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  • 2021-06-15 发布

2013年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)

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‎2013年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎2.(5分)=(  )‎ A.﹣8 B.8 C.﹣8i D.8i ‎3.(5分)已知向量=(λ+1,1),=(λ+2,2),若(+)⊥(﹣),则λ=(  )‎ A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.﹣1‎ ‎4.(5分)已知函数f(x)的定义域为(﹣1,0),则函数f(2x+1)的定义域为(  )‎ A.(﹣1,1) B. C.(﹣1,0) D.‎ ‎5.(5分)函数f(x)=log2(1+)(x>0)的反函数f﹣1(x)=(  )‎ A. B. C.2x﹣1(x∈R) D.2x﹣1(x>0)‎ ‎6.(5分)已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=﹣,则{an}的前10项和等于(  )‎ A.﹣6(1﹣3﹣10) B. C.3(1﹣3﹣10) D.3(1+3﹣10)‎ ‎7.(5分)(1+x)3(1+y)4的展开式中x2y2的系数是(  )‎ A.5 B.8 C.12 D.18‎ ‎8.(5分)椭圆C:的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2,﹣1],那么直线PA1斜率的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.(5分)若函数f(x)=x2+ax+是增函数,则a的取值范围是(  )‎ A.[﹣1,0] B.[﹣1,∞] C.[0,3] D.[3,+∞]‎ ‎10.(5分)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.(5分)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(﹣2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k=(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎12.(5分)已知函数f(x)=cosxsin2x,下列结论中错误的是(  )‎ A.y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称 B.y=f(x)的图象关于x=对称 C.f(x)的最大值为 D.f(x)既是奇函数,又是周期函数 ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.(5分)已知α是第三象限角,sinα=﹣,则cotα=  .‎ ‎14.(5分)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有  种.(用数字作答)‎ ‎15.(5分)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是  .‎ ‎16.(5分)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,,则球O的表面积等于  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(10分)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a22,且S1,S2,S4成等比数列,求{an}的通项式.‎ ‎18.(12分)设△ABC的内角A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足(a+b+c)(a﹣b+c)=ac.‎ ‎(Ⅰ)求B.‎ ‎(Ⅱ)若sinAsinC=,求C.‎ ‎19.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是等边三角形.‎ ‎(Ⅰ)证明:PB⊥CD;‎ ‎(Ⅱ)求二面角A﹣PD﹣C的大小.‎ ‎20.(12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.‎ ‎(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率;‎ ‎(Ⅱ)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.‎ ‎21.(12分)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为.‎ ‎(I)求a,b;‎ ‎(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.‎ ‎22.(12分)已知函数.‎ ‎(I)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;‎ ‎(II)设数列{an}的通项an=1+.‎ ‎ ‎ ‎2013年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)(2013•大纲版)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中元素的个数为(  )‎ A.3 B.4 C.5 D.6‎ ‎【分析】利用已知条件,直接求出a+b,利用集合元素互异求出M中元素的个数即可.‎ ‎【解答】解:因为集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},‎ 所以a+b的值可能为:1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8,‎ 所以M中元素只有:5,6,7,8.共4个.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2013•大纲版)=(  )‎ A.﹣8 B.8 C.﹣8i D.8i ‎【分析】复数分子、分母同乘﹣8,利用1的立方虚根的性质(),化简即可.‎ ‎【解答】解:‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2013•大纲版)已知向量=(λ+1,1),=(λ+2,2),若(+)⊥(﹣),则λ=(  )‎ A.﹣4 B.﹣3 C.﹣2 D.﹣1‎ ‎【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出.‎ ‎【解答】解:∵,.‎ ‎∴=(2λ+3,3),.‎ ‎∵,‎ ‎∴=0,‎ ‎∴﹣(2λ+3)﹣3=0,解得λ=﹣3.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2013•大纲版)已知函数f(x)的定义域为(﹣1,0),则函数f(2x+1)的定义域为(  )‎ A.(﹣1,1) B. C.(﹣1,0) D.‎ ‎【分析】原函数的定义域,即为2x+1的范围,解不等式组即可得解.‎ ‎【解答】解:∵原函数的定义域为(﹣1,0),‎ ‎∴﹣1<2x+1<0,解得﹣1<x<﹣.‎ ‎∴则函数f(2x+1)的定义域为.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)(2013•大纲版)函数f(x)=log2(1+)(x>0)的反函数f﹣1(x)=(  )‎ A. B. C.2x﹣1(x∈R) D.2x﹣1(x>0)‎ ‎【分析】把y看作常数,求出x:x=,x,y互换,得到y=log2(1+)的反函数.注意反函数的定义域.‎ ‎【解答】解:设y=log2(1+),‎ 把y看作常数,求出x:‎ ‎1+=2y,x=,其中y>0,‎ x,y互换,得到y=log2(1+)的反函数:y=,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2013•大纲版)已知数列{an}满足3an+1+an=0,a2=﹣,则{an}的前10项和等于(  )‎ A.﹣6(1﹣3﹣10) B. C.3(1﹣3﹣10) D.3(1+3﹣10)‎ ‎【分析】由已知可知,数列{an}是以﹣为公比的等比数列,结合已知可求a1,然后代入等比数列的求和公式可求 ‎【解答】解:∵3an+1+an=0‎ ‎∴‎ ‎∴数列{an}是以﹣为公比的等比数列 ‎∵‎ ‎∴a1=4‎ 由等比数列的求和公式可得,S10==3(1﹣3﹣10)‎ 故选C ‎ ‎ ‎7.(5分)(2013•大纲版)(1+x)3(1+y)4的展开式中x2y2的系数是(  )‎ A.5 B.8 C.12 D.18‎ ‎【分析】由题意知利用二项展开式的通项公式写出展开式的通项,令x的指数为2,写出出展开式中x2的系数,第二个因式y2的系数,即可得到结果.‎ ‎【解答】解:(x+1)3的展开式的通项为Tr+1=C3rxr 令r=2得到展开式中x2的系数是C32=3,‎ ‎(1+y)4的展开式的通项为Tr+1=C4ryr 令r=2得到展开式中y2的系数是C42=6,‎ ‎(1+x)3(1+y)4的展开式中x2y2的系数是:3×6=18,‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2013•大纲版)椭圆C:的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[﹣2,﹣1],那么直线PA1斜率的取值范围是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】由椭圆C:可知其左顶点A1(﹣2,0),右顶点A2(2,0).设P(x0,y0)(x0≠±2),代入椭圆方程可得.利用斜率计算公式可得,再利用已知给出的的范围即可解出.‎ ‎【解答】解:由椭圆C:可知其左顶点A1(﹣2,0),右顶点A2(2,0).‎ 设P(x0,y0)(x0≠±2),则,得.‎ ‎∵=,=,‎ ‎∴==,‎ ‎∵,‎ ‎∴,解得.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2013•大纲版)若函数f(x)=x2+ax+是增函数,则a的取值范围是(  )‎ A.[﹣1,0] B.[﹣1,∞] C.[0,3] D.[3,+∞]‎ ‎【分析】由函数在(,+∞)上是增函数,可得≥0在(,+∞)上恒成立,进而可转化为a≥﹣2x在(,+∞)上恒成立,构造函数求出﹣2x在(,+∞)上的最值,可得a的取值范围.‎ ‎【解答】解:∵在(,+∞)上是增函数,‎ 故≥0在(,+∞)上恒成立,‎ 即a≥﹣2x在(,+∞)上恒成立,‎ 令h(x)=﹣2x,‎ 则h′(x)=﹣﹣2,‎ 当x∈(,+∞)时,h′(x)<0,则h(x)为减函数.‎ ‎∴h(x)<h()=3‎ ‎∴a≥3.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2013•大纲版)已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】设AB=1,则AA1=2,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,设=(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量,CD与平面BDC1所成角为θ,‎ 则sinθ=||,在空间坐标系下求出向量坐标,代入计算即可.‎ ‎【解答】解:设AB=1,则AA1=2,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,‎ 如下图所示:‎ 则D(0,0,2),C1(1,0,0),B(1,1,2),C(1,0,2),‎ ‎=(1,1,0),=(1,0,﹣2),=(1,0,0),‎ 设=(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量,则,即,取=(2,﹣2,1),‎ 设CD与平面BDC1所成角为θ,则sinθ=||=,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎11.(5分)(2013•大纲版)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M(﹣2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k=(  )‎ A. B. C. D.2‎ ‎【分析】斜率k存在,设直线AB为y=k(x﹣2),代入抛物线方程,利用=(x1+2,y1﹣2)•(x2+2,y2﹣2)=0,即可求出k的值.‎ ‎【解答】解:由抛物线C:y2=8x得焦点(2,0),‎ 由题意可知:斜率k存在,设直线AB为y=k(x﹣2),‎ 代入抛物线方程,得到k2x2﹣(4k2+8)x+4k2=0,△>0,‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2).‎ ‎∴x1+x2=4+,x1x2=4.‎ ‎∴y1+y2=,y1y2=﹣16,‎ 又=0,‎ ‎∴=(x1+2,y1﹣2)•(x2+2,y2﹣2)==0‎ ‎∴k=2.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2013•大纲版)已知函数f(x)=cosxsin2x,下列结论中错误的是(  )‎ A.y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称 B.y=f(x)的图象关于x=对称 C.f(x)的最大值为 D.f(x)既是奇函数,又是周期函数 ‎【分析】A、用中心对称的充要条件,直接验证f(2π﹣x)+f(x)=0是否成立即可判断其正误;‎ B、用轴对称的条件直接验证f(π﹣x)=f(x)成立与否即可判断其正误;‎ C、可将函数解析式换为f(x)=2sinx﹣2sin3x,再换元为y=2t﹣2t3,t∈[﹣1,1],利用导数求出函数在区间上的最值即可判断正误;‎ D、可利用奇函数的定义与周期函数的定义直接证明.‎ ‎【解答】解:‎ A、因为f(2π﹣x)+f(x)=cos(2π﹣x)sin2(2π﹣x)+cosxsin2x=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0,故y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称,A正确;‎ B、因为f(π﹣x)=cos(π﹣x)sin2(π﹣x)=cosxsin2x=f(x),故y=f(x)的图象关于x=对称,故B正确;‎ C、f(x)=cosxsin2x=2sinxcos2x=2sinx(1﹣sin2x)=2sinx﹣2sin3x,令t=sinx∈[﹣1,1],则y=2t﹣2t3,t∈[﹣1,1],则y′=2﹣6t2,令y′>0解得,故y=2t﹣2t3,在[]上增,在[]与[]上减,又y(﹣1)=0,y()=,故函数的最大值为,故C错误;‎ D、因为f(﹣x)+f(x)=﹣cosxsin2x+cosxsin2x=0,故是奇函数,又f(x+2π)=cos(2π+x)sin2(2π+x)=cosxsin2x,故2π是函数的周期,所以函数即是奇函数,又是周期函数,故D正确.‎ 由于该题选择错误的,故选:C.‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.‎ ‎13.(5分)(2013•大纲版)已知α是第三象限角,sinα=﹣,则cotα= 2 .‎ ‎【分析】根据α是第三象限的角,得到cosα小于0,然后由sinα的值,利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值,进而求出cotα的值.‎ ‎【解答】解:由α是第三象限的角,得到cosα<0,‎ 又sinα=﹣,所以cosα=﹣=﹣‎ 则cotα==2‎ 故答案为:2‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2013•大纲版)6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 480 种.(用数字作答)‎ ‎【分析】排列好甲、乙两人外的4人,然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位中即可.‎ ‎【解答】解:6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法:排列好甲、乙两人外的4人,有中方法,‎ 然后把甲、乙两人插入4个人的5个空位,有种方法,‎ 所以共有:=480.‎ 故答案为:480.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2013•大纲版)记不等式组所表示的平面区域为D.若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是 [,4] .‎ ‎【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的应用,我们要先画出满足约束条件 的平面区域,然后分析平面区域里各个角点,然后将其代入y=a(x+1)中,求出y=a(x+1)对应的a的端点值即可.‎ ‎【解答】解:满足约束条件 的平面区域如图示:‎ 因为y=a(x+1)过定点(﹣1,0).‎ 所以当y=a(x+1)过点B(0,4)时,得到a=4,‎ 当y=a(x+1)过点A(1,1)时,对应a=.‎ 又因为直线y=a(x+1)与平面区域D有公共点.‎ 所以≤a≤4.‎ 故答案为:[,4]‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)(2013•大纲版)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,,则球O的表面积等于 16π .‎ ‎【分析】正确作出图形,利用勾股定理,建立方程,即可求得结论.‎ ‎【解答】解:如图所示,设球O的半径为r,AB是公共弦,∠OCK是面面角 根据题意得OC=,CK=‎ 在△OCK中,OC2=OK2+CK2,即 ‎∴r2=4‎ ‎∴球O的表面积等于4πr2=16π 故答案为16π ‎ ‎ 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(10分)(2013•大纲版)等差数列{an}的前n项和为Sn.已知S3=a22,且S1,S2,S4成等比数列,求{an}的通项式.‎ ‎【分析】由,结合等差数列的求和公式可求a2,然后由,结合等差数列的求和公式进而可求公差d,即可求解通项公式 ‎【解答】解:设数列的公差为d 由得,3‎ ‎∴a2=0或a2=3‎ 由题意可得,‎ ‎∴‎ 若a2=0,则可得d2=﹣2d2即d=0不符合题意 若a2=3,则可得(6﹣d)2=(3﹣d)(12+2d)‎ 解可得d=0或d=2‎ ‎∴an=3或an=2n﹣1‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)(2013•大纲版)设△ABC的内角A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足(a+b+c)(a﹣b+c)=ac.‎ ‎(Ⅰ)求B.‎ ‎(Ⅱ)若sinAsinC=,求C.‎ ‎【分析】(I)已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算,整理后得到关系式,利用余弦定理表示出cosB,将关系式代入求出cosB的值,由B为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数;‎ ‎(II)由(I)得到A+C的度数,利用两角和与差的余弦函数公式化简cos(A﹣C),变形后将cos(A+C)及2sinAsinC的值代入求出cos(A﹣C)的值,利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值,与A+C的值联立即可求出C的度数.‎ ‎【解答】解:(I)∵(a+b+c)(a﹣b+c)=(a+c)2﹣b2=ac,‎ ‎∴a2+c2﹣b2=﹣ac,‎ ‎∴cosB==﹣,‎ 又B为三角形的内角,‎ 则B=120°;‎ ‎(II)由(I)得:A+C=60°,∵sinAsinC=,cos(A+C)=,‎ ‎∴cos(A﹣C)=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos(A+C)+2sinAsinC=+2×=,‎ ‎∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°,‎ 则C=15°或C=45°.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2013•大纲版)如图,四棱锥P﹣ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是等边三角形.‎ ‎(Ⅰ)证明:PB⊥CD;‎ ‎(Ⅱ)求二面角A﹣PD﹣C的大小.‎ ‎【分析】(I)取BC的中点E,连接DE,过点P作PO⊥平面ABCD于O,连接OA、OB、OD、OE.可证出四边形ABED是正方形,且O为正方形ABED的中心.因此OE⊥OB,结合三垂线定理,证出OE⊥PB,而OE是△BCD的中位线,可得OE∥CD,因此PB⊥CD;‎ ‎(II)由(I)的结论,证出CD⊥平面PBD,从而得到CD⊥PD.取PD的中点F,PC的中点G,连接FG,可得FG∥CD,所以FG⊥PD.连接AF,可得AF⊥PD,因此∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角,连接AG、EG,则EG∥PB,可得EG⊥OE.设AB=2,可求出AE、EG、AG、AF和FG的长,最后在△AFG中利用余弦定理,算出∠AFG=π﹣arccos,即得二面角A﹣PD﹣C的平面角大小.‎ ‎【解答】解:(I)取BC的中点E,连接DE,可得四边形ABED是正方形 过点P作PO⊥平面ABCD,垂足为O,连接OA、OB、OD、OE ‎∵△PAB与△PAD都是等边三角形,∴PA=PB=PD,可得OA=OB=OD 因此,O是正方形ABED的对角线的交点,可得OE⊥OB ‎∵PO⊥平面ABCD,得直线OB是直线PB在内的射影,∴OE⊥PB ‎∵△BCD中,E、O分别为BC、BD的中点,∴OE∥CD,可得PB⊥CD;‎ ‎(II)由(I)知CD⊥PO,CD⊥PB ‎∵PO、PB是平面PBD内的相交直线,∴CD⊥平面PBD ‎∵PD⊂平面PBD,∴CD⊥PD 取PD的中点F,PC的中点G,连接FG,‎ 则FG为△PCD有中位线,∴FG∥CD,可得FG⊥PD 连接AF,由△PAD是等边三角形可得AF⊥PD,∴∠AFG为二面角A﹣PD﹣C的平面角 连接AG、EG,则EG∥PB ‎∵PB⊥OE,∴EG⊥OE,‎ 设AB=2,则AE=2,EG=PB=1,故AG==3‎ 在△AFG中,FG=CD=,AF=,AG=3‎ ‎∴cos∠AFG==﹣,得∠AFG=π﹣arccos,‎ 即二面角A﹣PD﹣C的平面角大小是π﹣arccos.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2013•大纲版)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.‎ ‎(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率;‎ ‎(Ⅱ)X表示前4局中乙当裁判的次数,求X的数学期望.‎ ‎【分析】(I)令A1表示第2局结果为甲获胜,A2表示第3局甲参加比赛时,结果为甲负,A表示第4局甲当裁判,分析其可能情况,每局比赛的结果相互独立且互斥,利用独立事件、互斥事件的概率求解即可.‎ ‎(II)X的所有可能值为0,1,2.分别求出X取每一个值的概率,列出分布列后求出期望值即可.‎ ‎【解答】解:(I)令A1表示第2局结果为甲获胜.A2‎ 表示第3局甲参加比赛时,结果为甲负.A表示第4局甲当裁判.‎ 则A=A1•A2,P(A)=P(A1•A2)=P(A1)P(A2)=;‎ ‎(Ⅱ)X的所有可能值为0,1,2.令A3表示第3局乙和丙比赛时,结果为乙胜.‎ B1表示第1局结果为乙获胜,B2表示第2局乙和甲比赛时,结果为乙胜,B3表示第3局乙参加比赛时,结果为乙负,‎ 则P(X=0)=P(B1B2)=P(B1)P(B2)P()=.‎ P(X=2)=P(B3)=P()P(B3)=.‎ P(X=1)=1﹣P(X=0)﹣P(X=2)=.‎ 从而EX=0×+1×+2×=.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)(2013•大纲版)已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为.‎ ‎(I)求a,b;‎ ‎(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.‎ ‎【分析】(I)由题设,可由离心率为3得到参数a,b的关系,将双曲线的方程用参数a表示出来,再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程;‎ ‎(II)由(I)的方程求出两焦点坐标,设出直线l的方程设A(x1,y1),B(x2,y2),将其与双曲线C的方程联立,得出x1+x2=,,再利用|AF1|=|BF1|建立关于A,B坐标的方程,得出两点横坐标的关系,由此方程求出k的值,得出直线的方程,从而可求得:|AF2|、|AB|、|BF2|,再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论.‎ ‎【解答】解:(I)由题设知=3,即=9,故b2=8a2‎ 所以C的方程为8x2﹣y2=8a2‎ 将y=2代入上式,并求得x=±,‎ 由题设知,2=,解得a2=1‎ 所以a=1,b=2‎ ‎(II)由(I)知,F1(﹣3,0),F2(3,0),C的方程为8x2﹣y2=8 ①‎ 由题意,可设l的方程为y=k(x﹣3),|k|<2代入①并化简得(k2﹣8)x2﹣6k2x+9k2+8=0‎ 设A(x1,y1),B(x2,y2),‎ 则x1≤﹣1,x2≥1,x1+x2=,,于是 ‎|AF1|==﹣(3x1+1),‎ ‎|BF1|==3x2+1,‎ ‎|AF1|=|BF1|得﹣(3x1+1)=3x2+1,即 故=,解得,从而=﹣‎ 由于|AF2|==1﹣3x1,‎ ‎|BF2|==3x2﹣1,‎ 故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3(x1+x2)=4,|AF2||BF2|=3(x1+x2)﹣9x1x2﹣1=16‎ 因而|AF2||BF2|=|AB|2,所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列 ‎ ‎ ‎22.(12分)(2013•大纲版)已知函数.‎ ‎(I)若x≥0时,f(x)≤0,求λ的最小值;‎ ‎(II)设数列{an}的通项an=1+.‎ ‎【分析】(I)由于已知函数的最大值是0,故可先求出函数的导数,研究其单调性,确定出函数的最大值,利用最大值小于等于0求出参数λ的取值范围,即可求得其最小值;‎ ‎(II)根据(I)的证明,可取λ=,由于x>0时,f(x)<0得出,考察发现,若取x=,则可得出,以此为依据,利用放缩法,即可得到结论 ‎【解答】解:(I)由已知,f(0)=0,‎ f′(x)==,‎ ‎∴f′(0)=0‎ 欲使x≥0时,f(x)≤0恒成立,则f(x)在(0,+∞)上必为减函数,即在(0,+∞)上f′(x)<0恒成立,‎ 当λ≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,为增函数,故不合题意,‎ 若0<λ<时,由f′(x)>0解得x<,则当0<x<,f′(x)>0,所以当0<x<时,f(x)>0,此时不合题意,‎ 若λ≥,则当x>0时,f′(x)<0恒成立,此时f(x)在(0,+∞)上必为减函数,所以当x>0时,f(x)<0‎ 恒成立,‎ 综上,符合题意的λ的取值范围是λ≥,即λ的最小值为 ‎( II)令λ=,由(I)知,当x>0时,f(x)<0,即 取x=,则 于是a2n﹣an+=++…++‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎=>=ln2n﹣lnn=ln2‎ 所以 ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;沂蒙松;minqi5;吕静;豫汝王世崇;wyz123;刘长柏;xintrl;wubh2011;邢新丽;sllwyn;ywg2058(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日