.
③当,即时,在内递减,
∴时, 取最大值为,
令,得,解得,或,其中.
综上所述,或
20.旅行社为某旅行团包飞机去旅游,其中旅行社的包机费为15000元.旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算:若旅游团的人数不超过35人时,飞机票每张收费800元;若旅游团的人数多于35人,则给予优惠,每多1人,机票费每张减少10元,但旅游团的人数最多有60人.设旅行团的人数为人,飞机票价格为元,旅行社的利润为元.
(1)写出飞机票价格元与旅行团人数之间的函数关系式;
(2)当旅游团的人数为多少时,旅行社可获得最大利润?求出最大利润.
【解】(1)依题意得,
(2)设利润为,则
当且时,
当且时,
∴或58时,可获最大利润为18060元.
21.定义在上的奇函数,已知当时,.
(1)求在上的解析式;
(2)若时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
【解】(1)由题意,函数是定义在上的奇函数,
所以,解得,
又由当时,,
当时,则,可得,
又是奇函数,所以,
所以当时,.
(2)因为,恒成立,
即在恒成立,可得在时恒成立,
因为,所以,
设函数,根据基本初等函数的性质,可得函数在上单调递减,
因为时,所以函数的最大值为,
所以,即实数的取值范围是.
22.已知函数,对任意a,恒有,且当时,有.
Ⅰ求;
Ⅱ求证:在R上为增函数;
Ⅲ若关于x的不等式对于任意恒成立,求实数t的取值范围.
【解】Ⅰ根据题意,在中,
令,则,则有;
Ⅱ证明:任取,,且设,则,,
又由,
则,
则有,故在R上为增函数.
Ⅲ根据题意,,
即,则,
又由,则,
又由在R上为增函数,则,
令,,则,
则原问题转化为在上恒成立,
即对任意恒成立,
令,只需,
而,,
当时,,则.
故t的取值范围是.