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- 2021-06-15 发布
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核心素养测评四十一 数列与函数、不等式的综合问题
(30分钟 60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.已知递增的等比数列{an}的公比为q,其前n项和Sn<0,则 ( )
A.a1<0,01
C.a1>0,00,q>1
【解析】选A.因为Sn<0,所以a1<0,又数列{an}为递增等比数列,所以an+1>an,且|an|>|an+1|,
则-an>-an+1>0,则q=∈(0,1),所以a1<0,00”是“S4 + S6>2S5”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选C.由S4+S6-2S5=10a1+21d-2(5a1+10d)=d,可知当d>0时,有S4+S6-2S5>0,即S4+S6>2S5,反之,若S4+S6>2S5,则d>0,所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充分必要条件.
【名师点睛】本题考查等差数列的前n项和公式,通过套入公式与简单运算,可知S4+S6-2S5=d, 结合充分必要性的判断,若p⇒q,则p是q的充分条件,若p⇐q,则p是q的必要条件,该题“d>0”⇔“S4+S6-2S5>0”,故互为充要条件.
3.已知数列{an}是等比数列,数列{bn}是等差数列,若a2·a6·a10=3,b1+b6+b11=7π,则tan 的值是 ( )
A.1 B. C.- D.-
【解析】选D.因为是等比数列,
所以a2·a6·a10==3,所以a6=.
因为{bn}是等差数列,
所以b1+b6+b11=3b6=7π.
所以b6=,
所以tan=tan =tan =-tan =-tan =-.
4.数列{an}满足an=n2+kn+2,若不等式an≥a4恒成立,则实数k的取值范围是 ( )
A.[-9,-8] B.[-9,-7]
C.(-9,-8) D.(-9,-7)
【解析】选B.由已知得n2+kn+2≥4k+18,
即(4-n)k≤n2-16,其中n∈N*.
当n=1,2,3时,k≤(-n-4)min=-7;
当n=4时,等号成立;当n≥5时,k≥(-n-4)max=-9,所以实数k的取值范围是[-9,-7].
5.已知数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=n2+n(n∈N*),设数列满足:bn=,数列的前n项和为Tn,若Tn<λ(n∈N*)恒成立,则实数λ的取值范围为 ( )
世纪金榜导学号
A. B.
C. D.
【解析】选D.数列{an}满足
a1+a2+a3+…+an=n2+n, ①
当n≥2时,
a1+a2+a3+…+an-1=(n-1)2+(n-1),②
①-②得an=2n,故an=2n2,
数列满足:bn==
=
则:Tn=
=,由于Tn<λ(n∈N*)恒成立,
故:<λ,整理得λ>,
因为y==在n∈N*上单调递减,
故当n=1时,=,所以λ>.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.已知f(x)=,各项均为正数的数列{an}满足a1=1,an+2=f(an).若a2 010=a2 012,则a20+a11的值是 .
【解析】因为an+2=f(an)=,a1=1,所以a3=,
a5==,a7==,
a9==,a11==,又a2 010=a2 012,
即a2 010=⇒+a2 010-1=0,
所以a2 010=.
又a2 010==,
所以1+a2 008==,
即a2 008=,依次类推可得a2 006=a2 004=…=a20=,
故a20+a11=+=.
答案:
7.已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.
(1)数列{an}的通项公式为 .
(2)数列的前n项和为 .
【解析】(1)方程x2-5x+6=0的根为2,3.
又{an}是递增的等差数列,
故a2=2,a4=3,可得2d=1,d=,
故an=2+(n-2)×=n+1.
(2)设数列的前n项和为Sn,
Sn=+++…++,①
Sn=+++…++,②
①-②得Sn=+++…+-=+++…+-
=+-,
所以Sn=+-=2-.
答案:(1)an=n+1 (2)2-
8.(2020·成都模拟)数列是等差数列,a1=1,公差d∈,且a4+λa10+a16=15,则实数λ的最大值为 . 世纪金榜导学号
【解析】因为a4+λa10+a16=15,
所以a1+3d+λ(a1+9d)+a1+15d=15,令λ=f(d)=-2,
因为d∈,所以令t=1+9d,t∈[10,19],
因此λ=f(t)=-2,
当t∈[10,19]时,函数λ=f(t)是减函数,
故当t=10时,实数λ有最大值,最大值为f(10)=-.
答案:-
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.(2018·北京高考)设{an}是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2.
(1)求{an}的通项公式.
(2)求++…+.
【解析】(1)由已知,设{an}的公差为d,则
a2+a3=a1+d+a1+2d=2a1+3d=5ln 2,又a1=ln 2,
所以d=ln 2,
所以{an}的通项公式为an=ln 2+(n-1)ln 2=nln 2(n∈N*).
(2)由(1)及已知,=enln 2=(eln 2)n=2n,
所以++…+=21+22+…+2n==2n+1-2(n∈N*).
10.(2020·武汉模拟)数列{an}满足:++…+=n2+n,n∈N*. 世纪金榜导学号
(1)求{an}的通项公式.
(2)设bn=,数列{bn}的前n项和为Sn,求满足Sn>的最小正整数n.
【解析】(1)因为++…+=n2+n,
n=1时,可得a1=4,
n≥2时,++…+=(n-1)2+n-1.
与++…+=n2+n.
两式相减可得=(2n-1)+1=2n.
所以an=2n(n+1),当n=1时,也满足,所以an=2n(n+1).
(2)bn===,
所以Sn==.
又Sn>,所以n>9,所以最小正整数n为10.
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