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- 2021-06-15 发布
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河北省张家口市2019-2020学年高一上学期期末考试
数学试题
注意事顶：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.
2. 考试时间120分钟，满分150分.
3. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.
4. 全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合A={x|–11}，则A∪B=（ ）
A. （–1，1） B. （1，2） C. （–1，+∞） D. （1，+∞）
【答案】C
【解析】∵ ，∴ ，
故选C.
2.化为弧度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.故选：B.
3.已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因，则，
所以.
故选：A.
4.在单位圆中，面积为1的扇形所对的圆心角的弧度数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】由扇形的面积公式，由题意，则，
所以圆心角的弧度数.故选：B.
5.下列函数中，周期为的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】对于A：因的周期为，所以的周期为，故A正确；
对于B：因的周期为，所以的周期为，故B错误；
对于C：因的周期为，所以的周期为，故C错误；
对于D：因为奇函数，则函数为偶函数，则此函数不具有周期性，故D错误.
故选：A.
6.下列函数中，其定义域和值域分别与函数的定义域和值域相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数的定义域和值域均为；函数的定义域和值域均为R；
函数的定义域为，值域为R；函数的定义域为R，值域为；
函数的定义域和值域均为.
故选：D.
7.若，则下面大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，则，即A错误；则，即B错误；
则，即D错误；由，则，即C正确.
故选：C.
8.函数的零点个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】由题意得，即，令，，
则为上单调递增的指数函数经过；
为开口向下，对称轴为，顶点坐标的抛物线，
所以，当时，两函数图象有两个交点，
即函数有两个零点.故选：C.
9.若函数是偶函数，且当时，，则当时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意，设，则，又当时，，
所以，
又函数是偶函数，即，
所以.
故选：A.
10.函数，的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数，由，则，
所以函数的值域为.
故选：C.
11.如图所示，设点是单位圆上的一定点，动点从点出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点所旋转过的的长为，弦的长为，则函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】取的中点为，设，
则，，
所以，即，根据正弦函数的图象知，C中的图象符合解析式.
故选：C.
12.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状一定是（ ）
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
【答案】C
【解析】△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
角A，B，C为△ABC的内角
故答案选C
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.求值：______.
【答案】.
【解析】.故答案为：.
14.已知函数（，且）的图象恒过点，则点的坐标是______.
【答案】.
【解析】在函数（，且）中，当时，，
所以函数（，且）的图象恒过定点.
故答案为：.
15.若函数的部分图象如图所示，则此函数的解析式为______.
【答案】.
【解析】由题意，周期，解得，
所以函数，又图象过点，
所以，得，
又，所以，
故函数的解析式为.
故答案为：.
16.关于下列结论：
①函数是偶函数；
②直线是函数的图象的一条对称轴；
③将函数的图象向左平移个单位后，所得图象的函数解析式为；
④函数的图象关于点成中心对称.
其中所有正确结论序号为______.
【答案】①②④.
【解析】①函数，故该函数为偶函数，故①正确；
②函数的图象对称轴方程为，
即，当时，此时，即直线是函数的图象的一条对称轴，故②正确；
③将函数的图象向左平移个单位后，
即，
故所得图象的函数解析式为，故③错误；
④函数的图象的对称中心为：，
即，取时，，
所以，函数的图象关于点成中心对称，故④正确.
故答案为：①②④.
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）若，求实数的值.
解：（Ⅰ），
.
（Ⅱ）∵，
∴若，则，
得，，
∴.
18.已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
解：（Ⅰ）∵，∴，
∴.
（Ⅱ）∵，
∴.
19.已知函数是奇函数.
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）求函数的值域.
解：（Ⅰ）∵是奇函数，∴，即，
∴，
得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∵，∴，，
∴，∴.
∴，即.
综上，函数的值域为.
20.已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）当时，求的最值以及取得最值时的值.
解：（Ⅰ）
.
令，，得，.
∴函数的单调递增区间是，.
（Ⅱ）∵，∴，
∴当，即时，取得最小值，最小值为0；
当，即时，取得最大值，最大值为3.
21.某企业生产，两种产品，根据市场调查与预测，产品的利润与投资成正比，其关系如图1，产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2，（注：利润与投资单位：万元）
（1）分别将，两种产品的利润表示为投资的函数关系，并写出它们的函数关系式；
（2）该企业已筹集到10万元资金，全部投入到，两种产品的生产，怎样分配资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）.
解：（1）设投资为万元，产品的利润为万元，产品的利润为万元
由题设知；
由图1知，
由图2知，
则，.
（2）设产品投入万元，则产品投入万元，设企业利润为万元.
，
，令，则
则
当时，，
此时
所以当产品投入3.75万元，产品投入6.25万元，企业获得最大利润为4万元.
22.已知函数.
（Ⅰ）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若函数，且函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.
解：（Ⅰ）当时，由，知.
即恒成立.
由在区间上是减函数知，当时，，
所以实数的取值范围为.
（Ⅱ）已知，则函数.
由函数的图象的对称轴为直线及在区间上单调递增，知
①当且，即时，需满足，即，
此时满足题意的实数的取值范围是；
②当且，即时，需满足，即，此时实数不存在.
综上，满足题意的实数的取值范围是.
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