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- 2021-06-15 发布
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2019---2020学年度第二学期检测考试
高一数学试题
第I卷(选择题)
一、选择题(本题共8道小题,每小题5分,共40分)
1.设向量 =(2,4)与向量 =(x,6)共线,则实数x=( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
2.设向量,若,则实数( )
A. ±1 B. 0 C. D. ±2
3.已知直线l是平面的斜线,则内不存在与l( )
A. 相交的直线 B. 平行的直线 C. 异面的直线 D. 垂直的直线
4.在△ABC中,点D满足,则( )
A. B. C. D.
5.在△ABC中,为BC的三等分点,则( )
A. B. C. D.
6.
在如图的正方体中,M、N分别为棱BC和棱CC1的中点,则异面直线AC和MN所成的角为( )
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
7.在△ABC中,边a,b,c分别是角A,B,C的对边,且满足,若,则ac的值为 A. 12 B. 11 C. 10 D. 9
8.
在△ABC中,,,E是边BC的中点.O为△ABC所在平面内一点且满足,则的值为( ) A. B. 1 C. D.
二多选题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)
9.已知是两个不重合的平面,是两条不重合的直线,则下列命题正确的是( )
A. 若,则 B. 若,则
C. 若,则 D. 若,则与所成的角和与所成的角相等
10.已知四棱台ABCD - A1B1C1D1的上下底面均为正方形,其中,,,则下述正确的是( )
A. 该四棱台的高为 B.
C. 该四棱台的表面积为26 D. 该四棱台外接球的表面积为16π
.
11.正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为2, E、F、G分别为BC、CC1、BB1的中点,则( )
A. 直线D1D与直线AF垂直 B. 直线A1G与平面AEF平行
C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为 D. 点C与点G到平面AEF的距离相等
12.在△ABC中,D在线段AB上,且若,则( )
A. B. △ABC的面积为8
C. △ABC的周长为 D. △ABC为钝角三角形
第II卷(非选择题)
三、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)
13.已知,,若和的夹角为钝角,则的取值范围是______ .
14.在《九章算术》中,将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑,在鳖臑A-BCD中,AB⊥平面BCD,且有,则此鳖臑的外接球O(A、B、C、D均在球O表面上)的直径为__________;过BD的平面截球O所得截面面积的最小值为__________.
15.如图,P为△ABC内一点,且,延长BP交AC于点E,若,则实数的值为_______.
16.已知,向量的夹角为,则的最大值为_____.
三、解答题(本题共6道小题,,共70分)
17. 10分
已知:
(1)若,求的坐标;
(2)若与的夹角为120°,求.
18.12分
如图,在四棱锥P‐ABCD中,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
求证:(1)PB∥平面AEC;
(2)平面PCD⊥平面PAD.
19. 12分
已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量,
,.
(1)若,求证:△ABC为等腰三角形;
(2)若,边长,角,求△ABC的面积.
20. 12分
在△ABC中,,,且△ABC的面积为.
(1)求a的值;
(2)若D为BC上一点,且 ,求的值.
从①,②这两个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
21. 12分
如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,,∠ABC=∠BCD=90°,E为PB的中点。
(1)证明:CE∥面PAD
(2)若直线CE与底面ABCD所成的角为45°,求四棱锥P-ABCD的体积。
22. 12分
如图半圆O的直径为4,A为直径MN延长线上一点,且,B为半圆周上任一点,以AB为边作等边△ABC(A、B、C按顺时针方向排列)
(1)若等边△ABC边长为a,,试写出a关于的函数关系;
(2)问为多少时,四边形的面积最大?这个最大面积为多少?
试卷答案
1.B 2.C 3 .B 4.D 5.B 6.C 7.A 8.D 9.BCD 10.AD 11.BC 12.BCD
13.且 14. 3 π 15 . 16.
17. 解析:(1)∵,∴,与共线的单位向量为.
∵,∴或.
(2)∵,∴,
∴,∴.
18.【详解】( 1)证明: 连交于O,
因为四边形是正方形 ,
所以 ,
连,则是三角形的中位线, ,
平面,平面
所以平面 .
(2)因为平面 ,
所以 ,
因为是正方形,所以,
所以平面,
所以平面平面.
19.【详解】⑴因为,所以,即,其中是的外接圆半径, 所以,所以为等腰三角形.
⑵因为,所以.
由余弦定理可知,,即
解方程得:(舍去)
所以.
20.【详解】(1) 由于 ,,,
所以,
由余弦定理 ,
解得.
(2)①当时,
在中,由正弦定理,
即,所以.
因为,所以.
所以,
即.
②当时,
在中,由余弦定理知,
.
因为,所以,
所以,
所以 ,
即.
21.【详解】解法一:(1)取PA中点Q,连接QD,QE,
则QE∥AB,且QE=AB
∴QE∥CD,且QE=CD.
即四边形CDQE为平行四边形,CE∥QD.
又∵CE平面PAD,QD平面PAD,
∴CE∥平面PAD.
(2)连接BD,取BD中点O,连接EO,CO
则EO∥PD,且EO=PD.
∵PD⊥平面ABCD,
∴EO⊥平面ABCD.
则CO为CE在平面ABCD上的射影,
即∠ECO为直线CE与底面ABCD所成的角,∠ECO=45°
在等腰直角三角形BCD中,BC=CD=2,则BD=2,
则在RtΔECO中,∠ECO=45°,EO=CO=BD=
2PD=2E0=2,
∴
∴
∴四棱锥P-ABCD的体积为.
解法二:(1)取AB中点Q,连接QC,QE
则QE∥PA
∵PA平面PAD,QE平面PAD
∴QE∥平面PAD,
又∵AQ=AB=CD,AQ∥CD,
∴四边形AQCDカ平行四迹形,
则CQ∥DA
∵DA平面PAD,CQ平面PAD,
∴CQ∥平面PAD,
(QE∥平面PAD.CQ∥平面PAD,证明其中一个即给2分)
又QE平面CEQ,CQ平面CEQ,QECQ=Q,
∴平面CEQ∥平面PAD,
又CE平面CQ,
∴CE∥平面PAD. (2)同解法一.
22.
【详解】(1)由余弦定理得
则
(2)四边形OACB的面积=△OAB的面积+△ABC的面积
则△ABC的面积
△OAB的面积•OA•OB•sinθ•2•4•sinθ=4sinθ
四边形OACB的面积4sinθ=
sin(θ﹣)
∴当θ﹣=,
即θ=时,四边形OACB的面积最大,其最大面积为.