2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科） 20页

‎2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）在复平面内，复数所对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣1，+∞） B．[﹣2，+∞） C．[﹣1，2] D．（﹣1，2]‎ ‎3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（　　）‎ A．f（x）=x2+|x|+1 B． C．f（x）=ln|x+1| D．f（x）=cosx ‎4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C． D．﹣1或 ‎5．（5分）已知等比数列{an}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（　　）‎ A．12 B．10 C． D．‎ ‎6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.8，则输出的n=（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（　　）‎ A．4+2π B． C．4+π D．‎ ‎8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．（5分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（　　）‎ A．49 B．91 C．98 D．182‎ ‎10．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（　　）‎ A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 ‎11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点，则a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．（5分）命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0”的否定是　 　．‎ ‎14．（5分）长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　 　．‎ ‎15．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=•的最大值为　 　．‎ ‎16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，﹣3），若圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|，则实数a的取值范围是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．‎ ‎（Ⅰ）求证：B=2A；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．‎ ‎18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100]内，且销售量x的分布频率．‎ ‎（Ⅰ）求a的值．‎ ‎（Ⅱ）若销售量大于等于80，则称该日畅销，其余为滞销，根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．‎ ‎19．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥PD，PA=PD，AD=4，BC∥AD，AB=BC=CD=2，E为PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．‎ ‎20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．‎ ‎（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．‎ ‎21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．‎ ‎（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．‎ ‎（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．‎ ‎（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）在复平面内，复数所对应的点位于（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【解答】解：∵=，‎ ‎∴复数所对应的点的坐标为（），位于第二象限．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（　　）‎ A．（﹣1，+∞） B．[﹣2，+∞） C．[﹣1，2] D．（﹣1，2]‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2}，‎ B={y|y=3x﹣1，x∈R}={y|y＞﹣1}，‎ ‎∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1，2]．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（　　）‎ A．f（x）=x2+|x|+1 B． C．f（x）=ln|x+1| D．f（x）=cosx ‎【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数，在（0，+∞）递增，‎ 对于A，f（﹣x）=f（x），是偶函数，且x＞0时，f（x）=x2+x+1，f′（x）=2x+1＞‎ ‎0，‎ 故f（x）在（0，+∞）递增，符合题意；‎ 对于B，函数f（x）是奇函数，不合题意；‎ 对于C，由x+1=0，解得：x≠﹣1，定义域不关于原点对称，‎ 故函数f（x）不是偶函数，不合题意；‎ 对于D，函数f（x）在（0，+∞）无单调性，不合题意；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（　　）‎ A．﹣1 B．1 C． D．﹣1或 ‎【解答】解：若，则1+cosα=3sinα，又sin2α+cos2α=1，‎ ‎∴sinα=，∴cosα=3sinα﹣1=，∴cosα﹣2sinα=﹣，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知等比数列{an}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（　　）‎ A．12 B．10 C． D．‎ ‎【解答】解：∵，a1=1，a3+a5=6，‎ ‎∴a3+a5=q2+q4=6，‎ 得q4+q2﹣6=0，‎ 即（q2﹣2）（q2+3）=0，‎ 则q2=2，‎ 则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12，‎ 故选：A ‎　‎ ‎6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.8，则输出的n=（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【解答】解：第一次运行n=1，s=0，满足条件s＜0.8，s==0.5，n=2，‎ 第二次运行n=2，s=0.5，满足条件s＜0.8，s=+=0.75，n=3，‎ 第三次运行n=3，s=0.75，满足条件s＜0.8，s=0.75+=0.75+0.125=0.875，n=4，‎ 此时s=0.875不满足条件s＜0.8输出，n=4，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（　　）‎ A．4+2π B． C．4+π D．‎ ‎【解答】解：由几何体的三视图得：‎ 该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体，‎ 其中长方体的长为4，宽为1，高为1，‎ 半圆柱的底面半径为r=1，高为h=1，如图，‎ ‎∴该几何体的体积：‎ V=4×1×1+=4+．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：‎ 边长AB=a，‎ 其中正三角形ABC的面积S三角形=•a2•sin=a2；‎ 满足到正三角形ABC的顶点A、B、C 的距离至少有一个小于1的平面区域，‎ 如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为的半圆，‎ ‎∴S阴影=•π•=，‎ ‎∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：‎ P=1﹣=1﹣π．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（　　）‎ A．49 B．91 C．98 D．182‎ ‎【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a3+7=2a5，‎ ‎∴a1+2d+7=2（a1+4d），化为：a1+6d=7=a7．‎ 则S13==13a7=13×7=91．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（　　）‎ A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 ‎【解答】解：将函数y=f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位，‎ 可得y=sin（x+﹣）=cosx的图象，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点，则a的取值范围是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点⇔‎ 方程a=有3个不同的实根，‎ 即函数y=a，g（x）=的图象有3个不同的交点．‎ g′（x）=x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）‎ x∈（﹣∞，﹣3），（2，+∞）时，g（x）递增，x∈（﹣3，2）递减，‎ 函数g（x）图如下，结合图象，只需g（2）＜a＜g（﹣3）即可，‎ 即﹣＜＜，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【解答】解：如图，取PF1的中点A，连接OA，‎ ‎∴2=+，=，‎ ‎∴+=，‎ ‎∵，‎ ‎∴•=0，‎ ‎∴⊥，‎ ‎∵，‎ 不妨设|PF2|=m，则|PF1|=m，‎ ‎∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m，‎ ‎∴m=a=2（﹣1）a，‎ ‎∵|F1F2|=2c，‎ ‎∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3﹣2），‎ ‎∴=9﹣6=（﹣）2，‎ ‎∴e=﹣，‎ 故选：A ‎　‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分 ‎13．（5分）命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0”的否定是　∃x0∈R，使得　．‎ ‎【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得 命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0”的否定是 ‎“∃x0∈R，使得”．‎ 故答案为：∃x0∈R，使得．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为　14π　．‎ ‎【解答】解：∵长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，‎ ‎∴球半径R==，‎ ‎∴该球的表面积为S=4π×R2=4=14π．‎ 故答案为：14π．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=•的最大值为　　．‎ ‎【解答】解：由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得A（），‎ ‎∵=（2，3），=（x，y），‎ ‎∴z=•=2x+3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，‎ 直线在y轴上的截距最大，z有最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，﹣3），若圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|，则实数a的取值范围是　[0，3]　．‎ ‎【解答】解：设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，‎ 得到：，‎ 整理得：x2+y2﹣2y﹣3=0，‎ ‎∴点M在圆心为D（0，1），半径为2的圆上．‎ 又点M在圆C上，∴圆C与圆D有公共点，‎ ‎∴1≤|CD|≤3，‎ ‎∴1≤≤3，‎ 解得0≤a≤3．‎ 即实数a的取值范围是[0，3]．‎ 故答案为：[0，3]．‎ ‎　‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.‎ ‎17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．‎ ‎（Ⅰ）求证：B=2A；‎ ‎（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意，在△ABC中，a+2acosB=c，‎ 由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，‎ 即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（B﹣A）．‎ 因为A，B∈（0，π），‎ 所以B﹣A∈（﹣π，π），且A+（B﹣A）=B∈（0，π），所以A+（B﹣A）≠π，‎ 所以A=B﹣A，B=2A．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．‎ 由△ABC为锐角三角形得，‎ 得，则0＜cosB＜，‎ 由a+2acosB=2得，‎ 又由0＜cosB＜，‎ 则．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100]内，且销售量x的分布频率．‎ ‎（Ⅰ）求a的值．‎ ‎（Ⅱ）若销售量大于等于80，则称该日畅销，其余为滞销，根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题知，解得5≤n≤9，n可取5，6，7，8，9，‎ 代入中，‎ 得，‎ 解得a=0.15．‎ ‎（Ⅱ）滞销日与畅销日的频率之比为（0.1+0.1+0.2）：（0.3+0.3）=2：3，‎ 则抽取的5天中，滞销日有2天，记为a，b，畅销日有3天，记为C，D，E，‎ 再从这5天中抽出2天，基本事件有ab，aC，aD，aE，bC，bD，bE，CD，CE，DE，共10个，‎ ‎2天中恰有1天为畅销日的事件有aC，aD，aE，bC，bD，bE，共6个，‎ 则这2天中恰有1天是畅销日的概率为p=．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥PD，PA=PD，AD=4，BC∥AD，AB=BC=CD=2，E为PD的中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；‎ ‎（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．‎ ‎【解答】证明：（Ⅰ）取PA的中点F，连接BF，EF．‎ 在△PAD中，EF为中位线，‎ 则，又，故，‎ 则四边形BCEF为平行四边形，得CE∥BF，‎ 又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，‎ 故CE∥平面PAB．‎ 解：（Ⅱ）由E为PD的中点，知点D到平面PBC的距离是点E到平面PBC的距离的两倍，‎ 则．‎ 由题意知，四边形ABCD为等腰梯形，且AB=BC=CD=2，AD=4，其高为，‎ 则．‎ 取AD的中点O，在等腰直角△PAD中，有，PO⊥AD，‎ 又平面PAD⊥平面ABCD，故PO⊥平面ABCD，‎ 则点P到平面ABCD的距离即为PO=2．‎ ‎，‎ 故三棱锥E﹣PBC的体积．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．‎ ‎（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；‎ ‎（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意得，|（x+y）（x﹣y）|=2．‎ 因为点P在区域W内，所以x+y与x﹣y同号，得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2，‎ 即点P的轨迹C的方程为．‎ ‎（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D，当直线l的斜率不存在时，，，得．‎ 当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，显然k≠0，则，‎ 把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2+2=0，‎ 由直线l与轨迹C有且只有一个公共点，知△=4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2+2）=0，‎ 得m2=2（k2﹣1）＞0，得k＞1或k＜﹣1．‎ 设A（x1，y2），B（x2，y2），由得，同理，得．‎ 所以=．‎ 综上，△OAB的面积恒为定值2．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．‎ ‎（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由，得，‎ 令f′（x）=0，得．‎ 当且x≠0时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0．‎ ‎∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在上单调递减，在上单调递增；‎ ‎（Ⅱ）假设曲线y=f（x）与y=g（x）存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为x0＞0，‎ 则，即，其中（2）式即．‎ 记h（x）=4x3﹣3e2x﹣e3，x∈（0，+∞），则h'（x）=3（2x+e）（2x﹣e），‎ 得h（x）在上单调递减，在上单调递增，‎ 又h（0）=﹣e3，，h（e）=0，‎ 故方程h（x0）=0在（0，+∞）上有唯一实数根x0=e，经验证也满足（1）式．‎ 于是，f（x0）=g（x0）=3e，f′（x0）=g'（x0）=3，‎ 曲线y=g（x）与y=g（x）的公切线l的方程为y﹣3e=3（x﹣e），‎ 即y=3x．‎ ‎　‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．‎ ‎（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；‎ ‎（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由于ρsin2θ=4cosθ，‎ 所以ρ2sin2θ=4ρcosθ，即y2=4x，‎ 因此曲线C表示顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线．‎ ‎（Ⅱ），化为普通方程为y=2x﹣1，‎ 代入y2=4x，‎ 并整理得4x2﹣8x+1=0，‎ 所以，‎ ‎=，‎ ‎=．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．‎ ‎（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；‎ ‎（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）当时，，‎ ‎∴，∴．∴，‎ ‎∴，当且仅当m=n时等号成立，‎ ‎∵m，n＞0，解得，当且仅当m=n时等号成立，‎ 故m+n的最小值为．‎ ‎（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，‎ 当x∈[﹣1，2]时，有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x，‎ ‎∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1，2]恒成立，‎ 当时，a（1﹣2x）≥1﹣2x，∴a≥1；‎ 当时，a（2x﹣1）≥1﹣2x，∴a≥﹣1．‎ 综上：a≥1．‎ 故实数a的取值范围是[1，+∞）．‎ ‎　‎