2018年上海市青浦区高考数学一模试卷 19页

‎2018年上海市青浦区高考数学一模试卷 ‎　‎ 一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.‎ ‎1．（4分）设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P∩CUM　 　．‎ ‎2．（4分）已知复数（i为虚数单位），则=　 　．‎ ‎3．（4分）不等式2＞（）3（x﹣1）的解集为　 　．‎ ‎4．（4分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最大值为　 　．‎ ‎5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过椭圆x2+=1右顶点的双曲线的方程是　 　．‎ ‎6．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为　 　．‎ ‎7．（5分）设等差数列{an}的公差d不为0，a1=9d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k=　 　．‎ ‎8．（5分）已知（1+2x）6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则=　 　．‎ ‎9．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为　 　．‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是　 　．‎ ‎11．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量，，，满足=（an﹣1+an+1）+（1﹣an），n≥2，n∈N*，若A，B，C在同一直线上，则S2018=　 　．‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）和g（x）=3x﹣3同时满足以下两个条件：‎ ‎①对任意实数x都有f（x）＜0或g（x）＜0；‎ ‎②总存在x0∈（﹣∞，﹣2），使f（x0）g（x0）＜0成立．‎ 则m的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎13．（5分）“a＞b”是“（）2＞ab”成立的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎14．（5分）已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值是（　　）‎ A．π B．2π C．2 D．4‎ ‎15．（5分）已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（　　）‎ A．θn随着n的增大而增大 B．θn随着n的增大而减小 C．随着n的增大，θn先增大后减小 D．随着n的增大，θn先减小后增大 ‎16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，﹣1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（　　）‎ A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个 ‎　‎ 三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点．‎ ‎（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；‎ ‎（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）．‎ ‎18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．‎ ‎（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（2）求证：A为线段BM的中点．‎ ‎19．（14分）如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2千米处．‎ ‎（1）保安甲沿CA从值班室出发行至点P处，此时PC=1，求PB的距离；‎ ‎（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？‎ ‎20．（16分）设集合A，B均为实数集R的子集，记A+B={a+b|a∈A，b∈B}．‎ ‎（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；‎ ‎（2）设a1=，当n∈N*且n≥2时，曲线+=的焦距为an，如果A={a1，a2，…，an}，B={﹣，﹣，﹣}，设A+B中的所有元素之和为Sn，求Sn的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn﹣λSk＞0恒成立，求实数λ的最大值．‎ ‎21．（18分）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：‎ ‎①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．‎ ‎（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；‎ ‎（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”‎ ‎（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a的值．‎ ‎　‎ ‎2018年上海市青浦区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分.‎ ‎1．（4分）设全集U=Z，集合M={1，2}，P={﹣2，﹣1，0，1，2}，则P∩CUM　{﹣2，﹣1，0}　．‎ ‎【解答】解：CUM={﹣2，﹣1，0}，故P∩CUM={﹣2，﹣1，0}‎ 故答案为：{﹣2，﹣1，0}‎ ‎　‎ ‎2．（4分）已知复数（i为虚数单位），则=　　．‎ ‎【解答】解：复数==，‎ ‎∴=，‎ ‎∴=•==，‎ 故答案为 ．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）不等式2＞（）3（x﹣1）的解集为　（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）　．‎ ‎【解答】解：不等式2＞（）3（x﹣1）化为 ‎2＞23﹣3x，‎ 即x2﹣4x﹣3＞3﹣3x，‎ ‎∴x2﹣x﹣6＞0，‎ 解得x＜﹣2或x＞3，‎ ‎∴原不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．‎ 故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（3，+∞）．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）函数f（x）=sinxcosx+cos2x的最大值为　　．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=sinxcosx+cos2x ‎=sin2x+cos2x+‎ ‎=sin（2x+）+，‎ 当2x+=2kπ+，k∈Z，‎ 即x=kπ+，k∈Z，函数取得最大值1+=，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过椭圆x2+=1右顶点的双曲线的方程是　x2﹣=1　．‎ ‎【解答】解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为x2﹣=λ（λ≠0），‎ ‎∵双曲线椭圆x2+=1右顶点（1，0），‎ ‎∴1=λ，‎ ‎∴双曲线方程为：x2﹣=1．‎ 故答案为：x2﹣=1．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为　‎ ‎　．‎ ‎【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，∴r=1．‎ ‎∴圆锥的高h=．‎ ‎∴圆锥的体积V==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）设等差数列{an}的公差d不为0，a1=9d．若ak是a1与a2k的等比中项，则k=　4　．‎ ‎【解答】解：因为ak是a1与a2k的等比中项，‎ 则ak2=a1a2k，[9d+（k﹣1）d]2=9d•[9d+（2k﹣1）d]，‎ 又d≠0，则k2﹣2k﹣8=0，k=4或k=﹣2（舍去）．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知（1+2x）6展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值为b，则=　12　．‎ ‎【解答】解：由题意可得a==20，‎ 再根据，‎ 解得，‎ 即≤r≤，‎ ‎∴r=4，此时b=×24=240；‎ ‎∴==12．‎ 故答案为：12．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为　　．‎ ‎【解答】解：同时掷两枚质地均匀的骰子，‎ 基本事件总数n=6×6=36，‎ 两个点数之积小于4包含的基本事件（a，b）有：‎ ‎（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），共5个，‎ ‎∴两个点数之积不小于4的概率为p=1﹣=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知函数f（x）=有三个不同的零点，则实数a的取值范围是　[1，+∞）　．‎ ‎【解答】解：由题意可知：函数图象的左半部分为单调递增对数函数的部分，‎ 函数图象的右半部分为开口向上的抛物线，对称轴为x=，最多两个零点，‎ 如上图，要满足题意，必须指数函数的部分向下平移到与x轴相交，‎ 由对数函数过点（1，0），故需左移至少1个单位，故a≥1，‎ 还需保证抛物线与x轴由两个交点，故最低点＜0，‎ 解得a＜0或a＞，综合可得：a≥1，‎ 故答案为：[1，+∞）．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=a2=1，平面内三个不共线的向量，，，满足=（an﹣1+an+1）+（1﹣an），n≥2，n∈N*，若A，B，C在同一直线上，则S2018=　2　．‎ ‎【解答】解：若A，B，C三点共线，则=x+（1﹣x），∴根据条件“平面内三个不共线的向量，，，满足=（an﹣1+an+1）+（1﹣an），n≥2，n∈N*，A，B，C在同一直线上，”‎ 得出an﹣1+an+1+1﹣an=1，∴an﹣1+an+1=an，‎ ‎∵Sn为数列{an}的前n项和，a1=a2=1，‎ ‎∴数列{an}为：1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，…‎ 即数列{an}是以6为周期的周期数列，前6项为1，1，0，﹣1，﹣1，0，‎ ‎∵2018=6×336+2，‎ ‎∴S2018=336×（1+1+0﹣1﹣1+0）+1+1=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知函数f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）和g（x）=3x﹣3同时满足以下两个条件：‎ ‎①对任意实数x都有f（x）＜0或g（x）＜0；‎ ‎②总存在x0∈（﹣∞，﹣2），使f（x0）g（x0）＜0成立．‎ 则m的取值范围是　（﹣3，﹣2）　．‎ ‎【解答】解：对于①∵g（x）=3x﹣3，当x＜1时，g（x）＜0，‎ 又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0‎ ‎∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＜0在x≥1时恒成立 则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面，‎ 即，可得﹣3＜m＜0‎ 又∵②x∈（﹣∞，﹣2），f（x）g（x）＜0‎ ‎∴此时g（x）=3x﹣3＜0恒成立 ‎∴f（x）=m（x﹣m）（x+m+2）＞0在x∈（﹣∞，﹣2）有成立的可能，‎ 则只要﹣2比x1，x2中的较小的根大即可，‎ ‎（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣2，﹣m﹣2＞﹣2不成立，‎ ‎（ii）当m=﹣1时，两个根同为﹣1＞﹣3，不成立，‎ ‎（iii）当﹣3＜m＜﹣1时，较小的根为m，即m＜﹣2成立．‎ 综上可得①②成立时﹣3＜m＜﹣2．‎ 故答案为：（﹣3，﹣2）．‎ ‎　‎ 二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.‎ ‎13．（5分）“a＞b”是“（）2＞ab”成立的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎【解答】解：由（）2＞ab得＞ab，‎ 即a2+2ab+b2＞4ab，‎ 则a2﹣2ab+b2＞0，‎ 即（a﹣b）2＞0，则a≠b，‎ 则“a＞b”是“（）2＞ab”成立的充分不必要条件，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值是（　　）‎ A．π B．2π C．2 D．4‎ ‎【解答】解：对于函数f（x）=2sin（x+），若对任意实数x，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），‎ 则|x2﹣x1|的最小值为函数f（x）的半个周期，‎ 即===2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知和是互相垂直的单位向量，向量满足：，，n∈N*，设θn为和的夹角，则（　　）‎ A．θn随着n的增大而增大 B．θn随着n的增大而减小 C．随着n的增大，θn先增大后减小 D．随着n的增大，θn先减小后增大 ‎【解答】解：分别以 和所在的直线为x轴，y轴建立坐标系，则=（1，0），=（0，1），‎ 设=（xn，yn），‎ ‎∵，，n∈N*，‎ ‎∴xn=n，yn=2n+1，n∈N*，‎ ‎∴=（n，2n+1），n∈N*，‎ ‎∵θn为和的夹角，‎ ‎∴tanθn===2+‎ ‎∴y=tanθn为减函数，‎ ‎∴θn随着n的增大而减小．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知两圆C1：x2+y2=12和C2：x2+y2=14，又点A坐标为（3，﹣1），M、N是C1上的动点，Q为C2上的动点，则四边形AMQN能构成矩形的个数为（　　）‎ A．0个 B．2个 C．4个 D．无数个 ‎【解答】解：如图所示，任取圆C2上一点Q，‎ 以AQ为直径画圆，‎ 交圆C1与M、N两点，‎ 则四边形AMQN能构成矩形，‎ 由作图知，四边形AMQN能构成矩形的个数为无数个．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.‎ ‎17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2AB=2，E是PB的中点．‎ ‎（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；‎ ‎（2）求异面直线EC和AD所成的角（结果用反三角函数值表示）．‎ ‎【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，‎ 高PA=2，BC=AD=2，AB=1，‎ ‎∴S△ABC==1．‎ 故VP﹣ABC==．‎ ‎（2）∵BC∥AD，∴∠ECB或其补角为异面直线EC和AD所成的角θ，‎ 又∵PA⊥平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥BC，又BC⊥AB，‎ ‎∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，‎ 于是在Rt△CEB中，BC=2，BE=PB=，‎ tanθ==，‎ ‎∴异面直线EC和AD所成的角是arctan．‎ ‎　‎ ‎18．（14分）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．‎ ‎（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；‎ ‎（2）求证：A为线段BM的中点．‎ ‎【解答】解：（1）∵y2=2px过点P（1，1），‎ ‎∴1=2p，‎ 解得p=，‎ ‎∴y2=x，‎ ‎∴焦点坐标为（，0），准线为x=﹣，‎ ‎（2）证明：设过点（0，）的直线方程为 y=kx+，M（x1，y1），N（x2，y2），‎ ‎∴直线OP为y=x，直线ON为：y=x，‎ 由题意知A（x1，x1），B（x1，），‎ 由，可得k2x2+（k﹣1）x+=0，‎ ‎∴x1+x2=，x1x2=‎ ‎∴y1+=kx1++=2kx1+=2kx1+=2kx1+（1﹣k）•2x1=2x1，‎ ‎∴A为线段BM的中点．‎ ‎　‎ ‎19．（14分）如图，某大型厂区有三个值班室A、B、C．值班室A在值班室B的正北方向2千米处，值班室C在值班室B的正东方向2千米处．‎ ‎（1）保安甲沿CA从值班室出发行至点P处，此时PC=1，求PB的距离；‎ ‎（2）保安甲沿CA从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿AB从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为3千米（含3千米），试问有多长时间两人不能通话？‎ ‎【解答】解：（1）在Rt△ABC中，AB=2，BC=2，‎ 所以∠C=30°，‎ 在△PBC中PC=1，BC=2，‎ 由余弦定理可得 BP2=BC2+PC2﹣2BC•PCcos30°‎ ‎=（2）2+1﹣2×2×1×=7，‎ 即BP=；‎ ‎（2）在Rt△ABC中，BA=2，BC=2，AC==4，‎ 设甲出发后的时间为t小时，则由题意可知0≤t≤4，‎ 设甲在线段CA上的位置为点M，则AM=4﹣t，‎ ‎①当0≤t≤1时，设乙在线段AB上的位置为点Q，则AQ=2t，‎ 如图所示，在△AMQ中，‎ 由余弦定理得MQ2=（4﹣t）2+（2t）2﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=7t2﹣16t+7＞9，‎ 解得t＜或t＞，‎ 所以0≤t≤；‎ ‎②当1≤t≤4时，乙在值班室B处，在△ABM中，‎ 由余弦定理得MB2=（4﹣t）2+4﹣2•2t•（4﹣t）cos60°=t2﹣6t+12＞9，‎ 解得t＜3﹣或t＞3+，又1≤t≤4，不合题意舍去． ‎ 综上所述0≤t≤时，甲乙间的距离大于3千米，‎ 所以两人不能通话的时间为小时．‎ ‎　‎ ‎20．（16分）设集合A，B均为实数集R的子集，记A+B={a+b|a∈A，b∈B}．‎ ‎（1）已知A={0，1，2}，B={﹣1，3}，试用列举法表示A+B；‎ ‎（2）设a1=，当n∈N*且n≥2时，曲线+=的焦距为an，如果A={a1，a2，…，an}，B={﹣，﹣，﹣}，设A+B中的所有元素之和为Sn，求Sn的值；‎ ‎（3）在（2）的条件下，对于满足m+n=3k，且m≠n的任意正整数m，n，k，不等式Sm+Sn﹣λSk＞0恒成立，求实数λ的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）∵A+B={a+b|a∈A，b∈B}；‎ 当A={0，1，2}，B={﹣1，3}时，‎ A+B={﹣1，0，1，3，4，5}；‎ ‎（2）曲线+=，即﹣=，在n≥2时表示双曲线，‎ 故an=2=n，‎ ‎∴a1+a2+a3+…+an=‎ ‎∵B={﹣，﹣，﹣}，‎ ‎∴A+B中的所有元素之和为Sn=3（a1+a2+a3+…+an）+n（﹣﹣﹣）=3•+n（﹣﹣﹣）=n2，‎ ‎（3）∵∴Sm+Sn﹣λSk＞0恒成立⇔λ＜=恒成立，‎ ‎∵m+n=3k，且m≠n，‎ ‎∴==＞，‎ ‎∴λ≤，‎ 故实数λ的最大值为 ‎　‎ ‎21．（18分）对于定义在[0，+∞）上的函数f（x），若函数y=f（x）﹣（ax+b）满足：‎ ‎①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p，使其值域为（0，p]，则称函数g（x）=ax+b是函数f（x）的“逼进函数”．‎ ‎（1）判断函数g（x）=2x+5是不是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；‎ ‎（2）求证：函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”‎ ‎（3）若g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a的值．‎ ‎【解答】解：（1）f（x）﹣g（x）=﹣（2x+5）=，‎ 可得y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，且x+2≥2，‎ ‎0＜≤，可得存在p=，函数y的值域为（0，]，‎ 则函数g（x）=2x+5是函数f（x）=，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；‎ ‎（2）证明：f（x）﹣g（x）=（）x﹣x，‎ 由y=（）x，y=﹣x在[0，+∞）递减，‎ 则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）递减，‎ 则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的最大值为1；‎ 由x=1时，y=﹣=0，x=2时，y=﹣1=﹣＜0，‎ 则函数y=f（x）﹣g（x）在[0，+∞）的值域为（﹣∞，1]，‎ 即有函数g（x）=x不是函数f（x）=（）x，x∈[0，+∞）的“逼进函数”；‎ ‎（3）g（x）=ax是函数f（x）=x+，x∈[0，+∞）的“逼进函数”，‎ 可得y=x+﹣ax为[0，+∞）的减函数，‎ 可得导数y′=1﹣a+≤0在[0，+∞）恒成立，‎ 可得a﹣1≥，‎ 由x＞0时，=≤1，‎ 则a﹣1≥1，即a≥2；‎ 又y=x+﹣ax在[0，+∞）的值域为（0，1]，‎ 则＞（a﹣1）x，‎ x=0时，显然成立；‎ x＞0时，a﹣1＜，‎ 可得a﹣1≤1，即a≤2．‎ 则a=2．‎ ‎　‎