高中数学必修4教案：1_备课资料（3_1_1 两角差的余弦公式） 2页

备课资料 一、当α、β为锐角时,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ的向量证明方法.‎ 图3‎ 证明:如图3所示,在直角坐标系中作单位圆O,并作角α与-β,设角α的终边与单位圆交于点P1,-β角的终边与单位圆交于点P2,则 ‎=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ),‎ 与的夹角为α+β,‎ ‎∵·=|1|||cos(α+β),‎ cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=1·1·cos(α+β),‎ cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.‎ 二、备用习题 ‎1.(2006上海八校联考) 若-<α<β<,则α-β一定不属于的区间是( )‎ A.(-π,π) B.(,) C.(-π,0) D.(0,π)‎ ‎2.不查表求值:‎ ‎(1)sin80°cos55°+cos80°cos35°;‎ ‎(2)cos80°cos20°+sin100°sin380°.‎ ‎3.已知sinθ=,θ∈(,π),求cos(θ-)的值.‎ ‎4.已知sinα=,α∈(,π),cosβ=,β∈(π, ),求cos(α-β)的值.‎ ‎5.已知sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,求证:cos(α-γ)=.‎ 参考答案:‎ ‎1.D ‎2.(1)原式=sin80°sin35°+cos80°cos35°=cos(80°-35°)=cos45°=.‎ ‎(2)原式=cos80°cos20°+sin80°sin20°=cos(80°-20°)=cos60°=.‎ ‎3.解:∵sinθ=,θ∈(,π),‎ ‎∴cosθ=‎ ‎∴cos(θ-)=cosθcos+sinθsin ‎=‎ ‎=.‎ ‎4.解:∵sinα=,α∈(,π),‎ ‎∴cosα=‎ ‎∵cosβ=,β∈(π,),‎ ‎∴sinβ=.‎ cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ ‎=‎ ‎=‎ ‎5.证明:∵sinα+sinβ+sinγ=0,‎ ‎∴sinα+sinγ=-sinβ. ①‎ ‎∵cosα+cosβ+cosγ=0,‎ ‎∴cosα+cosγ=-cosβ. ②‎ ‎①2+②2,得 sin2α+cos2α+sin2γ+cos2γ+2cosαcosγ+2sinαsinγ=sin2β+cos2β.‎ ‎∴2(cosαcosγ+sinαsinγ)=-1,‎ 即cos(α-γ)=.‎ ‎(设计者：仇玉法)‎