【数学】甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高一4月月考试题（解析版） 14页

甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高一4月月考 数学试题 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上．）‎ ‎1.下列各个角中与2020°终边相同的是( )‎ A. B. 680° C. 220° D. 320°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】由题,,‎ 故选:C ‎2.用秦九韶算法计算多项式在时的值时，的值为（ ）‎ A. 2 B. ‎19 ‎C. 14 D. 33‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意，所以,‎ 所以,.‎ 故选C.‎ ‎3.下列程序执行后输出的结果是（ ）‎ A. 1 B. ‎0 ‎C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】初始条件：，显然成立，进入循环体：，显然成立，进入循环体：，显然成立，进入循环体：，显然成立，进入循环体：‎ ‎，显然不成立，退出循环体，所以输出的值，即.‎ 故选：A ‎4.下列各进制中，最大的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，‎ ‎ ，所以选 D.‎ ‎5.从2 004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面方法选取：先用简单随机抽样从2 004人中剔除4人，剩下的2 000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率(　　)‎ A. 不全相等 B. 均不相等 C. 都相等，且为 D. 都相等，且为 ‎【答案】C ‎【解析】简单随机抽样，系统抽样和分层抽样都是等概率抽样，每个个体被抽到的概率都相等，都等于，其中N是个体总数，n是被抽到的个体数．‎ 考点：抽样方法 ‎6.一钟表的秒针长，经过，秒针的端点所走的路线长为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为，‎ 因此，秒针的端点所走的路线长.‎ 故选：C.‎ ‎7.如果数据，方差是的 平均数和方差分别是 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查统计知识,样本特征数,平均数和方差的概念和计算.‎ ‎;则 的平均数为方差为 故选B ‎8.已知，则角的终边在（ ）‎ A. 第二象限 B. 第三象限 ‎ C. 第二象限或第四象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】由，，故在第二象限或第四象限，‎ 当在第二象限时，，，不符合题意，舍去；‎ 当在第四象限时，，，符合题意；‎ 综上所述，角的终边在第四象限 故答案为：D ‎9.利用随机数表法对一个容量为500编号为000，001，002，，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第5列的数开始向右读数，（下面摘取了随机数表中的第11行至第15行），根据图，读出的第3个数是（ ）‎ ‎18 18 07 92 45 44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 06 76 50 03 10 55 23 64 05 05‎ ‎26 62 38 97 75 84 16 07 44 99 83 11 46 32 24 20 14 85 88 45 10 93 72 88 71‎ ‎23 42 40 64 74 82 97 77 77 81 07 45 32 14 08 32 98 94 07 72 93 85 79 10 75‎ ‎52 36 28 19 95 50 92 26 11 97 00 56 76 31 38 80 22 02 53 53 86 60 42 04 53‎ ‎37 85 94 35 12 83 39 50 08 30 42 34 07 96 88 54 42 06 87 98 35 85 29 48 39‎ A. 841 B. ‎114 ‎C. 014 D. 146‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知随机数表法的使用方法进行选择编号分别为：389，449，114，242，，因此第3个数是114.‎ 故选：B ‎10.如图给出的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内应填入的条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知由加到需要进行即当时运算就结束了 故选C.‎ ‎11.考虑一元二次方程，其中、的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，则方程有实根的概率（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为 将一枚骰子连掷两次先后出现的点数共有种情况，方程有实根时，满足条件的共有种情况，所以根据古典概型概率公式可得方程有实根的概率为，故选A.‎ ‎12.《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一.其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积（弦乘矢+矢乘矢），弧田是由圆弧（简称为弧田的弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称 （弧田的弦）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田的弦长，“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差.现有一弧田，其弦长等于，其弧所在圆为圆，若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，作出示意图得 点为弦的中点，则，设，设该圆的半径为，‎ ‎∴，∵，∴，‎ 由题意，“弦”指，“矢”指，‎ ‎∵该弧田的面积为，‎ ‎∴，‎ 即，解得，或（舍去），‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴，∴，‎ 故选：D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案写在答题卡上．）‎ ‎13.在空间直角坐标系中，设点是点关于坐标平面的对称点，点关于轴对称点，则线段的长度等于__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为点是点关于坐标平面的对称点，所以，又因为点关于轴对称点，所以.‎ 因此.‎ 故答案为：‎ ‎14.甲、乙、丙三人进行传球练习，共传球三次，球首先从甲手中传出，则第3次球恰好传回给甲的概率是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法 所有传球方法共有：‎ 甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；‎ 甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；‎ 则共有8种传球方法．‎ 记求第3次球恰好传回给甲的事件为A，可知共有两种情况，，而总的事件数是8，‎ ‎∴P(A)==.‎ 故答案为 ‎15.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知,,,,,,,则在扇形中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】记“在扇形中随机取一点,此点取自阴影部分”为事件 设,则，根据勾股定理,得，解得：‎ ‎，，‎ 由几何概型概率计算公式，得.‎ ‎16.设函数，则的定义域为__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】由题意可知：，‎ 故答案为：或.‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：‎ 甲：82，81，79，78，95，88，93，84；乙：92，95，80，75，83，80，90，85‎ ‎（1） 用茎叶图表示这两组数据，并计算平均数与方差；‎ ‎（2）现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度（在平均数、方差或标准差中两个）考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由．‎ 解：（1）作出茎叶图如下 根据所给的数据得到：，‎ ‎，‎ ‎（2‎ ‎）因为甲、乙两位同学的平均数相等，但甲的方差比乙的方差小，所以甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．‎ ‎18.随着我国经济的发展，居民收入逐年增长.某地区2014年至2018年农村居民家庭人均纯收入（单位：千元）的数据如下表：‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 年份代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 人均纯收入 ‎5‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎（1）求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测2019年该地区农村居民家庭人均纯收入为多少？‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.‎ 解：（1）由所给数据计算得 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 所求回归方程为.‎ ‎（2）由（1）知，，故2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加千元.‎ ‎2019年时，，‎ 故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入约为千元.‎ ‎19.某班同学利用国庆节进行社会实践，对的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”．得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：‎ 组数 分组 低碳组的人数 占本组的频率 第一组 ‎120‎ ‎0.6‎ 第二组 ‎195‎ 第三组 ‎100‎ ‎0.5‎ 第四组 ‎0.4‎ 第五组 ‎30‎ ‎0.3‎ 第六组 ‎15‎ ‎0.3‎ ‎（1）补全频率分布直方图，并求，，的值；‎ ‎（2）求年龄段人数的中位数和众数；‎ ‎（3）从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，求选取的3名领队中年龄都在岁的概率．‎ 解：（1）第二组的概率为，‎ 所以高为．频率直方图如图：‎ 第一组的人数为，频率为，‎ 所以．‎ 由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为，‎ 所以，第四组的频率为，‎ 所以第四组的人数为，所以．‎ ‎（2）因为，所以中位数为35；众数为；‎ ‎（3）因为年龄段的“低碳族”与岁年龄段的 ‎“低碳族”的比值为，‎ 所以采用分层抽样法抽取6人，岁中有4人，岁中有2人．‎ 由于从6人中选取3人作领队的所有可能情况共种，‎ 其中从岁中的4人中选取3名领队的情况有种，‎ 故选取3名领队中年龄都在岁的概率为．‎ ‎20.（1）已知函数，其中，求函数的图象恰好经过第一、二、三象限的概率；‎ ‎（2）某校早上8:10开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30～8:00之间到校，且每人到该时间段内到校时刻是等可能的，求两人到校时刻相差10分钟以上的概率.‎ 解：（1）设函数的系数构成的数对为，则由题意知数对可能为：，，共16种情况.‎ 要使得函数的图象经过第一，二，三象限，则需，即 符合条件的数对为，共3对.‎ 模型符合古典概型的定义，所以所求事件的概率为.‎ ‎（2）设小张和小王到校时刻分别为，且.‎ 两人到校时刻相差10分钟等价于，且.‎ 模型符合几何概型的定义，由图可知：‎ 所以所求事件的概率为.‎ ‎21.已知函数，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值.‎ 解：（1） ‎ ‎∵，∴ ‎ ‎（2）‎ ‎22.在△ABC中，‎ ‎（1）求证：cos2+cos2=1；‎ ‎（2）若cos（+A）sin（π+B）tan（C﹣π）＜0，求证：△ABC为钝角三角形．‎ 解：（1）证明：△ABC中，A+B=π﹣C，‎ ‎∴=﹣，‎ ‎∴cos=cos（﹣）=sin ‎∴cos2+cos2=sin2+cos2=1；‎ ‎（2）证明：△ABC中，cos（+A）sin（π+B）tan（C﹣π）＜0，‎ ‎∴﹣sinA•（﹣cosB）•tanC＜0，‎ 即sinAcosBtanC＜0；又A、B、C∈（0，π），‎ ‎∴sinA＞0，∴cosBtanC＜0，即cosB＜0或tanC＜0，‎ ‎∴B为钝角或C为钝角，‎ ‎∴△ABC为钝角三角形．‎