高考数学一轮复习第七章算法、复数、推理与证明7-4直接证明与间接证明、数学归纳法练习理北师大版 11页

‎7.4 直接证明与间接证明、数学归纳法 核心考点·精准研析 考点一　反证法的应用 ‎ ‎1.用反证法证明命题:‎ ‎“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为 (　　)‎ A.a,b,c,d至少有一个正数 B.a,b,c,d全为正数 C.a,b,c,d全都大于等于0‎ D.a,b,c,d中至多有一个负数 ‎2.对于命题:“若ab=0(a,b∈R),则a=0或b=0”,若用反证法证明该命题,下列假设正确的是 (　　)‎ A.假设a,b都不为0‎ B.假设a,b至少有一个不为0‎ C.假设a,b都为0‎ D.假设a,b中至多有一个为0‎ ‎3.若数列{an}是各项均为正数的等比数列,公比q≠1,‎ 求证:1-an,1-an+1,1-an+2不可能成等比数列.‎ ‎【解析】1.选C.用反证法证明命题:‎ ‎“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为a,b,c,d全都大于等于0.‎ ‎2.选A.用反证法证明命题 ‎“若ab=0(a,b∈R),则a=0或b=0”时,‎ 假设正确的是:假设a,b都不为0.‎ ‎3.假设1-an,1-an+1,1-an+2成等比数列,‎ 则(1-an+1)2=(1-an)(1-an+2),‎ 即1-2an+1+=1+anan+2-(an+an+2),‎ 因为数列{an}是等比数列,所以=anan+2,‎ 所以2an+1=an+an+2,所以数列{an}是等差数列,‎ - 11 -‎ 所以数列{an}是常数列,这与已知相矛盾,‎ 故假设不成立,‎ 所以1-an,1-an+1,1-an+2不可能成等比数列.‎ ‎　用反证法证明数学命题需把握的三点 ‎(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面.‎ ‎(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证.‎ ‎(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,但是推导出的矛盾必须是明显的.‎ 考点二　分析法的应用 ‎ ‎【典例】1.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:0;②a-c>0;③(a-b)(a-c)>0;④(a-b)(a-c)<0.‎ ‎2.已知数列{an}是各项都是互不相等的正数的等差数列,‎ 求证:+<2. ‎ ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎1‎ 由a+b+c=0,‎ 想到 b=-a-c 由b>c,且a+b+c=0可得 b=-a-c,要证“0,‎ 即证2a2-c2-ac>0,(a-c)(a+a+c)>0,‎ 即证(a-c)(a-b)>0,‎ 故“0.‎ 答案:③‎ ‎2.要证+<2,‎ - 11 -‎ 只要证a1+a3+2<4a2,‎ 因为数列{an}是等差数列,所以a1+a3=2a2,‎ 只要证0,且an≠2,故an+1=,‎ 所以=‎ ‎=‎ ‎=,‎ 显然an>0,+2>3,所以<<1,‎ 数列{|an-2|}为单调递减数列.‎ 本例中的分式是怎样进行变形的?‎ 提示:利用分子有理化进行变形的.‎ - 11 -‎ 与函数有关的证明 ‎【典例】已知函数f(x)=+aln x-2,g(x)=+x2+x. ‎ ‎ (1)讨论函数f(x)在定义域上的单调性.‎ ‎(2)当a=3时,求证:f(x)≤g(x)恒成立.‎ ‎【解析】(1)f′(x)=(x>0),‎ 当a≤0时,f′(x)<0,在递减,‎ 当a>0时,x∈时,f′(x)<0,‎ x∈时,f′(x)>0,‎ 故f(x)在递减,在递增.‎ ‎(2)当a=3时,f(x)=+3ln x-2,‎ 令h(x)=g(x)-f(x)=x2+x-3ln x+2,‎ 则h′(x)=(x>0),‎ 令h′(x)>0,解得:x>1,‎ 令h′(x)<0,解得:0,所以f(x)>.‎ 综上,-;‎ 又计算:-2≈0.236,-≈0.213,-≈0.196,‎ 所以-2>-,->-.‎ ‎(1)分析以上结论,试写出一个一般性的命题.‎ ‎(2)判断该命题的真假,并给出证明.‎ ‎【解析】(1)一般性的命题:n是正整数,‎ 则->-.‎ ‎(2)命题是真命题.因为-=,‎ ‎-=,‎ ‎>,‎ 所以->-.‎ 考点四　数学归纳法的应用 ‎ ‎【典例】(2019·福州模拟)设i为虚数单位,θ∈[0,2π).‎ 已知(cos θ+isin θ)2=cos 2θ+isin 2θ,‎ ‎(cos θ+isin θ)3=cos 3θ+isin 3θ,‎ ‎(cos θ+isin θ)4=cos 4θ+isin 4θ.‎ ‎(1)你能得到什么一般性的猜想?请用数学归纳法证明猜想.‎ ‎(2)已知z=+i,试利用(1)的结论求z10. ‎ ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎(1)‎ ‎①猜想结论 利用已知的式子观察、猜想 ‎②数学归纳法证明 按照数学归纳法证明的步骤证明 ‎(2)‎ 求z10‎ 将z化为三角形式代入计算 ‎【解析】(1)猜想:(cos θ+isin θ)n=cos nθ+isin nθ(n∈N*)成立.‎ 证明:①当n=1时,左边=右边=cos θ+isin θ,所以猜想成立;‎ - 11 -‎ ‎②假设当n=k(k∈N*)时,(cos θ+isin θ)k=cos kθ+isin kθ成立,‎ 则当n=k+1时,(cos θ+isin θ)k+1=(cos θ+isin θ)k(cosθ+isin θ)‎ ‎=(cos kθ+isin kθ)(cosθ+isin θ)‎ ‎=(cos kθcos θ-sin kθsin θ)+i(sin kθcosθ+coskθsin θ)‎ ‎=cos(k+1)θ+isin(k+1)θ,‎ 当 n=k+1时,猜想也成立;‎ 综上,由①②可得对任意n∈N*,猜想成立.‎ ‎(2)z=+i=2=2,‎ 可得z10=210‎ ‎=1 024=1 024‎ ‎=512-512i.‎ ‎　关于数学归纳法的应用 ‎(1)涉及与正整数有关的命题,才可以考虑利用数学归纳法进行证明.‎ ‎(2)利用数学归纳法证明的关键是证明从k到k+1时仍然成立,一是先要弄清n=k时式子的结构特征,再要弄清n=k+1时式子结构、项的变化,二是证明n=k+1时要充分利用假设,即n=k时的结论.‎ ‎(2019·黄山模拟)已知函数f1(x)=sin ,x∈R,记fn+1(x)为fn(x)的导数,n∈N*.‎ ‎(1)求f2(x),f3(x).‎ ‎(2)猜想fn(x),n∈N*的表达式,并证明你的猜想.‎ ‎【解析】(1)f2(x)=f1′(x)=cos ,‎ f3(x)=-sin =-sin.‎ - 11 -‎ ‎(2)猜想:fn(x)=sin,n∈N*.‎ 下面用数学归纳法证明:‎ ‎①当n=1时,结论成立;‎ ‎②假设n=k(k∈N*)时,结论成立,‎ 即fk(x)=sin.‎ 当n=k+1时,fk+1(x)=fk′(x)‎ ‎=cos=sin .‎ 所以当n=k+1时,结论成立.所以由①②可知对任意的n∈N*结论成立.‎ - 11 -‎