2009年北京市高考数学试卷（理科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】 10页

‎2009年北京市高考数学试卷（理科）‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）‎ ‎1. 在复平面内，复数z＝i(1+2i)‎对应的点位于（ ）‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2. 已知向量a‎→‎‎=(1, 0)‎，b‎→‎‎=(0, 1)‎，c‎→‎‎=ka‎→‎+b‎→‎(k∈R)‎，d‎→‎‎=a‎→‎-‎b‎→‎，如果c‎→‎‎ // ‎d‎→‎，那么（ ）‎ A.k=1‎且c与d同向 B.k=1‎且c与d反向 C.k=-1‎且c与d同向 D.k=-1‎且c与d反向 ‎3. 为了得到函数y=lgx+3‎‎10‎的图象，只需把函数y=lg x的图象上所有的点（ ）‎ A.向左平移‎3‎个单位长度，再向上平移‎1‎个单位长度 B.向右平移‎3‎个单位长度，再向上平移‎1‎个单位长度 C.向左平移‎3‎个单位长度，再向下平移‎1‎个单位长度 D.向右平移‎3‎个单位长度，再向下平移‎1‎个单位长度 ‎4. 若正四棱柱ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎的底面边长为‎1‎，AB‎1‎与底面ABCD成‎60‎‎∘‎角，则A‎1‎C‎1‎到底面ABCD的距离为（ ）‎ A.‎3‎‎3‎ B.‎1‎ C.‎2‎ D.‎‎3‎ ‎5. “a=π‎6‎+2kπ(k∈Z)‎”是“cos2a=‎‎1‎‎2‎”的（ ）‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6. 若‎(1+‎2‎‎)‎‎5‎=a+b‎2‎（a，b为有理数），则a+b=(‎ ‎‎)‎ A.‎45‎ B.‎55‎ C.‎70‎ D.‎‎80‎ ‎7. 用‎0‎到‎9‎这‎10‎个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）‎ A.‎324‎ B.‎328‎ C.‎360‎ D.‎‎648‎ ‎8. 点P在直线l:y=x-1‎上，若存在过P的直线交抛物线y=‎x‎2‎于A，B两点，且‎|PA|=|AB|‎，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是(        )‎ A.直线l上的所有点都是“点”‎ B.直线l上仅有有限个点是“点”‎ C.直线l上的所有点都不是“点”‎ D.直线l上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”‎ 二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）‎ ‎9. limx→1‎xx-xx-1‎‎=‎________．‎ ‎10. 若实数x，y满足x+y-2≥0‎x≤4‎y≤5‎则s=y-x的最小值为________．‎ ‎11. 设f(x)‎是偶函数，若曲线y=f(x)‎在点（‎1, f(1)‎）处的切线的斜率为‎1‎，则该曲线在（‎-1, f(-1)‎）处的切线的斜率为________．‎ ‎12. 椭圆x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎‎2‎=1‎的焦点为F‎1‎、F‎2‎，点P在椭圆上，若‎|PF‎1‎|=4‎，则‎|PF‎2‎|=‎________，‎∠F‎1‎PF‎2‎的大小为________．‎ ‎13. 若函数f(x)=‎‎1‎xx<0‎‎(‎1‎‎3‎‎)‎xx≥0‎则不等式‎|f(x)|≥‎‎1‎‎3‎的解集为________．‎ ‎14. ‎{an}‎满足：a‎4n-3‎‎=1‎，a‎4n-1‎‎=0‎，a‎2n‎=‎an，n∈‎N‎*‎则a‎2009‎‎=‎________；a‎2014‎‎=‎________．‎ 三、解答题（共6小题，满分80分）‎ ‎15. 在‎△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,B=‎π‎3‎，cosA=‎4‎‎5‎，b=‎‎3‎．‎ ‎（1）求sinC的值；‎ ‎（2）求‎△ABC的面积．‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎16. 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥‎底面ABC，PA=AB，‎∠ABC=‎‎60‎‎∘‎，‎∠BCA=‎‎90‎‎∘‎，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE // BC．‎ ‎（1）求证：BC⊥‎平面PAC；‎ ‎（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；‎ ‎（3）是否存在点E使得二面角A-DE-P为直二面角？并说明理由．‎ ‎17. 某学生在上学路上要经过‎4‎个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是‎1‎‎3‎，遇到红灯时停留的时间都是‎2min．‎ ‎（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；‎ ‎（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间ξ的分布列及期望．‎ ‎18. 设函数f(x)=xekx(k≠0)‎．‎ ‎（1）求曲线y=f(x)‎在点（‎0, f(0)‎）处的切线方程；‎ ‎（2）求函数f(x)‎的单调区间；‎ ‎（3）若函数f(x)‎在区间‎(-1, 1)‎内单调递增，求k的取值范围．‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎19. 已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0, b>0)‎的离心率为‎3‎，右准线方程为x=‎‎3‎‎3‎ ‎（1）求双曲线C的方程；‎ ‎（2）设直线l是圆O:x‎2‎+y‎2‎=2‎上动点P(x‎0‎, y‎0‎)(x‎0‎y‎0‎≠0)‎处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明‎∠AOB的大小为定值．‎ ‎20. 已知数集A={a‎1‎, a‎2‎, ..., an}(1≤a‎1‎0‎，‎ ‎∴ A为锐角，‎ 则sinA=‎1-cos‎2‎A=‎‎3‎‎5‎ ‎∴ ‎C=‎2π‎3‎-A ‎∴ sinC=sin(‎2π‎3‎-A)=‎3‎‎2‎cosA+‎1‎‎2‎sinA=‎‎3+4‎‎3‎‎10‎；‎ ‎（2）由（1）知sinA=‎‎3‎‎5‎，sinC=‎‎3+4‎‎3‎‎10‎，‎ 又∵ B=π‎3‎，b=‎‎3‎，‎ ‎∴ 在‎△ABC中，由正弦定理，得 ‎∴ a=bsinAsinB=‎‎6‎‎5‎，‎ ‎∴ ‎△ABC的面积S=‎1‎‎2‎absinC=‎1‎‎2‎×‎6‎‎5‎×‎3‎×‎3+4‎‎3‎‎10‎=‎‎36+9‎‎3‎‎50‎．‎ ‎【解答】‎ 解：（1）∵ A、B、C为‎△ABC的内角，且B=π‎3‎，cosA=‎4‎‎5‎>0‎，‎ ‎∴ A为锐角，‎ 则sinA=‎1-cos‎2‎A=‎‎3‎‎5‎ ‎∴ ‎C=‎2π‎3‎-A ‎∴ sinC=sin(‎2π‎3‎-A)=‎3‎‎2‎cosA+‎1‎‎2‎sinA=‎‎3+4‎‎3‎‎10‎；‎ ‎（2）由（1）知sinA=‎‎3‎‎5‎，sinC=‎‎3+4‎‎3‎‎10‎，‎ 又∵ B=π‎3‎，b=‎‎3‎，‎ ‎∴ 在‎△ABC中，由正弦定理，得 ‎∴ a=bsinAsinB=‎‎6‎‎5‎，‎ ‎∴ ‎△ABC的面积S=‎1‎‎2‎absinC=‎1‎‎2‎×‎6‎‎5‎×‎3‎×‎3+4‎‎3‎‎10‎=‎‎36+9‎‎3‎‎50‎．‎ ‎16.解：（1）∵ PA⊥‎底面ABC，∴ PA⊥BC．‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 又‎∠BCA=‎‎90‎‎∘‎，∴ AC⊥BC，∴ BC⊥‎平面PAC．‎ ‎（2）∵ D为PB的中点，DE // BC，‎ ‎∴ DE=‎1‎‎2‎BC．‎ 又由（1）知，BC⊥‎平面PAC，‎ ‎∴ DE⊥‎平面PAC，垂足为点E，‎ ‎∴ ‎∠DAE是AD与平面PAC所成的角．‎ ‎∵ PA⊥‎底面ABC，∴ PA⊥AB．‎ 又PA=AB，∴ ‎△ABP为等腰直角三角形，‎ ‎∴ AD=‎1‎‎2‎AB．‎ 在Rt△ABC中，‎∠ABC=‎‎60‎‎∘‎，∴ BC=‎1‎‎2‎AB，‎ ‎∴ 在Rt△ADE中，sin∠DAE=DEAD=BC‎2AD=‎‎2‎‎4‎，‎ 即AD与平面PAC所成角的正弦值为‎2‎‎4‎．‎ ‎（3）∵ DE // BC，又由（1）知，BC⊥‎平面PAC，‎ ‎∴ DE⊥‎平面PAC．‎ 又∵ AE⊂‎平面PAC，PE⊂‎平面PBC，‎ ‎∴ DE⊥AE，DE⊥PE，‎ ‎∴ ‎∠AEP为二面角A-DE-P的平面角．‎ ‎∵ PA⊥‎底面ABC，∴ PA⊥AC，‎ ‎∴ ‎∠PAC=‎‎90‎‎∘‎，∴ 在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．‎ 这时，‎∠AEP=‎‎90‎‎∘‎，‎ 故存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角．‎ ‎【解答】‎ 解：（1）∵ PA⊥‎底面ABC，∴ PA⊥BC．‎ 又‎∠BCA=‎‎90‎‎∘‎，∴ AC⊥BC，∴ BC⊥‎平面PAC．‎ ‎（2）∵ D为PB的中点，DE // BC，‎ ‎∴ DE=‎1‎‎2‎BC．‎ 又由（1）知，BC⊥‎平面PAC，‎ ‎∴ DE⊥‎平面PAC，垂足为点E，‎ ‎∴ ‎∠DAE是AD与平面PAC所成的角．‎ ‎∵ PA⊥‎底面ABC，∴ PA⊥AB．‎ 又PA=AB，∴ ‎△ABP为等腰直角三角形，‎ ‎∴ AD=‎1‎‎2‎AB．‎ 在Rt△ABC中，‎∠ABC=‎‎60‎‎∘‎，∴ BC=‎1‎‎2‎AB，‎ ‎∴ 在Rt△ADE中，sin∠DAE=DEAD=BC‎2AD=‎‎2‎‎4‎，‎ 即AD与平面PAC所成角的正弦值为‎2‎‎4‎．‎ ‎（3）∵ DE // BC，又由（1）知，BC⊥‎平面PAC，‎ ‎∴ DE⊥‎平面PAC．‎ 又∵ AE⊂‎平面PAC，PE⊂‎平面PBC，‎ ‎∴ DE⊥AE，DE⊥PE，‎ ‎∴ ‎∠AEP为二面角A-DE-P的平面角．‎ ‎∵ PA⊥‎底面ABC，∴ PA⊥AC，‎ ‎∴ ‎∠PAC=‎‎90‎‎∘‎，∴ 在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 这时，‎∠AEP=‎‎90‎‎∘‎，‎ 故存在点E使得二面角A-DE-P是直二面角．‎ ‎17.解：（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，‎ ‎∵ 事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，‎ ‎∴ 事件A的概率为P(A)=(1-‎1‎‎3‎)×(1-‎1‎‎3‎)×‎1‎‎3‎=‎‎4‎‎27‎ ‎（2）由题意可得ξ可能取的值为‎0‎，‎2‎，‎4‎，‎6‎，‎8‎（单位：min）‎ 事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”‎(k=0, 1, 2, 3, 4)‎，‎ ‎∴ P(ξ=2k)=C‎4‎k(‎1‎‎3‎‎)‎k(‎2‎‎3‎‎)‎‎4-k(k=0,1,2,3,4)‎，‎ ‎∴ 即ξ的分布列是 ‎ ‎ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ P ‎ ‎‎16‎‎81‎ ‎32‎‎81‎ ‎8‎‎27‎ ‎8‎‎81‎ ‎1‎‎81‎ ‎∴ ξ的期望是Eξ=0×‎16‎‎81‎+2×‎32‎‎81‎+4×‎8‎‎27‎+6×‎8‎‎81‎+8×‎1‎‎81‎=‎‎8‎‎3‎ ‎【解答】‎ 解：（1）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯为事件A，‎ ‎∵ 事件A等于事件“这名学生在第一和第二个路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯”，‎ ‎∴ 事件A的概率为P(A)=(1-‎1‎‎3‎)×(1-‎1‎‎3‎)×‎1‎‎3‎=‎‎4‎‎27‎ ‎（2）由题意可得ξ可能取的值为‎0‎，‎2‎，‎4‎，‎6‎，‎8‎（单位：min）‎ 事件“ξ=2k”等价于事件“该学生在路上遇到k次红灯”‎(k=0, 1, 2, 3, 4)‎，‎ ‎∴ P(ξ=2k)=C‎4‎k(‎1‎‎3‎‎)‎k(‎2‎‎3‎‎)‎‎4-k(k=0,1,2,3,4)‎，‎ ‎∴ 即ξ的分布列是 ‎ ‎ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ P ‎ ‎‎16‎‎81‎ ‎32‎‎81‎ ‎8‎‎27‎ ‎8‎‎81‎ ‎1‎‎81‎ ‎∴ ξ的期望是Eξ=0×‎16‎‎81‎+2×‎32‎‎81‎+4×‎8‎‎27‎+6×‎8‎‎81‎+8×‎1‎‎81‎=‎‎8‎‎3‎ ‎18.解：（1）f'(x)=(1+kx)‎ekx，f'(0)=1‎，f(0)=0‎，‎ 曲线y=f(x)‎在点（‎0, f(0)‎）处的切线方程为y=x；‎ ‎（2）由f'(x)=(1+kx)ekx=0‎，得x=-‎1‎k(k≠0)‎，‎ 若k>0‎，则当x∈(-∞, -‎1‎k)‎时，‎ f'(x)<0‎‎，函数f(x)‎单调递减，‎ 当x∈‎（‎-‎1‎k, +∞‎,）时，f'(x)>0‎，‎ 函数f(x)‎单调递增，‎ 若k<0‎，则当x∈(-∞, -‎1‎k)‎时，‎ f'(x)>0‎‎，函数f(x)‎单调递增，‎ 当x∈‎（‎-‎1‎k, +∞‎,）时，‎ f'(x)<0‎‎，函数f(x)‎单调递减；‎ ‎（3）由（2）知，若k>0‎，则当且仅当‎-‎1‎k≤-1‎，‎ 即k≤1‎时，函数f(x)(-1, 1)‎内单调递增，‎ 若k<0‎，则当且仅当‎-‎1‎k≥1‎，‎ 即k≥-1‎时，函数f(x)(-1, 1)‎内单调递增，‎ 综上可知，函数f(x)(-1, 1)‎内单调递增时，‎ k的取值范围是‎[-1, 0)∪(0, 1]‎．‎ ‎【解答】‎ 解：（1）f'(x)=(1+kx)‎ekx，f'(0)=1‎，f(0)=0‎，‎ 曲线y=f(x)‎在点（‎0, f(0)‎）处的切线方程为y=x；‎ ‎（2）由f'(x)=(1+kx)ekx=0‎，得x=-‎1‎k(k≠0)‎，‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 若k>0‎，则当x∈(-∞, -‎1‎k)‎时，‎ f'(x)<0‎‎，函数f(x)‎单调递减，‎ 当x∈‎（‎-‎1‎k, +∞‎,）时，f'(x)>0‎，‎ 函数f(x)‎单调递增，‎ 若k<0‎，则当x∈(-∞, -‎1‎k)‎时，‎ f'(x)>0‎‎，函数f(x)‎单调递增，‎ 当x∈‎（‎-‎1‎k, +∞‎,）时，‎ f'(x)<0‎‎，函数f(x)‎单调递减；‎ ‎（3）由（2）知，若k>0‎，则当且仅当‎-‎1‎k≤-1‎，‎ 即k≤1‎时，函数f(x)(-1, 1)‎内单调递增，‎ 若k<0‎，则当且仅当‎-‎1‎k≥1‎，‎ 即k≥-1‎时，函数f(x)(-1, 1)‎内单调递增，‎ 综上可知，函数f(x)(-1, 1)‎内单调递增时，‎ k的取值范围是‎[-1, 0)∪(0, 1]‎．‎ ‎19.解：（1）由题意，a‎2‎c‎=‎‎3‎‎3‎ca‎=‎‎3‎，‎ 解得a=1‎，c=‎‎3‎，‎ b‎2‎‎=c‎2‎-a‎2‎=2‎‎，‎ ‎∴ 所求双曲C的方程x‎2‎‎-y‎2‎‎2‎=1‎．‎ ‎（2）设P(m, n)(mn≠0)‎在x‎2‎‎+y‎2‎=2‎上，‎ 圆在点P(m, n)‎处的切线方程为y-n=-mn(x-m)‎，‎ 化简得mx+ny=2‎．‎ x‎2‎‎-y‎2‎‎2‎=1‎mx+ny=2‎以及m‎2‎‎+n‎2‎=2‎得 ‎(3m‎2‎-4)x‎2‎-4mx+8-2m‎2‎=0‎‎，‎ ‎∵ 切L与双曲线C交于不同的两点A、B，且‎00‎，‎ 设A、B两点的坐标分别‎(x‎1‎, y‎1‎)‎，‎(x‎2‎, y‎2‎)‎，‎ x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎4m‎3m‎2‎-4‎‎，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎8-2‎m‎2‎‎3m‎2‎-4‎．‎ ‎∵ cos∠AOB=‎‎|OA‎→‎|⋅|OB‎→‎|‎‎˙‎，‎ 且OA‎→‎‎⋅OB‎→‎=x‎1‎x‎2‎+y‎1‎y‎2‎=x‎1‎x‎2‎+‎1‎y‎0‎‎2‎(2-x‎0‎x‎1‎)(2-x‎0‎x‎2‎)‎ ‎=x‎1‎x‎2‎+‎1‎‎2-‎m‎2‎[4-2m(x‎1‎+x‎2‎)+m‎2‎x‎1‎x‎2‎]‎ ‎=‎8-2‎m‎2‎‎3m‎2‎-4‎+‎1‎‎2-‎m‎2‎[4-‎8‎m‎2‎‎3m‎2‎-4‎+m‎2‎‎(8-2m‎2‎)‎‎3m‎2‎-4‎]‎ ‎=‎8-2‎m‎2‎‎3m‎2‎-4‎-‎8-2‎m‎2‎‎3m‎2‎-4‎=0‎‎．‎ ‎∴ ‎∠AOB的大小为‎90‎‎0‎．‎ ‎【解答】‎ 解：（1）由题意，a‎2‎c‎=‎‎3‎‎3‎ca‎=‎‎3‎，‎ 解得a=1‎，c=‎‎3‎，‎ b‎2‎‎=c‎2‎-a‎2‎=2‎‎，‎ ‎∴ 所求双曲C的方程x‎2‎‎-y‎2‎‎2‎=1‎．‎ ‎（2）设P(m, n)(mn≠0)‎在x‎2‎‎+y‎2‎=2‎上，‎ 圆在点P(m, n)‎处的切线方程为y-n=-mn(x-m)‎，‎ 化简得mx+ny=2‎．‎ x‎2‎‎-y‎2‎‎2‎=1‎mx+ny=2‎以及m‎2‎‎+n‎2‎=2‎得 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 ‎(3m‎2‎-4)x‎2‎-4mx+8-2m‎2‎=0‎‎，‎ ‎∵ 切L与双曲线C交于不同的两点A、B，且‎00‎，‎ 设A、B两点的坐标分别‎(x‎1‎, y‎1‎)‎，‎(x‎2‎, y‎2‎)‎，‎ x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎4m‎3m‎2‎-4‎‎，x‎1‎x‎2‎‎=‎‎8-2‎m‎2‎‎3m‎2‎-4‎．‎ ‎∵ cos∠AOB=‎‎|OA‎→‎|⋅|OB‎→‎|‎‎˙‎，‎ 且OA‎→‎‎⋅OB‎→‎=x‎1‎x‎2‎+y‎1‎y‎2‎=x‎1‎x‎2‎+‎1‎y‎0‎‎2‎(2-x‎0‎x‎1‎)(2-x‎0‎x‎2‎)‎ ‎=x‎1‎x‎2‎+‎1‎‎2-‎m‎2‎[4-2m(x‎1‎+x‎2‎)+m‎2‎x‎1‎x‎2‎]‎ ‎=‎8-2‎m‎2‎‎3m‎2‎-4‎+‎1‎‎2-‎m‎2‎[4-‎8‎m‎2‎‎3m‎2‎-4‎+m‎2‎‎(8-2m‎2‎)‎‎3m‎2‎-4‎]‎ ‎=‎8-2‎m‎2‎‎3m‎2‎-4‎-‎8-2‎m‎2‎‎3m‎2‎-4‎=0‎‎．‎ ‎∴ ‎∠AOB的大小为‎90‎‎0‎．‎ ‎20.解：（1）由于‎3×‎与均不属于数集‎{1‎，‎3‎，‎4‎，‎ ‎∴ 该数集不具有性质P．‎ 由于‎1×2‎，‎1×3‎，‎1×6‎，‎2×3‎，‎6‎‎2‎，‎6‎‎3‎，‎1‎‎1‎，‎2‎‎2‎，‎3‎‎3‎，都属于数集‎{1‎，‎2‎，‎3‎，‎6‎，‎ ‎∴ 该数集具有性质P．‎ ‎（2）∵ A={a‎1‎, a‎2‎, ..., an}‎具有性质P，‎ ‎∴ anan与anan中至少有一个属于A，‎ 由于‎1≤a‎1‎‎an 故anan‎∉A．‎ 从而‎1=anan∈A，a‎1‎‎=1‎．‎ ‎∵ ‎1=a‎1‎an(k=2, 3, 4‎,…,n)‎，‎ 故akan‎∉A(k=2, 3, 4‎,…,n)‎．‎ 由A具有性质P可知anak‎∈A(k=2, 3, 4‎,…,n)‎．‎ 又∵ anan‎a‎2‎a‎4‎=‎a‎5‎，∴ a‎3‎a‎4‎‎∉A，‎ 由A具有性质P可知a‎4‎a‎3‎‎∈A．‎ 由a‎2‎‎⋅a‎4‎=‎a‎3‎‎2‎，得a‎3‎a‎2‎‎=a‎4‎a‎3‎∈A，‎ 且‎1‎an 故anan‎∉A．‎ 第17页 共20页 ◎ 第18页 共20页 从而‎1=anan∈A，a‎1‎‎=1‎．‎ ‎∵ ‎1=a‎1‎an(k=2, 3, 4‎,…,n)‎，‎ 故akan‎∉A(k=2, 3, 4‎,…,n)‎．‎ 由A具有性质P可知anak‎∈A(k=2, 3, 4‎,…,n)‎．‎ 又∵ anan‎a‎2‎a‎4‎=‎a‎5‎，∴ a‎3‎a‎4‎‎∉A，‎ 由A具有性质P可知a‎4‎a‎3‎‎∈A．‎ 由a‎2‎‎⋅a‎4‎=‎a‎3‎‎2‎，得a‎3‎a‎2‎‎=a‎4‎a‎3‎∈A，‎ 且‎1