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- 2021-06-15 发布
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第
2
课时
数列的综合应用
考向一 等差数列与等比数列的综合问题
【例
1
】
(2019·
塘沽一模
)
已知
{a
n
}
的各项均为正数的
等比数列
,{b
n
}
是等差数列
,
且
a
1
=b
1
=1,b
2
+b
3
=2a
3
,a
5
-3b
2
=7
①
.
(1)
求
{a
n
}
和
{b
n
}
的通项公式
.
(2)
设
c
n
=a
n
b
n
,
,
求数列
{c
n
}
的前
n
项和
.
【题眼直击】
题眼
思维导引
①
先求出数列
{a
n
}
的公比为
q
和数列
{b
n
}
的公差为
d.
②
利用错位相减法求数列
{c
n
}
的前
n
项和
.
【解析】
(1)
设数列
{a
n
}
的公比为
q,
数列
{b
n
}
的公差
为
d,
由题意
q>0,
由已知有 消去
d,
整理得
q
4
-2q
2
-8=0.
又因为
q>0,
解得
q=2,
所以
d=2.
所以数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
=2
n-1
,
所以
n∈N
*
;
数列
{b
n
}
的通项公式为
b
n
=2n-1,n∈N
*
.
(2)
由
(1)
有
c
n
=(2n-1)·2
n-1
,
设
{c
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
则
S
n
=1×2
0
+3×2
1
+5×2
2
+…+(2n-3)×2
n-2
+(2n-1)×
2
n-1
,
2S
n
=1×2
1
+3×2
2
+5×2
3
+…+(2n-3)×2
n-1
+(2n-1)×2
n
,
上述两式相减
,
得
-S
n
=1+2
2
+2
3
+…+2
n
-(2n-1)×2
n
=2
n+1
-
3-(2n-1)×2
n
=-(2n-3)×2
n
-3,
所以
,S
n
=(2n-3)·2
n
+3,
n∈N
*
.
【拓展提升】
解决等差数列与等比数列的综合问题的关键
关键是理清两个数列的关系
.
(1)
如果同一数列中部分项成等差数列
,
部分项成等比数列
,
要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究
.
(2)
如果两个数列通过运算综合在一起
,
要从分析运算入手
,
把两个数列分割开弄清两个数列各自的特征
,
再进行求解
.
【变式训练】
已知等差数列
{a
n
}
满足
:a
1
=2,
且
a
1
,a
2
,a
5
成等比数列
.
(1)
求数列
{a
n
}
的通项公式
.
(2)
记
S
n
为数列
{a
n
}
的前
n
项和
,
是否存在正整数
n,
使得
S
n
>60n+800?
若存在
,
求
n
的最小值
;
若不存在
,
说明理由
.
【解析】
(1)
设数列
{a
n
}
的公差为
d,
依题意
,2,2+d,2+4d
成等比数列
,
故有
(2+d)
2
=2(2+4d),
化简得
d
2
-4d=0,
解得
d=0
或
d=4.
当
d=0
时
,a
n
=2.
当
d=4
时
,a
n
=2+(n-1)·4=4n-2,
从而得数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
=2
或
a
n
=4n-2.
(2)
当
a
n
=2
时
,S
n
=2n.
显然
2n<60n+800,
此时不存在正整数
n,
使得
S
n
>60n+800
成立
.
当
a
n
=4n-2
时
,S
n
= =2n
2
.
令
2n
2
>60n+800,
即
n
2
-30n-400>0,
解得
n>40
或
n<-10(
舍去
),
此时存在正整数
n,
使得
S
n
>60n+800
成立
,n
的最小值为
41.
综上
,
当
a
n
=2
时
,
不存在满足题意的
n;
当
a
n
=4n-2
时
,
存在满足题意的
n,n
的最小值为
41.
考向二 数列与函数的综合
【例
2
】
(2019·
武汉一模
)
设
n∈N
*
,x
n
是曲线
y=x
2n+2
+1
在点
(1,2)
处的切线
①
与
x
轴交点的横坐标
.
(1)
求数列
{x
n
}
的通项公式
.
(2)
记
T
n
= ,
证明
:
【题眼直击】
题眼
思维导引
①
想到导数的几何意义
②
适当放缩进行求解
【解析】
(1)
由题意
,y′=(2n+2)x
2n+1
,
曲线在点
(1,2)
处的切线斜率为
2n+2.
所以切线方程为
y-2=(2n+2)(x-1).
当
y=0
时
,x
n
= ,
所以数列
{x
n
}
的通项公式为
x
n
= .
(2)
由题设和
(1)
中的计算结果知
,
T
n
=
当
n=1
时
,T
1
= .
当
n≥2
时
,
因为
综上可得
,
对任意的
n∈N
*
,
均有
T
n
≥ .
【拓展提升】
解决数列与函数综合问题的注意点
(1)
数列是一类特殊的函数
,
其定义域是正整数集
,
而不是某个区间上的连续实数
,
所以它的图象是一群孤立的点
.
(2)
转化以函数为背景的条件时
,
应注意题中的限制条件
,
如函数的定义域
,
这往往是非常容易忽视的问题
.
(3)
利用函数的方法研究数列中相关问题时
,
应准确构造函数
,
注意数列中相关限制条件的转化
.
【变式训练】
设等差数列
{a
n
}
的公差为
d,
点
(a
n
,b
n
)
在函数
f(x)=2
x
的图象上
(n∈N
*
).
(1)
若
a
1
=-2,
点
(a
8
,4b
7
)
在函数
f(x)
的图象上
,
求数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
.
(2)
若
a
1
=1,
函数
f(x)
的图象在点
(a
2
,b
2
)
处的切线在
x
轴
上的截距为
2- ,
求数列 的前
n
项和
T
n
.
【解析】
(1)
由已知
,
得
b
7
= ,b
8
= =4b
7
,
有
.
解得
d=a
8
-a
7
=2.
所以
S
n
=na
1
+ d=-2n+n(n-1)=n
2
-3n.
(2)f′(x)=2
x
ln 2,f′(a
2
)= ln 2,
故函数
f(x)=2
x
在
(a
2
,b
2
)
处的切线方程为
y- = ·ln 2·(x-a
2
),
它在
x
轴上的截距为
a
2
- .
由题意
,
得
a
2
- =2- ,
解得
a
2
=2.
所以
d=a
2
-a
1
=1.
从而
a
n
=n,b
n
=2
n
.
所以
T
n
= ,
2T
n
=
因此
,2T
n
-T
n
=
所以
T
n
= .
考向三 数列与不等式的综合问题
【例
3
】
(2019·
南昌一模
)
已知数列
{a
n
}
满足
a
1
=
且
a
n+1
=a
n
- (n∈N
*
)
①
.
(1)
证明
:
1< ≤2(n∈N
*
)
②
.
(2)
设数列
{ }
的前
n
项和为
S
n
,
证明
:
(n∈N
*
)
③
.
【题眼直击】
题眼
思维导引
①
想到求出
a
n
的取值范围
.
②
转化为函数的值域问题求解
.
③
先对每一项进行放缩再裂项相消整理求和
.
【解析】
(1)
由题意得
a
n+1
-a
n
=- ≤0,
即
a
n+1
≤a
n
,
故
a
n
≤ .
由
a
n
=(1-a
n-1
)a
n-1
(n≥2)
得
a
n
=(1-a
n-1
)(1-a
n-2
)…(1-a
1
)a
1
>0.
由
0
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