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  • 2021-06-16 发布

【数学】甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高一4月月考试题(解析版)

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甘肃省兰州市第一中学2019-2020学年高一4月月考 数学试题 第Ⅰ卷(选择题)‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确答案涂在答题卡上.)‎ ‎1.下列各个角中与2020°终边相同的是( )‎ A. B. 680° C. 220° D. 320°‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】由题,,‎ 故选:C ‎2.用秦九韶算法计算多项式在时的值时,的值为( )‎ A. 2 B. ‎19 ‎C. 14 D. 33‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意,所以,‎ 所以,.‎ 故选C.‎ ‎3.下列程序执行后输出的结果是( )‎ A. 1 B. ‎0 ‎C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】初始条件:,显然成立,进入循环体:,显然成立,进入循环体:,显然成立,进入循环体:,显然成立,进入循环体:‎ ‎,显然不成立,退出循环体,所以输出的值,即.‎ 故选:A ‎4.下列各进制中,最大的值是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为,‎ ‎ ,所以选 D.‎ ‎5.从2 004名学生中选取50名组成参观团,若采用下面方法选取:先用简单随机抽样从2 004人中剔除4人,剩下的2 000人再按系统抽样的方法进行,则每人入选的概率(  )‎ A. 不全相等 B. 均不相等 C. 都相等,且为 D. 都相等,且为 ‎【答案】C ‎【解析】简单随机抽样,系统抽样和分层抽样都是等概率抽样,每个个体被抽到的概率都相等,都等于,其中N是个体总数,n是被抽到的个体数.‎ 考点:抽样方法 ‎6.一钟表的秒针长,经过,秒针的端点所走的路线长为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的弧度数为,‎ 因此,秒针的端点所走的路线长.‎ 故选:C.‎ ‎7.如果数据,方差是的 平均数和方差分别是 ( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查统计知识,样本特征数,平均数和方差的概念和计算.‎ ‎;则 的平均数为方差为 故选B ‎8.已知,则角的终边在( )‎ A. 第二象限 B. 第三象限 ‎ C. 第二象限或第四象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】由,,故在第二象限或第四象限,‎ 当在第二象限时,,,不符合题意,舍去;‎ 当在第四象限时,,,符合题意;‎ 综上所述,角的终边在第四象限 故答案为:D ‎9.利用随机数表法对一个容量为500编号为000,001,002,,499的产品进行抽样检验,抽取一个容量为10的样本,若选定从第12行第5列的数开始向右读数,(下面摘取了随机数表中的第11行至第15行),根据图,读出的第3个数是( )‎ ‎18 18 07 92 45 44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 06 76 50 03 10 55 23 64 05 05‎ ‎26 62 38 97 75 84 16 07 44 99 83 11 46 32 24 20 14 85 88 45 10 93 72 88 71‎ ‎23 42 40 64 74 82 97 77 77 81 07 45 32 14 08 32 98 94 07 72 93 85 79 10 75‎ ‎52 36 28 19 95 50 92 26 11 97 00 56 76 31 38 80 22 02 53 53 86 60 42 04 53‎ ‎37 85 94 35 12 83 39 50 08 30 42 34 07 96 88 54 42 06 87 98 35 85 29 48 39‎ A. 841 B. ‎114 ‎C. 014 D. 146‎ ‎【答案】B ‎【解析】由已知随机数表法的使用方法进行选择编号分别为:389,449,114,242,,因此第3个数是114.‎ 故选:B ‎10.如图给出的是计算的值的一个框图,其中菱形判断框内应填入的条件是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知由加到需要进行即当时运算就结束了 故选C.‎ ‎11.考虑一元二次方程,其中、的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,则方程有实根的概率( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为 将一枚骰子连掷两次先后出现的点数共有种情况,方程有实根时,满足条件的共有种情况,所以根据古典概型概率公式可得方程有实根的概率为,故选A.‎ ‎12.《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题,计算术曰:以弦乘矢,矢又自乘,并之,二而一.其大意是,弧田面积计算公式为:弧田面积(弦乘矢+矢乘矢),弧田是由圆弧(简称为弧田的弧)和以圆弧的端点为端点的线段(简称 (弧田的弦)围成的平面图形,公式中“弦”指的是弧田的弦长,“矢”等于弧田的弧所在圆的半径与圆心到弧田的弦的距离之差.现有一弧田,其弦长等于,其弧所在圆为圆,若用上述弧田面积计算公式计算得该弧田的面积为,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意,作出示意图得 点为弦的中点,则,设,设该圆的半径为,‎ ‎∴,∵,∴,‎ 由题意,“弦”指,“矢”指,‎ ‎∵该弧田的面积为,‎ ‎∴,‎ 即,解得,或(舍去),‎ ‎∴,解得,‎ ‎∴,∴,‎ 故选:D.‎ 第Ⅱ卷(非选择题)‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,将答案写在答题卡上.)‎ ‎13.在空间直角坐标系中,设点是点关于坐标平面的对称点,点关于轴对称点,则线段的长度等于__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为点是点关于坐标平面的对称点,所以,又因为点关于轴对称点,所以.‎ 因此.‎ 故答案为:‎ ‎14.甲、乙、丙三人进行传球练习,共传球三次,球首先从甲手中传出,则第3次球恰好传回给甲的概率是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法 所有传球方法共有:‎ 甲→乙→甲→乙;甲→乙→甲→丙;甲→乙→丙→甲;甲→乙→丙→乙;‎ 甲→丙→甲→乙;甲→丙→甲→丙;甲→丙→乙→甲;甲→丙→乙→丙;‎ 则共有8种传球方法.‎ 记求第3次球恰好传回给甲的事件为A,可知共有两种情况,,而总的事件数是8,‎ ‎∴P(A)==.‎ 故答案为 ‎15.明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知,,,,,,,则在扇形中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】记“在扇形中随机取一点,此点取自阴影部分”为事件 设,则,根据勾股定理,得,解得:‎ ‎,,‎ 由几何概型概率计算公式,得.‎ ‎16.设函数,则的定义域为__________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】由题意可知:,‎ 故答案为:或.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分)‎ ‎17.甲、乙两位学生参加数学竞赛培训,现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:‎ 甲:82,81,79,78,95,88,93,84;乙:92,95,80,75,83,80,90,85‎ ‎(1) 用茎叶图表示这两组数据,并计算平均数与方差;‎ ‎(2)现要从中选派一人参加数学竞赛,从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中两个)考虑,你认为选派哪位学生参加合适?请说明理由.‎ 解:(1)作出茎叶图如下 根据所给的数据得到:,‎ ‎,‎ ‎(2‎ ‎)因为甲、乙两位同学的平均数相等,但甲的方差比乙的方差小,所以甲的成绩较稳定,派甲参赛比较合适.‎ ‎18.随着我国经济的发展,居民收入逐年增长.某地区2014年至2018年农村居民家庭人均纯收入(单位:千元)的数据如下表:‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 年份代号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 人均纯收入 ‎5‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎(1)求关于的线性回归方程;‎ ‎(2)利用(1)中的回归方程,分析2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测2019年该地区农村居民家庭人均纯收入为多少?‎ 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为,.‎ 解:(1)由所给数据计算得 ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 所求回归方程为.‎ ‎(2)由(1)知,,故2014年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加千元.‎ ‎2019年时,,‎ 故预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入约为千元.‎ ‎19.某班同学利用国庆节进行社会实践,对的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”.得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:‎ 组数 分组 低碳组的人数 占本组的频率 第一组 ‎120‎ ‎0.6‎ 第二组 ‎195‎ 第三组 ‎100‎ ‎0.5‎ 第四组 ‎0.4‎ 第五组 ‎30‎ ‎0.3‎ 第六组 ‎15‎ ‎0.3‎ ‎(1)补全频率分布直方图,并求,,的值;‎ ‎(2)求年龄段人数的中位数和众数;‎ ‎(3)从岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动,其中选取3人作为领队,求选取的3名领队中年龄都在岁的概率.‎ 解:(1)第二组的概率为,‎ 所以高为.频率直方图如图:‎ 第一组的人数为,频率为,‎ 所以.‎ 由题可知,第二组的频率为0.3,所以第二组的人数为,‎ 所以,第四组的频率为,‎ 所以第四组的人数为,所以.‎ ‎(2)因为,所以中位数为35;众数为;‎ ‎(3)因为年龄段的“低碳族”与岁年龄段的 ‎“低碳族”的比值为,‎ 所以采用分层抽样法抽取6人,岁中有4人,岁中有2人.‎ 由于从6人中选取3人作领队的所有可能情况共种,‎ 其中从岁中的4人中选取3名领队的情况有种,‎ 故选取3名领队中年龄都在岁的概率为.‎ ‎20.(1)已知函数,其中,求函数的图象恰好经过第一、二、三象限的概率;‎ ‎(2)某校早上8:10开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~8:00之间到校,且每人到该时间段内到校时刻是等可能的,求两人到校时刻相差10分钟以上的概率.‎ 解:(1)设函数的系数构成的数对为,则由题意知数对可能为:,,共16种情况.‎ 要使得函数的图象经过第一,二,三象限,则需,即 符合条件的数对为,共3对.‎ 模型符合古典概型的定义,所以所求事件的概率为.‎ ‎(2)设小张和小王到校时刻分别为,且.‎ 两人到校时刻相差10分钟等价于,且.‎ 模型符合几何概型的定义,由图可知:‎ 所以所求事件的概率为.‎ ‎21.已知函数,且.‎ ‎(1)求的值;‎ ‎(2)求的值.‎ 解:(1) ‎ ‎∵,∴ ‎ ‎(2)‎ ‎22.在△ABC中,‎ ‎(1)求证:cos2+cos2=1;‎ ‎(2)若cos(+A)sin(π+B)tan(C﹣π)<0,求证:△ABC为钝角三角形.‎ 解:(1)证明:△ABC中,A+B=π﹣C,‎ ‎∴=﹣,‎ ‎∴cos=cos(﹣)=sin ‎∴cos2+cos2=sin2+cos2=1;‎ ‎(2)证明:△ABC中,cos(+A)sin(π+B)tan(C﹣π)<0,‎ ‎∴﹣sinA•(﹣cosB)•tanC<0,‎ 即sinAcosBtanC<0;又A、B、C∈(0,π),‎ ‎∴sinA>0,∴cosBtanC<0,即cosB<0或tanC<0,‎ ‎∴B为钝角或C为钝角,‎ ‎∴△ABC为钝角三角形.‎