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  • 2021-06-15 发布

高中数学第二章数列2-1-2数列的性质与递推公式课时作业含解析新人教A版必修

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课时作业8 数列的性质与递推公式 时间:45分钟 ‎——基础巩固类——‎ 一、选择题 ‎1.已知数列{an},a1=1,an-an-1=n-1(n≥2),则a6等于( C )‎ A.7 B.11‎ C.16 D.17‎ 解析:由题可知a6=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+(a5-a4)+(a6-a5)=1+1+2+3+4+5=16.‎ ‎2.数列{an}中,an+1=an+2-an,a1=2,a2=5,则a5等于( D )‎ A.-3 B.-11‎ C.-5 D.19‎ 解析:由an+1=an+2-an,得an+2=an+1+an.‎ 又a1=2,a2=5.∴a3=7,a4=12,a5=19.‎ ‎3.已知数列{an},an-1=man+1(n>1),且a2=3,a3=5,则实数m等于( B )‎ A.0 B. C.2 D.5‎ 解析:由题意,得a2=ma3+1,即3=5m+1,解得m=.‎ ‎4.已知数列{an}中,a1=2,an=-(n≥2),则a2 013等于( C )‎ A.- B. C.2 D.-2‎ 解析:∵an+2=-=an,‎ ‎∴数列奇数项相同,偶数项相同.∴a2 013=a1=2.‎ ‎5.若数列{an}的通项公式是an=(-1)n(3n-2),则a1+a2+…+a10=( A )‎ A.15 B.12‎ C.-12 D.-15‎ 解析:记bn=3n-2,则bn+1-bn=3(n+1)-2-(3n-2)=3,所以a1+a2+…+a9+a10=(-b1)+b2+…+(-b9)+b10=(b2-b1)+(b4-b3)+…+(b10-b9)=5×3=15.故选A.‎ ‎6.已知a1=1,an=n(an+1-an)(n∈N*),则数列{an}的通项公式是( D )‎ A.2n-1 B.n-1‎ C.n2 D.n 4‎ 解析:法一:构造法.‎ 由已知整理,得(n+1)an=nan+1,‎ ‎∴=,∴数列是常数列,‎ 且==1,∴an=n.‎ 法二:累乘法.‎ 当n≥2时,=,=,‎ ‎…‎ =,=,‎ 用累乘法,得=n.∵a1=1,∴an=n.‎ 二、填空题 ‎7.在数列{an}中,an+1=(n∈N*),且a7=,则a5=1.‎ 解析:由已知得a7==,解得a6=,而a6=,所以=,解得a5=1.‎ ‎8.设函数f(x)定义如下表,数列{xn}满足x0=5,且对任意的自然数均有xn+1=f(xn),则x2 014=1.‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ f(x)‎ ‎4‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎2‎ 解析:x1=f(x0)=f(5)=2,‎ x2=f(x1)=f(2)=1,‎ x3=f(x2)=f(1)=4,‎ x4=f(x3)=f(4)=5=x0,‎ 从而数列{xn}是周期为4的数列,‎ 于是x2 014=x4×503+2=x2=1.‎ ‎9.已知数列{an},an=,其中a,b,c均为正数,则此数列是递增数列.(填“递增数列”“递减数列”“摆动数列”或“常数列”)‎ 解析:因为an=,所以an+1=,所以an+1-an=-=.因为a,b,c均为正数,所以>0,即an+1-an>0,故此数列是递增数列.‎ 三、解答题 ‎10.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式.‎ ‎(1)a1=0,an+1=an+(2n-1)(n∈N*);‎ ‎(2)a1=1,an+1=(n∈N*).‎ 4‎ 解:(1)a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,‎ ‎∴an=(n-1)2.‎ ‎(2)a1=1,a2=,a3==,a4=,‎ a5==,∴an=.‎ ‎11.已知数列{an}中,a4=,an=(n≥2).‎ ‎(1)证明:=+2(n≥2),并求出a1的值;‎ ‎(2)求出数列{an}的通项an.‎ 解:(1)证明:∵an=(n≥2),‎ ‎∴=,∴=+2(n≥2),‎ ‎∴=+++ ‎=+3×2=8.‎ ‎∴=2,∴a1=.‎ ‎(2)由(1)知=+++…+,∴=2+‎ ‎∴=2n,∴an=,n∈N+.‎ ‎——能力提升类——‎ ‎12.已知数列{an}中,an=(n∈N*),则数列{an}的最大项是( C )‎ A.a12 B.a13‎ C.a12或a13 D.不存在 解析:an==.由函数的单调性知,f(x)=x+(x>0)的单调减区间是(0,2),单调增区间是[2,+∞),故当x=2时,f(x)的值最小.‎ ‎∵n∈N*,2在自然数12和13之间,且a12=a13,‎ ‎∴第12项或第13项是数列{an}的最大项.‎ ‎13.已知数列{an},a1=1,lnan+1-lnan=1,则数列{an}的通项公式是( C )‎ 4‎ A.an=n B.an= C.an=en-1 D.an= 解析:∵lnan+1-lnan=1,∴ln=1.∴=e.‎ 由累乘法可得an=en-1.‎ ‎14.已知数列{an}满足:an≤an+1,an=n2+λn,n∈N*,则实数λ的最小值是-3.‎ 解析:∵an≤an+1,∴n2+λn≤(n+1)2+λ(n+1),‎ 即λ≥-(2n+1)对任意n∈N*成立,∴λ≥-3.‎ ‎15.已知数列{an}满足an=+++…+.‎ ‎(1)数列{an}是递增数列还是递减数列?为什么?‎ ‎(2)证明:an≥对一切正整数恒成立.‎ 解:(1)数列{an}是递增数列.‎ 理由如下:∵an=+++…+,‎ ‎∴an+1-an=+- ‎=-=.‎ 又n∈N*,∴an+1-an>0.‎ ‎∴数列{an}是递增数列.‎ ‎(2)证明:由(1)知数列{an}为递增数列,‎ ‎∴数列{an}的最小项为a1=.‎ ‎∴an≥a1=,‎ 即an≥对一切正整数恒成立.‎ 4‎