山东专用2021版高考数学一轮复习第7章立体几何第3讲空间点直线平面之间的位置关系课件 43页

第七章 立体几何 第三讲　空间点、直线、平面之间的位置关系 1 　　知识梳理 • 双基自测 2 　 　 考点突破 • 互动探究 3 　 　 名师讲坛 • 素养提升 知识梳理 • 双基自测 知识点一　平面的基本性质 公理 1 ：如果一条直线上的 ________ 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内． 公理 2 ：过 __________ 的三点，有且只有一个平面． 公理 3 ：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们 ________________ 过该点的公共直线． 两点　 不共线　 有且只有一条　 锐角或直角　 平行　 相等或互补　 AC 　 C 　 共面　 AC ＝ BD 　 AC ＝ BD 且 AC ⊥ BD 　 B 　 C 　 考点突破 • 互动探究 　　　　 　如图，在空间四边形 ABCD 中， E ， F 分别是 AB ， AD 的中点， G ， H 分别在 BC ， CD 上，且 BG ∶ GC ＝ DH ∶ HC ＝ 1∶2 ． (1) 求证： E ， F ， G ， H 四点共面； (2) 设 EG 与 FH 交于点 P ，求证： P ， A ， C 三点共线． 考点一　平面基本性质的应用 —— 自主练透 例 1 1 ． 证明空间点共线问题的方法 (1) 公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上． (2) 纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上． 2 ． 点、线共面的常用判定方法 (1) 纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内． (2) 辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面 α ，再证明其余元素确定平面 β ，最后证明平面 α ， β 重合． 3 ． 证明线共点问题的常用方法是： 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点． 〔 变式训练 1〕 如图所示，在正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， E ， F 分别是 AB ， AA 1 的中点．求证： (1) E ， C ， D 1 ， F 四点共面； (2) CE ， D 1 F ， DA 三线共点． [ 解析 ] 　 (1) 如图，连接 EF ， CD 1 ， A 1 B ． 因为 E ， F 分别是 AB ， AA 1 的中点，所以 EF ∥ A 1 B ． 又 A 1 B ∥ CD 1 ，所以 EF ∥ CD 1 ， 所以 E ， C ， D 1 ， F 四点共面． (2) 因为 EF ∥ CD 1 ， EF ＜ CD 1 ，所以 CE 与 D 1 F 必相交， 设交点为 P ，则由 P ∈ CE ， CE ⊂ 平面 ABCD ，得 P ∈ 平面 ABCD ． 同理 P ∈ 平面 ADD 1 A 1 ． 又平面 ABCD ∩ 平面 ADD 1 A 1 ＝ DA ， 所以 P ∈ 直线 DA ． 所以 CE ， D 1 F ， DA 三线共点． (1) (2019 · 广东模拟 ) 若直线 l 1 和 l 2 是异面直线， l 1 在平面 α 内， l 2 在平面 β 内， l 是平面 α 与平面 β 的交线，则下列命题正确的是 ( 　　 ) A ． l 与 l 1 ， l 2 都不相交 B ． l 与 l 1 ， l 2 都相交 C ． l 至多与 l 1 ， l 2 中的一条相交 D ． l 至少与 l 1 ， l 2 中的一条相交 考点二　空间两条直线的位置关系 —— 师生共研 D 　 例 2 (2) 如图所示，正方体 ABCD － A 1 B 1 C 1 D 1 中， M ， N 分别为棱 C 1 D 1 ， C 1 C 的中点，有以下四个结论： ①直线 AM 与 CC 1 是相交直线； ②直线 AM 与 BN 是平行直线； ③直线 BN 与 MB 1 是异面直线； ④直线 AM 与 DD 1 是异面直线． 其中正确的结论为 ________( 注：把你认为正确的结论序号都填上 ) ． ③④ 　 [ 解析 ] 　 (1) 由直线 l 1 和 l 2 是异面直线可知 l 1 与 l 2 不平行，故 l 1 ， l 2 中至少有一条与 l 相交． (2) 因为点 A 在平面 CDD 1 C 1 外，点 M 在平面 CDD 1 C 1 内，直线 CC 1 在平面 CDD 1 C 1 内， CC 1 不过点 M ，所以 AM 与 CC 1 是异面直线，故 ① 错；取 DD 1 中点 E ，连接 AE ，则 BN ∥ AE ，但 AE 与 AM 相交，故 ② 错；因为 B 1 与 BN 都在平面 BCC 1 B 1 内， M 在平面 BCC 1 B 1 外， BN 不过点 B 1 ，所以 BN 与 MB 1 是异面直线，故 ③ 正确；同理 ④ 正确，故填 ③④ ． 异面直线的判定方法 (1) 反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到． (2) 判定定理法：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线． 〔 变式训练 2〕 (1) (2019 · 江西景德镇模拟 ) 将图 1 中的等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 上的中线折起得到空间四面体 ABCD ( 如图 2) ，则在空间四面体 ABCD 中， AD 与 BC 的位置关系是 ( 　　 ) A ．相交且垂直　 B ．相交但不垂直 C ．异面且垂直　 D ．异面但不垂直 C 　 BD 　 考点三　求异面直线所成的角 —— 师生共研 例 3 A 　 B 　 用平移法求异面直线所成的角的步骤 (1) 一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角． (2) 二证：证明作出的角是异面直线所成的角． (3) 三求：解三角形，求出所作的角． 注： ① 为便于作出异面直线所成角，可用补形法，如将三棱柱补成四棱柱； ② 注意余弦定理的应用． D 　 C 　 名师讲坛 • 素养提升 立体几何中的折叠问题 例 4 C 　 D 　 由展开图准确的还原出几何体直观图是解题关键． 当异面直线所成角不易作出时，可考虑建立空间直角坐标系，用向量法求解． D