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  • 2021-06-15 发布

2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2

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2.2 基本不等式 第 2 课时 基本不等式的应用 关键能力 · 合作学习 类型一 利用基本不等式求两个变量的最值问题 ( 数学抽象、逻辑推理 )  角度 1  常数代换法  【 典例 】 已知 a>0 , b>0 , a+b=1 ,则 的最小值为 _______.  【 思路导引 】 把“ 1” 代换为“ a+b”( 或者在 上乘以 (a+b) ,构造成基本不等式的原型,进而求出最小值 . 【 解析 】 因为 a>0 , b>0 , a+b=1 ,所以 即 的最小值为 4 ,当且仅当 a=b= 时等号成立 . 答案: 4 【 变式探究 】 (1) 本例的条件和结论互换即:已知 a>0 , b>0 , =4 ,则 a+b 的最小值为 _______.  【 解析 】 由 =4 ,得 =1. 所以 a+b= (a+b)= 当且仅当 a=b= 时取等号 . 答案: 1 (2) 若本例条件变为:已知 a>0 , b>0 , a+2b=3 ,则 的最小值为 _______.  【 解析 】 由 a+2b=3 得 所以 当且仅当 a=2b= 时,取等号 . 答案: 角度 2  消元法  【 典例 】 已知 a>0 , b>0 ,且 2a+b=ab-1 ,则 a+2b 的最小值为 _______.  【 思路导引 】 先把 2a+b=ab-1 变形为用 b 表示 a 的形式,再把 a+2b 中的 a 消去,配凑成能利用基本不等式求解的式子 . 【 解析 】 由 2a+b=ab-1 ,得 a= , 因为 a>0 , b>0 ,所以 a= >0 , b+1>0 ,所以 b>2 , 所以 a+2b= +2b= +2(b-2)+4 =2(b-2)+ +5≥ 当且仅当 2(b-2)= ,即 b=2+ 时等号成立 . 答案: 5+2 【 解题策略 】 1. 常数代换法求最值的方法步骤 常数代换法适用于求解条件最值问题 . 应用此种方法求解最值的基本步骤为: (1) 根据已知条件或其变形确定定值 ( 常数 ). (2) 把确定的定值 ( 常数 ) 变形为 1. (3) 把“ 1” 的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式 . (4) 利用基本不等式求解最值 . 2. 含有多个变量的条件最值问题的解决方法 对含有多个变量的条件最值问题,若无法直接利用基本不等式求解,可尝试减少变量的个数,即用其中一个变量表示另一个,再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题 . 【 题组训练 】 1. 已知 a>0 , b>0 , a+b=2 ,则 y= 的最小值是 (    ) A. B.4 C. D.5 【 解析 】 选 C. 依题意,得 ·(a+b) 当且仅当 即 a= , b= 时取等号,即 的最小值是 . 2. 若正数 x , y 满足 x+3y=5xy ,则 3x+4y 的最小值是 (    )                    A. B. C.5 D.6 【 解析 】 选 C. 由 x+3y=5xy , 可得 =1 , 所以 3x+4y=(3x+4y)· = =5 ,当且仅当 x=1 , y= 时取等号,故 3x+4y 的最小值是 5. 【 补偿训练 】 若正数 x , y 满足 x 2 +3xy-1=0 ,则 x+y 的最小值是 (    )                    【 解析 】 选 B. 对于 x 2 +3xy-1=0 可得 y= 所以 x+y= ( 当且仅当 = ,即 x= 时等号成立 ). 类型二 利用基本不等式证明不等式 ( 逻辑推理 ) 【 典例 】 已知 a , b , c 为正实数,且 a+b+c=1 ,求证: ≥ 8. 四步 内容 理解 题意 条件: ① a , b , c 为正实数, ② a+b+c=1 结论: ≥ 8. 思路 探求 结合已知条件把不等式左边三部分分别运用基本不等式,再相乘即可得到不等式右边 . 【 解题策略 】 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1) 策略:从已证不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后转化为所求问题,其特征是以“已知”看“可知”,逐步推向“未知” . (2) 注意事项: ①多次使用基本不等式时,要注意等号能否成立; ②利用同向不等式相加或相乘时要注意不等式成立的前提条件; ③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型再使用 . 【 跟踪训练 】 设 a , b , c 都为正数, 求证: ≥ a+b+c. 【 证明 】 因为 a , b , c∈R + , 所以 ∈ R + , 所以 ≥ 2c , ≥ 2a , ≥ 2b , 所以 2 ≥2(a+b+c) , 所以 ≥ a+b+c , 当且仅当 ,即 a=b=c 时取等号 . 类型三 基本不等式的实际应用 ( 数学建模 ) 【 典例 】 如图,动物园要围相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成 . (1) 现有可围 36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大? (2) 要使每间虎笼面积为 24 m 2 ,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小? 【 思路导引 】 若 a>0 , b>0 , (1) 已知 a+b 为定值,可以求 ab 的最大值; (2) 已知 ab 为定值,可以求 a+b 的最小值 . 【 解析 】 设每间虎笼长 x m ,宽 y m ,则由条件知: 4x+6y=36 ,即 2x+3y=18. 设每间虎笼面积为 S ,则 S=xy. (1) 方法一:由于 2x+3y≥ 所以 2 ≤18 ,得 xy≤ , 即 S≤ ,当且仅当 2x=3y 时,等号成立 . 由 解得 故每间虎笼长 4.5 m ,宽 3 m 时,可使面积最大 . 方法二 :由 2x+3y=18 ,得 x=9- y. 因为 x>0 ,所以 9- y>0 ,所以 00 , 所以 S≤ 当且仅当 6-y=y ,即 y=3 时,等号成立,此时 x=4.5. 故每间虎笼长 4.5 m ,宽 3 m 时,可使面积最大 . (2) 由条件知 S=xy=24. 设钢筋网总长为 l ,则 l=4x+6y. 方法一:因为 2x+3y≥ =24 , 所以 l=4x+6y=2(2x+3y)≥48. 当且仅当 2x=3y 时,等号成立 . 由 ,解得 故每间虎笼长 6 m ,宽 4 m 时,可使钢筋网总长最小 . 方法二:由 xy=24 ,得 x= . 所以 l=4x+6y= 当且仅当 =y ,即 y=4 时,等号成立,此时 x=6. 故每间虎笼长 6 m ,宽 4 m 时,可使钢筋网总长最小 . 【 解题策略 】 应用基本不等式解决实际问题的方法 (1) 先理解题意,设出变量,一般把要求最值的量定为函数; (2) 建立相应的函数关系,把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题; (3) 在定义域内,求出函数的最大值或最小值,正确写出答案 . 【 跟踪训练 】 某镇计划建造一个室内面积为 800 m 2 的矩形蔬菜温室 . 在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地 . 当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少? 【 解析 】 设矩形温室的左侧边长为 a m ,后侧边长为 b m ,蔬菜的种植面积为 S m 2 ,则 ab=800. 所以 S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8=808-2(a+2b)≤808-4 =648 ,当且仅当 a=2b ,即 a=40 , b=20 时等号成立,则 S 最大值 =648. 答:当矩形温室的左侧边长为 40 m ,后侧边长为 20 m 时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积为 648 m 2 . 课堂检测 · 素养达标 1. 若 a>0 , b>0 ,且 a+b=4 ,则下列不等式恒成立的是 (    ) 【 解析 】 选 D.4=a+b≥2 ( 当且仅当 a=b 时,等号成立 ) ,即 ≤ 2 , ab≤4 , ≥ , A , C 不成立; = = ≥1 , B 不成立; a 2 +b 2 =(a+b) 2 -2ab=16-2ab≥8. 2. 若 x>0 , y>0 ,且 =1 ,则 xy 有 (    ) A. 最大值 64 B. 最小值 C. 最小值 D. 最小值 64 【 解析 】 选 D. 由题意,得 xy= xy=2y+8x≥ 所以 ≥ 8 , 即 xy 有最小值 64 ,等号成立的条件是 x=4 , y=16. 3. 设 02>0 , 所以 y= ≤ = =4 , 当且仅当 3x=8-3x ,即 x= 时,取等号 . 所以当 x= 时, y= 有最大值 4. 答案: 4 4. 已知 x>0 , y>0 ,且 =1 ,则 x+y 的最小值为 _______.  【 解析 】 因为 x>0 , y>0 , =1 , 所以 x+y= (x+y)= +10≥6+10=16 , 当且仅当 = ,即 x=4 , y=12 时,上式取等号 . 故当 x=4 , y=12 时, (x+y) min =16. 答案: 16 5. 某游泳馆出售冬季游泳卡,每张 240 元,其使用规定:不记名,每卡每次只限一人,每天只限一次 . 某班有 48 名同学,老师打算组织同学们集体去游泳,除需购买若干张游泳卡外,每次游泳还需包一辆汽车,无论乘坐多少名同学,每次的包车费均为 40 元 . 若使每名同学游 8 次,每人最少应交多少元钱? 【 解析 】 设买 x 张游泳卡,总开支为 y 元,则每批去 x 名同学,共需去 批,总开支又分为:①买卡所需费用 240x ,②包车所需费用 ×40. 所以 y=240x+ ×40(0