2009年湖南省高考数学试卷（文科）【word版本、可编辑、附详细答案和解释】 6页

‎2009年湖南省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）‎ ‎1. log‎2‎‎2‎的值为（ ）‎ A.‎-‎‎2‎ B.‎2‎ C.‎-‎‎1‎‎2‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎2. 抛物线y‎2‎‎=4x的焦点坐标是（ ）‎ A.‎(4, 0)‎ B.‎(2, 0)‎ C.‎(1, 0)‎ D.‎‎(‎1‎‎2‎，0)‎ ‎3. 设Sn是等差数列‎{an}‎的前n项和，已知a‎2‎‎=3‎，a‎6‎‎=11‎，则S‎7‎等于（ ）‎ A.‎13‎ B.‎35‎ C.‎49‎ D.‎‎63‎ ‎4. 如图，D，E，F分别是‎△ABC的边AB，BC，CA的中点，则（ ）‎ A.AD‎→‎‎+DF‎→‎+CF‎→‎=‎‎0‎‎→‎ B.‎BD‎→‎‎-CF‎→‎+DF‎→‎=‎‎0‎‎→‎ C.AD‎→‎‎+CE‎→‎-CF‎→‎=‎‎0‎‎→‎ D.‎BD‎→‎‎-BE‎→‎-FC‎→‎=‎‎0‎‎→‎ ‎5. 某地政府召集‎5‎家企业的负责人开会，已知甲企业有‎2‎人到会，其余‎4‎家企业各有‎1‎人到会，会上有‎3‎人发言，则这‎3‎人来自‎3‎家不同企业的可能情况的种数为（ ）‎ A.‎14‎ B.‎16‎ C.‎20‎ D.‎‎48‎ ‎6. 平行六面体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中，既与AB共面也与CC‎1‎共面的棱的条数为（ ）‎ A.‎3‎ B.‎4‎ C.‎5‎ D.‎‎6‎ ‎7. 若函数y=f(x)‎的导函数在区间‎[a, b]‎上是增函数，则函数y=f(x)‎在区间‎[a, b]‎上的图象可能是(        )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎8. 设函数f(x)‎在‎(-∞, +∞)‎内有定义，对于给定的正数K，定义函数fK‎(x)=‎f(x),f(x)≤K，‎K,f(x)>K.‎取函数f(x)=‎‎2‎‎-|x|‎，当K=‎‎1‎‎2‎时，函数fK‎(x)‎的单调递增区间为‎(‎         ‎‎)‎ A.‎(-∞, 0)‎ B.‎(0, +∞)‎ C.‎(-∞, -1)‎ D.‎‎(1, +∞)‎ 二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）‎ ‎9. 某班共‎30‎人，其中‎15‎人喜爱篮球运动，‎10‎人喜爱乒乓球运动，‎8‎人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．‎ ‎10. 若x>0‎，则x+‎‎2‎x的最小值为________．‎ ‎11. 在‎(1+‎x‎)‎‎4‎的展开式中，x的系数为________．‎ ‎12. 一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为‎10‎的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为‎1‎‎12‎，则总体中的个体数为________．‎ ‎13. 过双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0, b>0)‎的一个焦点作圆x‎2‎‎+y‎2‎=‎a‎2‎的两条切线，切点分别为A、B．若‎∠AOB=‎‎120‎‎∘‎（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为________．‎ ‎14. 在锐角‎△ABC中，BC=1‎，B=2A，则ACcosA的值等于________，AC的取值范围为________．‎ ‎15. 如图所示，把两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD‎→‎‎=xAB‎→‎+yAC‎→‎，则x=‎________，y=‎________．‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16. 已知向量a‎→‎‎=(sinθ, cosθ-2sinθ)‎，b‎→‎‎=(1, 2)‎．‎ ‎（1）若a‎→‎‎ // ‎b‎→‎，求tanθ的值；‎ ‎（2）若‎|a‎→‎|=|b‎→‎|，0<θ<π，求θ的值．‎ ‎17. 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的‎1‎‎2‎，‎1‎‎3‎，‎1‎‎6‎，现在‎3‎名工人独立地从中任选一个项目参与建设，选择哪个工程是随机的．‎ ‎（1）求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；‎ ‎（2）记X为‎3‎人中选择的项目属于基础设施工程的人数，求X的分布列及数学期望．‎ ‎18. 如图，在正三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎中，AB=4‎，AA‎1‎=‎‎7‎，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A‎1‎E．‎ ‎（1）证明：平面A‎1‎DE⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎；‎ ‎（2）求直线AD和平面A‎1‎DE所成角的正弦值．‎ ‎19. 已知函数f(x)=x‎3‎+bx‎2‎+cx的导函数的图象关于直线x=2‎对称．‎ ‎（1）求b的值；‎ ‎（2）若f(x)‎在x=t处取得极小值，记此极小值为g(t)‎，求g(t)‎的定义域和值域．‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 ‎20. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为‎8‎的正方形（记为Q）‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M、N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围．‎ ‎21. 对于数列‎{un}‎若存在常数M>0‎，对任意的n∈‎N‎+‎，恒有‎|un+1‎-un|+|un-un‎1‎|+...+|u‎2‎-u‎1‎|≤M则称数列un为B‎-‎数列 ‎（1）首项为‎1‎，公比为‎-‎‎1‎‎2‎的等比数列是否为B-‎数列？请说明理由；‎ ‎（2）设sn是数列‎{xn}‎的前n项和，给出下列两组判断：‎ A组：①数列‎{xn}‎是B-‎数列．      ②数列‎{xn}‎不是B-‎数列．‎ B组  ③数列‎{sn}‎是B-‎数列．      ④数列‎{sn}‎不是B-‎数列 请以其中一组的一个论断条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题判断所给命题的真假，并证明你的结论；‎ ‎（3）若数列‎{an}‎是B‎-‎数列，证明：数列‎{an‎2‎}‎也是B‎-‎数列．‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 参考答案与试题解析 ‎2009年湖南省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）‎ ‎1.D ‎2.C ‎3.C ‎4.A ‎5.B ‎6.C ‎7.A ‎8.C 二、填空题（共7小题，每小题5分，满分35分）‎ ‎9.‎‎12‎ ‎10.‎2‎‎2‎．‎ ‎11.‎‎6‎ ‎12.‎‎120‎ ‎13.‎‎2‎ ‎14.‎2‎,‎‎(‎2‎,‎3‎)‎ ‎15.‎1+‎‎3‎‎2‎,‎‎3‎‎2‎ 三、解答题（共6小题，满分75分）‎ ‎16.解：（1）∵ ‎a‎→‎‎ // ‎b‎→‎ ‎∴ ‎2sinθ=cosθ-2sinθ即‎4sinθ=cosθ ‎∴ ‎tanθ=‎‎1‎‎4‎ ‎（2）由‎|a‎→‎|=|b‎→‎|‎ ‎∴ ‎sin‎2‎θ+(cosθ-2sinθ‎)‎‎2‎=5‎ 即‎1-2sin2θ+4sin‎2‎θ=5‎化简得sin2θ+cos2θ=-1‎ 故有sin(2θ+π‎4‎)=-‎‎2‎‎2‎ 又∵ θ∈(0, π)‎∴ ‎‎2θ+π‎4‎∈(π‎4‎, ‎9‎‎4‎π)‎ ‎∴ ‎2θ+π‎4‎=‎5‎‎4‎π或‎2θ+π‎4‎=‎7‎‎4‎π ‎∴ θ=‎π‎2‎或θ=‎3‎‎4‎π ‎17.解：（1）‎3‎名工人独立地从中任选一个项目参与建设 设一次选择基础设施工程、民生工程和产业建设工程依次为事件A、B、C．‎ 则P(A)=‎1‎‎2‎，P(B)=‎1‎‎3‎，P(C)=‎‎1‎‎6‎，‎ 他们选择的项目所属类别互不相同的概率是：‎ A‎3‎‎3‎‎⋅P(A)⋅P(B)⋅P(C)=6×‎1‎‎2‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎6‎=‎‎1‎‎6‎ ‎（2）由题意知X为‎3‎人中选择的项目属于基础设施工程的人数，‎ X的取值为：‎0‎，‎1‎，‎2‎，‎3‎．‎ P(X=0)=(‎1‎‎3‎‎)‎‎3‎+C‎3‎‎2‎×(‎1‎‎3‎‎)‎‎2‎×‎1‎‎6‎+C‎3‎‎1‎×‎1‎‎3‎×(‎1‎‎6‎‎)‎‎2‎+(‎1‎‎6‎‎)‎‎3‎=‎‎1‎‎8‎‎；‎ P(X=1)=C‎3‎‎1‎×‎1‎‎2‎×[(‎1‎‎3‎‎)‎‎2‎+C‎2‎‎1‎×‎1‎‎3‎×‎1‎‎6‎+(‎1‎‎6‎‎)‎‎2‎]=‎‎3‎‎8‎‎；‎ P(X=2)=C‎3‎‎2‎×(‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎×(‎1‎‎3‎+‎1‎‎6‎)=‎‎3‎‎8‎‎；‎ P(X=3)=(‎1‎‎2‎‎)‎‎3‎=‎‎1‎‎8‎‎．‎ ‎∴ X的分布列为：‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎1‎‎8‎ ‎3‎‎8‎ ‎3‎‎8‎ ‎1‎‎8‎ ‎∴ EX=0×‎1‎‎8‎+1×‎3‎‎8‎+2×‎3‎‎8‎+3×‎1‎‎8‎=‎‎3‎‎2‎．‎ ‎18.解：（1）如图所示，由正三棱柱ABC-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎的性质知AA‎1‎⊥‎平面A‎1‎B‎1‎C‎1‎ 又DE⊂‎平面A‎1‎B‎1‎C‎1‎，‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 所以DE⊥AA‎1‎．‎ 而DE⊥AE．AA‎1‎∩AE=A，‎ 所以DE⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎，‎ 又DE⊂‎平面A‎1‎DE，‎ 故平面A‎1‎DE⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎．‎ ‎（2）过点A做AF垂直A‎1‎E于F，连接DF，‎ 由（1）知：平面A‎1‎DE⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎．‎ 所以AF⊥‎平面A‎1‎DE，‎ 则‎∠ADF即为直线AD和平面A‎1‎DE所成角，‎ 因为DE⊥‎平面ACC‎1‎A‎1‎．‎ 所以DE⊥AC，‎ 而‎△ABC是边长为‎4‎的正三角形，‎ 所以AD=2‎‎3‎，AE=4-CE=4-‎1‎‎2‎CD=3‎，‎ 又因为AA‎1‎=‎‎7‎，‎ 所以A‎1‎E=AA‎1‎‎2‎+AE‎2‎=‎(‎7‎‎)‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎=4‎，‎ AF=AE⋅AA‎1‎A‎1‎E=‎‎3‎‎7‎‎4‎‎，‎ 所以sin∠ADF=AFAD=‎‎21‎‎8‎，‎ 故直线AD和平面A‎1‎DE所成角的正弦值为‎21‎‎8‎ ‎19.解：（1）‎f'(x)=3x‎2‎+2bx+c 因为函数f'(x)‎的图象关于直线x=2‎对称，‎ 所以‎-‎2b‎6‎=2‎，于是b=-6‎ ‎（2）由‎(I)‎知，‎f(x)=x‎3‎-6x‎2‎+cx f'(x)=3x‎2‎-12x+c=3(x-2‎)‎‎2‎+c-12‎ ‎(I)‎当c≥12‎时，f'(x)≥0‎，此时f(x)‎无极值．‎ ‎(II)‎当c<12‎时，f'(x)=0‎有两个互异实根x‎1‎，x‎2‎．‎ 不妨设x‎1‎‎<‎x‎2‎，则x‎1‎‎<2<‎x‎2‎．‎ 当x<‎x‎1‎时，f'(x)>0‎，f(x)‎在区间‎(-∞, x‎1‎)‎内为增函数；‎ 当x‎1‎‎‎x‎2‎时，f'(x)>0‎，f(x)‎在区间‎(x‎2‎, +∞)‎内为增函数．‎ 所以f(x)‎在x=‎x‎1‎处取极大值，在x=‎x‎2‎处取极小值．‎ 因此，当且仅当c<12‎时，函数f(x)‎在x=‎x‎2‎处存在唯一极小值，所以t=x‎2‎>2‎．‎ 于是g(t)‎的定义域为‎(2, +∞)‎．‎ 由f'(t)=3t‎2‎-12t+c=0‎得c=-3t‎2‎+12t．‎ 于是g(t)=f(t)=t‎3‎-6t‎2‎+ct=-2t‎3‎+6‎t‎2‎，t∈(2, +∞)‎．‎ 当t>2‎时，‎g'(t)=-6t‎2‎+12t=6t(2-t)<0‎ 所以函数g(t)‎在区间‎(2, +∞)‎内是减函数，‎ 故g(t)‎的值域为‎(-∞, 8)‎ ‎20.解：（1）设椭圆C的方程为x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎．‎ 第9页 共12页 ◎ 第10页 共12页 ‎∵ 以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为‎8‎的 正方形，‎ ‎∴ b=c，‎(‎2‎b‎)‎‎2‎=8‎，‎ ‎∴ b=c=2‎，a‎2‎‎=b‎2‎+c‎2‎=8‎．‎ ‎∴ x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎．‎ ‎（2）椭圆C的左准线方程为：x=-4‎．∴ P(-4, 0)‎，设直线l的方程为 y=k(x+4)‎‎，M(x‎1‎, y‎1‎)‎，N(x‎2‎, y‎2‎)‎，线段MN的中点G(x‎0‎, y‎0‎)‎．‎ 由y=k(x+4)‎x‎2‎‎+2y‎2‎=8‎化为‎(1+2k‎2‎)x‎2‎+16k‎2‎x+32k‎2‎-8=0‎，①‎ 由‎△=256k‎4‎-4(1+32k‎2‎)(32k‎2‎-8)>0‎，解得‎-‎2‎‎2‎