河南省九师联盟2020届高三上学期核心模拟卷数学（理）试题（五） Word版含解析 27页

www.ks5u.com ‎2019~2020学年高三核心模拟卷（上）‎ 数学理科（五）‎ 注意事项：‎ ‎1．本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡，上的指定位置.‎ ‎2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.‎ ‎5．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. 或 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合和，求出，再求出即可.‎ 详解】依题意，得，，‎ 所以或，所以．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，指数不等式的解法，集合的补集和交集运算，属于基础题.‎ - 27 -‎ ‎2.设（是虚数单位），则（ ）‎ A. B. 4 C. 20 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，代入得，再根据模长公式可求得.‎ ‎【详解】因为，则，‎ 所以，‎ 则．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了共轭复数，考查了复数的代数运算和模长公式，属于基础题.‎ ‎3.某学校食堂对30名高三学生偏爱蔬菜与偏爱肉类进行了一次调查，将统计数据制成如下表格：‎ 偏爱蔬菜 偏爱肉类 男生／人 ‎4‎ ‎8‎ 女生／人 ‎16‎ ‎2‎ 则认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关的把握至少有（ ）‎ 附：．‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ - 27 -‎ A 95% B. 99% C. 99.5% D. 99.9%‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出列联表，根据公式计算出观测值，对照临界值表可得出结论.‎ ‎【详解】由已知，列联表为 偏爱蔬菜 偏爱肉类 合计 男生／人 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ 女生／人 ‎16‎ ‎2‎ ‎18‎ 合计 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 则的观测值，‎ 故至少有99.5%的把握认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验，解题关键是计算出观测值，属于基础题.‎ ‎4.已知抛物线，圆，则圆心到抛物线的准线的距离为（ ）‎ A. 5 B. 4 C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线方程求出准线方程，由圆的标准方程求出圆心坐标，从而可求得圆心到抛物线的准线的距离.‎ - 27 -‎ ‎【详解】因为抛物线方程为，所以准线方程为，‎ 圆的圆心坐标为，‎ 所以到抛物线的准线的距离为5．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了圆的标准方程，属于基础题.‎ ‎5.函数的图象大致是　　‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性和代入特殊点即可选出答案．‎ ‎【详解】函数，可得，可知是偶函数，排除A；‎ ‎，当时，即时，有两个零点，时，可得；排除B；‎ 当或时，可得，图象逐渐走低；‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数奇偶性及图象变换，属于中档题．‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，则输出的是（ ）‎ - 27 -‎ A. -3 B. -1 C. 1 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据框图可得程序是求数列的前999项的和再加上2，由可得到答案.‎ ‎【详解】根据框图的运行可得：程序是2加上数列的前999项的和.‎ 又 所以 ‎ ‎ ‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查程序框图中的循环和裂项相消法求和，属于中档题.‎ ‎7.已知实数，满足不等式组，若目标函数的最大值为5，则（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 27 -‎ 作出可行域，结合图形找到最优解，并代入目标函数即可得到结果.‎ ‎【详解】不等式组表示的平面区域为如图中的（包括边界），‎ 易求得，．‎ 因为的最大值为5，‎ 由图知，平移直线，当经过点处取得最大值，‎ 即，得．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划中由最大值求参数，解题关键是结合图形找到最优解，属于基础题.‎ ‎8.如图，，分别是大圆的两条相互垂直的直径，4个小圆的直径分别为，，，，若向大圆内部随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设大圆的半径为2，根据圆的面积公式、扇形的面积公式和三角形的面积公式计算出阴影部分的面积，再用几何概型的概率公式可求得结果.‎ ‎【详解】不妨设大圆的半径为2，则大圆的面积为，小圆的半径为1，‎ - 27 -‎ 如图，设图中阴影部分面积为，由图形的对称性知，．‎ 又，‎ 则所求概率为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了圆的面积公式、扇形的面积公式和三角形的面积公式，考查了几何概型的概率公式，属于基础题.‎ ‎9.已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将利用二倍角的余弦公式和正弦公式变形可得，再根据诱导公式可得，然后根据角的范围以及同角公式可求得结果.‎ ‎【详解】因为 - 27 -‎ 所以．‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了二倍角的正弦和余弦公式，考查了诱导公式和同角公式，属于基础题.‎ ‎10.已知函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据图形得到，，再根据周期公式得到，将代入解析式得到，再解三角不等式可得结果.‎ - 27 -‎ ‎【详解】由图知，，函数的最小正周期，‎ 由，以及得，‎ 所以．‎ 因为点在图象上，所以．所以，，‎ 因为，所以，即．‎ 由，得，‎ 所以，‎ 解得，‎ 即不等式的解集为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了由三角函数的图像求解析式，考查了解简单的三角不等式，属于中档题.‎ ‎11.在三棱锥中，，，，，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的体积为（ ）‎ A. B. C. π D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设的中点为，的中点为，连接，，．根据已知条件可以推出为棱锥外接球的球心，再根据计算可得.‎ - 27 -‎ ‎【详解】‎ 如图，设的中点为，的中点为，连接，，．‎ 因为，，，‎ 所以，‎ 所以．所以为棱锥外接球球心，设半径为，‎ 又，且，‎ 所以，，‎ 则．‎ 又由，且可证平面，‎ 所以，解得．‎ 所以外接球的体积．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了三棱锥的体积公式，考查了球的体积公式，解题关键是找到球心，属于基础题.‎ ‎12.已知双曲线右焦点为，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，抛物线的焦点为，若为锐角三角形，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D - 27 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，可得，根据离心率公式可得，又，可得.‎ ‎【详解】在抛物线中，，‎ 在双曲线中，当时，，取．‎ 因为是锐角三角形，所以，‎ 则，即．‎ 因为双曲线中，‎ 所以，所以，‎ 解得，所以．‎ 因为，则，‎ 所以双曲线的离心率的取值范围是．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了双曲线的离心率，属于基础题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知向量，，若，则向量在向量上的投影为_________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 27 -‎ 根据可以求出，再根据向量在向量上的投影的定义可求得结果.‎ ‎【详解】由已知，得，‎ 因为，所以，‎ 即，所以，所以，‎ 所以，‎ 故向量在向量上的投影为．‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】本题考查了向量的模长公式，考查了向量在向量上的投影，属于基础题.‎ ‎14.已知的展开式中各项系数之和为0，则该展开式的常数项是_________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令得，根据展开式的通项求出与常数项即可得到答案.‎ ‎【详解】令，则有，所以．‎ 又展开式的通项为，‎ 令得，则；‎ 令得，则，‎ 故展开式的常数项为．‎ 故答案为：9‎ - 27 -‎ ‎【点睛】本题考查了求二项展开式的指定项，转化为求的展开式的和常数项是解题关键，属于基础题.‎ ‎15.已知函数若函数有且仅有三个零点，则实数的取值范围是_________．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 转化为函数与函数的图象有三个不同的交点，再转化为的斜率为的切线，结合图形可得答案.‎ ‎【详解】函数有三个零点等价于方程有三个不同的根， ‎ 即函数与函数的图象有三个不同的交点，‎ 在同一坐标系内作出两个函数图象，如图： ‎ 设直线与函数相切于，‎ ‎，则，‎ 解得（舍去）或，‎ - 27 -‎ 所以，‎ 所以，解得．‎ 结合图象可知，实数的取值范围是．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了函数与方程思想，转化化归思想，数形结合思想，考查了导数的几何意义，属于中档题.‎ ‎16.在中，角，，所对的边分别为，，，是的中点，若，且，则当取最大值时的周长为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别在和中，由余弦定理以及可得，由及正弦定理得，可得，消去可得，由基本不等式可得取最大值时，，从而可得结果.‎ 详解】如图，设，则．‎ 在和中，分别由余弦定理可得 - 27 -‎ ‎，，‎ 又 所以，‎ 所以，①‎ 由及正弦定理得 ‎，‎ 整理得，②‎ 由余弦定理的推论可得，所以．‎ 把①代入②整理得，‎ 又，当且仅当时等号成立，‎ 所以，‎ 所以，即时等号成立．‎ 此时，即，‎ 所以当取最大值时的周长为．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了余弦定理，考查了正弦定理角化边，考查了基本不等式，属于中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ - 27 -‎ ‎17.已知数列的前项和为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若等比数列满足，，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用可得答案；‎ ‎（2）求出，，然后分组，利用等差、等比数列的前项和公式计算可得结果.‎ ‎【详解】（1）因为在数列中，，‎ 所以，‎ 两式相减得，即，‎ 当时，，‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）知，，，‎ 因为数列是等比数列，设公比为，所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以 - 27 -‎ ‎．‎ ‎【点睛】本题考查了由求，考查了等比数列的通项公式，考查了等差、等比数列的前项和公式，考查了分组求和，属于基础题.‎ ‎18.某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准，用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为此，政府调查了100户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示，用电量在的居民户数比用电量在的居民户数多11户．‎ ‎（1）求直方图中，的值；‎ ‎（2）（i）用样本估计总体，如果希望至少85%的居民月用电量低于标准，求月用电量的最低标准应定为多少度，并说明理由；‎ ‎（ii）若将频率视为概率，现从该市所有居民中随机抽取3户，其中月用电量低于（i）中最低标准的居民户数为，求的分布列及数学期望．‎ ‎【答案】（1）；（2）（i）最低标准应定为260度，见解析（ii）分布列见解析，2.55‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据7个矩形的面积和为1以及用电量在的居民户数比用电量在的居民户数多11户列方程组成方程组可解得结果；‎ - 27 -‎ ‎（2）（i）根据直方图计算出样本中月用电量不低于260度的居民户数有户，占样本总的15%，由此可得结果为260度；‎ ‎（i）根据题意分析可得，利用二项分布的概率公式可得分布列和数学期望.‎ ‎【详解】（1）由题意，得，‎ 所以．‎ ‎（2）（i）样本中月用电量不低于260度的居民户数有户，占样本总的15%，用样本估计总体，要保证至少85%的居民月用量低于标准，故最低标准应定为260度．‎ ‎（i）因为，所以． ‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以．‎ 或．‎ ‎【点睛】本题考查了概率的性质，考查了频率分布直方图，考查了二项分布的分布列和数学期望，属于中档题.‎ ‎19.如图，在正方体中，点为的中点，为的中点.‎ - 27 -‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，平面的法向量，，得到证明.‎ ‎（2）计算平面的法向量，平面的法向量，计算夹角得到答案.‎ ‎【详解】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 设，则，，‎ ‎，平面的法向量，‎ ‎∵，平面，∴平面.‎ ‎（2），，，，，‎ ‎，，，，‎ 设平面的法向量，‎ 则，取，得，‎ 设平面的法向量，‎ - 27 -‎ 则，取得，得，‎ 设二面角的平面角为，‎ 则二面角的余弦值为.‎ ‎、‎ ‎【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎20.已知函数，若曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）证明：．‎ ‎【答案】（1），；（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据导数的几何意义以及切线方程列方程组可解得结果；‎ ‎（2）根据在区间上单调递增，且，，可得有唯一实根，记为，则．利用导数可知，又，所以.‎ ‎【详解】（1）由，则，‎ - 27 -‎ ‎，．‎ 又曲线在点处的切线方程为，‎ 所以，‎ 解得，．‎ 证明：（2）由（1）知，则．‎ 因为在区间上单调递增，‎ 且易得，，‎ 由零点存在性定理知有唯一实根，记为，则．‎ 由得，整理得．‎ 因为当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数单调递增，‎ 所以．‎ 因为在上单调递减，，‎ 所以，所以，即．‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了零点存在性定理，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题.‎ ‎21.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上、下顶点分别为，，直线的倾斜角为，椭圆上的点到焦点的最大距离为3．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若经过左焦点的直线与椭圆交于，两点，且，两点均在 - 27 -‎ 轴的左侧，记和的面积分别为和，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据直线的倾斜角为可得，椭圆上的点到焦点的最大距离为3，可得，再结合可解得，，从而可得椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）①当直线斜率不存在时，；②当直线斜率存在时，设直线方程为，，，显然的，同号，联立，根据韦达定理求得，再根据函数在上单调递增可求得，进一步求得.‎ ‎【详解】（1）因为椭圆方程为，直线的倾斜角为，‎ 所以在中（为坐标原点），，所以，‎ 因为椭圆上的点到焦点的最大距离为3，‎ 所以，所以．‎ 因为，‎ 所以，解得或，‎ - 27 -‎ 又，所以，，‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）①当直线斜率不存在时，直线方程为，‎ 此时，，与的面积相等，．‎ ‎②当直线斜率存在时，因为，两点均在轴的左侧，‎ 设直线方程为，，，显然的，同号，‎ 由，得，‎ 显然，方程有实根，‎ 由韦达定理知的，，‎ 又，所以或，‎ 此时 因为或，所以．‎ 因为函数在上单调递增，所以，‎ 所以，‎ - 27 -‎ 所以．‎ 当直线的斜率存在时，．‎ 综上所述，的取值范围为．‎ ‎【点睛】本题考查了根据椭圆的几何性质求椭圆方程，考查了分类讨论思想，考查了三角形的面积公式，考查了韦达定理，考查了运算求解能力，考查了利用函数的单调性求最值，属于中档题.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数）．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于，两点，求的长．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）消去参数可得直线的普通方程为，利用互化公式，，可得曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）根据圆的性质，利用点到直线的距离公式和勾股定理可求得结果.‎ ‎【详解】（1）直线参数方程为，（为参数），消去参数，‎ - 27 -‎ 得直线的普通方程为．‎ 曲线的极坐标方程为，‎ 展开为，所以．‎ 因为，，，‎ 所以，‎ 所以曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）由（1）知，圆的半径为，‎ 由点到直线的距离公式得，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程化普通方程，极坐标方程化直角坐标方程，考查了圆的性质，点到直线的距离公式，属于基础题.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数．‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用公式法去绝对值可得，化简可得结果；‎ ‎（2）将恒成立转化为 - 27 -‎ 的最小值成立，利用基本不等式可求得的最小值为4，再解即可得到答案.‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ 所以，解得．‎ 所以不等式的解集为．‎ ‎（2）恒成立，‎ 即恒成立，‎ 因为，且．‎ 当且仅当，即或时等号成立．‎ 所以，解得，‎ 即实数的取值范围是．‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了不等式恒成立转化为最值成立，考查了基本不等式求和的最小值，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.‎ - 27 -‎ - 27 -‎