2014年高考数学（文科）真题分类汇编M单元　推理与证明 4页

‎ 数 学 M单元　推理与证明 ‎ M1　合情推理与演绎推理 ‎16．A1，M1[2014·福建卷] 已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则‎100a＋10b＋c等于________．‎ ‎16．201　[解析] (i)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c＝0，由①正确得a＝1，所以b＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．‎ ‎(ii)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a＝2，与②正确矛盾，故②不正确．‎ ‎(iii)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a＝2，由②不正确及③正确得b＝0，c＝1，故③正确．‎ 则‎100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.‎ ‎14．M1[2014·全国新课标卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市．乙说：我没去过C城市．丙说：我们三人去过同一城市．‎ 由此可判断乙去过的城市为________．‎ ‎14．A　[解析] 由甲没去过B城市，乙没去过C城市，而三人去过同一城市，可知三人去过城市A，又由甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只去过A城市．‎ ‎14．M1[2014·陕西卷] 已知f(x)＝，x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，则f2014(x)的表达式为________．‎ ‎14.　[解析] 由题意，得f1(x)＝f(x)＝，‎ f2(x)＝＝，f3(x)＝，…，‎ 由此归纳推理可得f2014(x)＝.‎ M2　直接证明与间接证明 ‎21．B12、M2[2014·湖南卷] 已知函数f(x)＝xcos x－sin x＋1(x＞0)．‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)记xi为f(x)的从小到大的第i(i∈N*)个零点，证明：对一切n∈N*，有＋＋…＋＜.‎ ‎21．解： (1)f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.‎ 令f′(x)＝0，得x＝kπ(k∈N*)．‎ 当x∈(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)时，sin x>0，此时f′(x)<0; ‎ 当x∈((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)时，sin x<0，此时f′(x)>0.‎ 故f(x)的单调递减区间为(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)，单调递增区间为((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)．‎ ‎(2)由(1)知，f(x)在区间(0，π)上单调递减．又f＝0，故x1＝.‎ 当n∈N*时，因为 f(nπ)f＝[(－1)nnπ＋1][(－1)n＋1(n＋1)π＋1]＜0，‎ 且函数f(x)的图像是连续不断的，所以f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)内至少存在一个零点．又f(x)在区间(nπ，(n＋1)π)上是单调的，故 nπ＜xn＋1＜(n＋1)π.‎ 因此，当n＝1时，＝＜；‎ 当n＝2时，＋＜(4＋1)＜；‎ 当n≥3时，‎ ＋＋…＋< ‎＜＜ ‎＝＜＜.‎ 综上所述，对一切n∈N*，＋＋…＋＜.‎ M3 数学归纳法 ‎23．B11、M3[2014·江苏卷] 已知函数f0(x)＝(x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.‎ ‎(1)求‎2f1＋f2的值；‎ ‎(2)证明：对任意的n∈N*，等式＝都成立．‎ ‎23．解： (1)由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝′＝－，‎ 于是f2(x)＝f1′(x)＝′－′＝‎ ‎－－＋，‎ 所以f1＝－，f2＝－＋.‎ 故‎2f1＋f2＝－1.‎ ‎(2)证明：由已知得，xf0(x)＝sin x，等式两边分别对x求导，得f0(x)＋xf0′(x)＝cos x，‎ 即f0(x)＋xf1(x)＝cos x＝sin.‎ 类似可得 ‎2f‎1(x)＋xf2(x)＝－sin x＝sin(x＋π)，‎ ‎3f‎2(x)＋xf3(x)＝－cos x＝sin，‎ ‎4f‎3(x)＋xf4(x)＝sin x＝sin(x＋2π)．‎ 下面用数学归纳法证明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立．‎ ‎(i)当n＝1时，由上可知等式成立．‎ ‎(ii)假设当n＝k时等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sin.‎ 因为[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kfk－1′(x)＋fk(x)＋xfk′(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，‎ ′＝cos·′＝sin，‎ 所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sin，‎ 因此当n＝k＋1时，等式也成立．‎ 综合(i)(ii)可知，等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin对所有的n∈N*都成立．‎ 令x＝，可得nfn－1＋fn＝sin(n∈N*)，‎ 所以＝ (n∈N*)．‎ ‎ M4 单元综合 ‎5．[2014·湖南长郡中学月考] 记Sk＝1k＋2k＋3k＋…＋nk，当k＝1，2，3，…时，观察下列等式：S1＝n2＋n，S2＝n3＋n2＋n，S3＝n4＋n3＋n2，S4＝n5＋n4＋n3－n，S5＝n6＋n5＋n4＋An2，…由此可以推测A＝____________．‎ ‎5．－　[解析] 根据所给等式可知，各等式右边的各项系数之和为1，所以＋＋＋A＝1，解得A＝－.‎ ‎6．[2014·日照一中月考] 二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S.已知四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.‎ ‎6．2πr4　[解析] 因为W′＝8πr3，所以W＝2πr4.‎ ‎7．[2014·甘肃天水一中期末] 观察下列等式：‎ ‎(1＋1)＝2×1；‎ ‎(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；‎ ‎(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5.‎ 照此规律，第n个等式为________________________________________________________________________．‎ ‎7．(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)‎ ‎[解析] 观察等式规律可知第n个等式为(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n×1×3×5×…×(2n－1)．‎ ‎8．[2014·南昌调研] 已知整数对的序列为(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，…，则第57个数对是________．‎ ‎8．(2，10)　[解析] 由题意，发现所给序数列有如下规律：‎ ‎(1，1)的和为2，共1个；‎ ‎(1，2)，(2，1)的和为3，共2个；‎ ‎(1，3)，(2，2)，(3，1)的和为4，共3个；‎ ‎(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和为5，共4个；‎ ‎(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和为6，共5个．‎ 由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2，10)．‎ ‎9．[2014·福州模拟] 已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a>1)的图像上任意不同的两点，依据图像可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图像的上方，因此有结论>a成立．运用类比的思想方法可知，若点A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函数y＝sin x(x∈(0，π))的图像上任意不同的两点，则类似地有________________成立．‎ ‎9.