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  • 2021-06-15 发布

高中数学必修4:1_3_1三角函数的诱导公式(一)(教、学案)

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‎1. 3.1‎三角函数的诱导公式(一)‎ 一、教学目标:‎ ‎1.借助单位圆,推导出正弦、余弦和正切的诱导公式,能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题 ‎2.通过公式的应用,了解未知到已知、复杂到简单的转化过程,培养学生的化归思想,以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。‎ 二、重点与难点:‎ 重点:四组诱导公式的记忆、理解、运用。‎ 难点:四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断;‎ 三、学法与教学用具:‎ ‎(1)、与学生共同探讨,应用数学解决现实问题;‎ ‎(2)、通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯.‎ 四、教学过程:‎ 创设情境:我们知道,任一角都可以转化为终边在内的角,如何进一步求出它的三角函数值?‎ 我们对范围内的角的三角函数值是熟悉的,那么若能把内的角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值,则问题将得到解决,这就是数学化归思想 研探新知 ‎1. 诱导公式的推导 由三角函数定义可以知道:终边相同的角的同一三角函数值相等,即有公式一:‎ ‎ (公式一)‎ 诱导公式(一)的作用:把任意角的正弦、余弦、正切化为之间角的正弦、余弦、正切。‎ ‎【注意】:运用公式时,注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用,如写成 ‎,是不对的 ‎【讨论】:利用诱导公式(一),将任意范围内的角的三角函数值转化到角后,又如何将角间的角转化到角呢?‎ ‎ 除此之外还有一些角,它们的终边具有某种特殊关系,如关于坐标轴对称、关于原点对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢?‎ ‎ 若角的终边与角的终边关于轴对称,那么与的三角函数值之间有什么关系?特别地,角与角的终边关于轴对称,由单位圆性质可以推得:‎ ‎ (公式二)‎ 特别地,角与角的终边关于轴对称,故有 ‎ (公式三)‎ 特别地,角与角的终边关于原点对称,故有 ‎ (公式四)‎ 所以,我们只需研究的同名三角函数的关系即研究了的关系了。‎ ‎【说明】:①公式中的指任意角;②在角度制和弧度制下,公式都成立;‎ ‎③记忆方法: “函数名不变,符号看象限”;‎ ‎【方法小结】:用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,其一般方向是:‎ ‎①化负角的三角函数为正角的三角函数;‎ ‎②化为内的三角函数;‎ ‎③化为锐角的三角函数。‎ 可概括为:“负化正,大化小,化到锐角为终了”(有时也直接化到锐角求值)。‎ ‎2、例题分析:‎ 例1 求下列三角函数值:(1); (2).‎ 分析:先将不是范围内角的三角函数,转化为范围内的角的三角 函数(利用诱导公式一)或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到范围内 角的三角函数的值。‎ 解:(1)(诱导公式一)‎ ‎(诱导公式二)‎ ‎.‎ ‎(2)(诱导公式三)‎ ‎(诱导公式一)‎ ‎(诱导公式二)‎ ‎.‎ 方法小结:用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,其一般步骤是:‎ ‎①化负角的三角函数为正角的三角函数;‎ ‎②化为内的三角函数;‎ ‎③化为锐角的三角函数。‎ 可概括为:“负化正,大化小,化到锐角为终了”(有时也直接化到锐角求值)。‎ 例2 化简.‎ 解:原式 ‎.‎ ‎3 课堂练习:‎ ‎(1).若,则的取值集合为 ( )‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎(2).已知那么 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎(3).设角的值等于 ( )‎ ‎ A. B.- C. D.-‎ ‎(4).当时,的值为 ( )‎ ‎ A.-1 B.‎1 ‎C.±1 D.与取值有关 ‎(5).设为常数),且 ‎ 那么 A.1 B.‎3 C.5 D.7 ( )‎ ‎(6).已知则 . ‎ ‎4、课堂练习答案:‎ ‎(1)、D (2)、C (3)、C (4)、A (5)、C (6)、 2‎ ‎5、作业:根据情况安排 ‎6 板书设计:‎ ‎ 三角函数的诱导公式(一)‎ 基本概念: 例1 课堂练习 ‎ 例2 ‎ ‎1.3.1三角函数的诱导公式(一)‎ 课前预习学案 预习目标:‎ 回顾记忆各特殊锐角三角函数值,在单位圆中正确识别三种三角函数线。‎ 预习内容:‎ ‎1、背诵30度、45度、60度角的正弦、余弦、正切值;‎ ‎2、在平面直角坐标系中做出单位圆,并分别找出任意角的正弦线、余弦线、正切线。‎ 提出疑惑:‎ 我们知道,任一角都可以转化为终边在内的角,如何进一步求出它的三角函数值?‎ 我们对范围内的角的三角函数值是熟悉的,那么若能把内的角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值,则问题将得到解决。那么如何实现这种转化呢?‎ 课内探究学案 一、学习目标:‎ ‎(1).借助单位圆,推导出正弦、余弦和正切的诱导公式,能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,并解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题 ‎(2).通过公式的应用,了解未知到已知、复杂到简单的转化过程,培养学生的化归思想,以及信息加工能力、运算推理能力、分析问题和解决问题的能力。‎ 二、重点与难点:‎ 重点:四组诱导公式的记忆、理解、运用。‎ 难点:四组诱导公式的推导、记忆及符号的判断;‎ 三、学习过程:‎ ‎(一)研探新知 ‎1. 诱导公式的推导 由三角函数定义可以知道:终边相同的角的同一三角函数值相等,即有公式一:‎ ‎ (公式一)‎ 诱导公式(一)的作用:把任意角的正弦、余弦、正切化为之间角的正弦、余弦、正切。‎ ‎【注意】:运用公式时,注意“弧度”与“度”两种度量制不要混用,如写成 ‎,是不对的 ‎【讨论】:利用诱导公式(一),将任意范围内的角的三角函数值转化到角后,又如何将角间的角转化到角呢?‎ ‎ 除此之外还有一些角,它们的终边具有某种特殊关系,如关于坐标轴对称、关于原点对称等。那么它们的三角函数值有何关系呢?‎ ‎ 若角的终边与角的终边关于轴对称,那么与的三角函数值之间有什么关系?特别地,角与角的终边关于轴对称,由单位圆性质可以推得:‎ ‎ (公式二)‎ 特别地,角与角的终边关于轴对称,故有 ‎ (公式三)‎ 特别地,角与角的终边关于原点对称,故有 ‎ (公式四)‎ 所以,我们只需研究的同名三角函数的关系即研究了的关系了。‎ ‎【说明】:①公式中的指任意角;②在角度制和弧度制下,公式都成立;‎ ‎③记忆方法: “函数名不变,符号看象限”;‎ ‎【方法小结】:用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,其一般方向是:‎ ‎① ;‎ ‎② ;‎ ‎③ 。‎ 可概括为:“ ”(有时也直接化到锐角求值)。‎ ‎(二)、例题分析:‎ 例1 求下列三角函数值:(1); (2).‎ 分析:先将不是范围内角的三角函数,转化为范围内的角的三角 函数(利用诱导公式一)或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到范围内 角的三角函数的值。‎ 例2 化简.‎ ‎(三) 课堂练习:‎ ‎(1).若,则的取值集合为 ( )‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎(2).已知那么 ( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎(3).设角的值等于 ( )‎ ‎ A. B.- C. D.-‎ ‎(4).当时,的值为 ( )‎ ‎ A.-1 B.‎1 ‎C.±1 D.与取值有关 ‎(5).设为常数),且 ‎ 那么 A.1 B.‎3 C.5 D.7 ( )‎ ‎(6).已知则 . ‎ 课后练习与提高 一、选择题 ‎ ‎1.已知,则值为( )‎ A. B. — C. D. —‎ ‎2.cos (+α)= —,<α<,sin(-α) 值为( ) ‎ A. B. C. D. —‎ ‎3.化简:得( )‎ A. B. C. D.±‎ ‎4.已知,,那么的值是( ) ‎ A B C D ‎ 二、填空题 ‎5.如果且那么的终边在第 象限 ‎6.求值:2sin(-1110º) -sin960º+=      .‎ 三、解答题 ‎7.设,求的值.‎ ‎8.已知方程sin(a - 3p) = 2cos(a - 4p),求的值。‎ ‎∴  ==‎ ‎8.解: ∵sin(a - 3p) = 2cos(a - 4p) ‎ ‎∴- sin(3p - a) = 2cos(4p - a)‎ ‎∴- sin(p - a) = 2cos(- a) ‎ ‎∴sina = - 2cosa 且cosa ¹ 0‎ ‎∴ ‎