辽宁省葫芦岛市协作校、锦州市2020届高三一模考试数学（文）试题 Word版含解析 19页

www.ks5u.com 数学试题 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算集合A，然后对集合A和集合B取交集即可.‎ ‎【详解】由题意可得，，‎ 则 故选C ‎【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题.‎ ‎2.若复数z满足z（i-1）=2i（i虚数单位），则为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．‎ ‎【详解】z（i-1）=2i（i为虚数单位），∴-z（1-i）（1+i）=2i（1+i），‎ ‎∴-2z=2（i-1），解得z=1-i．则=1+i．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．‎ ‎3.已知向量，若，则（ ）‎ A 1 B. C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 19 -‎ 可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．‎ ‎【详解】；‎ ‎∵；‎ ‎∴；‎ 解得．‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于基础题．‎ ‎4.从只读过《飘》的2名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2人在班内进行读后分享，则选中的2人都读过《红楼梦》的概率为（ ）‎ A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用排列、组合，求得基本事件的总数为种，再求得选中的2人都读过《红楼梦》所含的基本事件个数为种，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，从只读过《飘》的2名同学和只读过《红楼梦》的3名同学中任选2人 基本事件总数为种，‎ 其中选中的2人都读过《红楼梦》所含的基本事件个数为种，‎ 所以选中的2人都读过《红楼梦》的概率为，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列、组合的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎5.若抛物线上的点到焦点的距离为10，则到轴的距离为（ ）‎ A. 8 B. 9 C. 10 D. 11‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由抛物线的标准方程可知抛物线的准线方程为 - 19 -‎ 设点的坐标为，由题意结合抛物线的定义可得：‎ ‎，‎ 则到轴的距离为9.‎ 本题选择B选项.‎ ‎6.甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 丙被录用了 B. 乙被录用了 C. 甲被录用了 D. 无法确定谁被录用了 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 假设若甲被录用了，若乙被录用了，若丙被录用了，再逐一判断即可.‎ ‎【详解】解：若甲被录用了，则甲的说法错误，乙，丙的说法正确，满足题意，‎ 若乙被录用了，则甲、乙的说法错误，丙的说法正确，不符合题意，‎ 若丙被录用了，则乙、丙的说法错误，甲的说法正确，不符合题意，‎ 综上可得甲被录用了，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了逻辑推理能力，属基础题.‎ ‎7.已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数与对数的性质与0，1比较即可 ‎【详解】，，，所以.‎ - 19 -‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查指数与对数的单调性，插入中间值与0,1 比较是常用方法，是基础题 ‎8.已知l，m是两条不同的直线，m⊥平面α，则“”是“l⊥m”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分条件和必要条件的定义，结合线面垂直的性质进行判断即可.‎ ‎【详解】当m⊥平面α时，若l∥α”则“l⊥m”成立，即充分性成立，‎ 若l⊥m，则l∥α或l⊂α，即必要性不成立，‎ 则“l∥α”是“l⊥m”充分不必要条件，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合线面垂直的性质和定义是解决本题的关键.难度不大，属于基础题 ‎9.已知等比数列{an}中，若a5+a7＝8，则a4（a6+2a8）+a3a11的值为（ ）‎ A. 8 B. 16 C. 64 D. 128‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等比数列{an}中，等比中项的定义，化简求解本式即可.‎ ‎【详解】等比数列{an}中，‎ a4（a6+2a8）+a3a11＝a4a6+2a4a8+a3a11，‎ ‎∵a5+a7＝8，‎ ‎∴a4（a6+2a8）+a3a11＝82＝64.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列和等比中项的应用，属于基础题.‎ ‎10.已知函数，给出下列四个命题：（ ）‎ - 19 -‎ ‎①的最小正周期为 ②的图象关于直线对称 ‎③在区间上单调递增 ④的值域为 其中所有正确的编号是（ ）‎ A. ②④ B. ①③④ C. ③④ D. ②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 举反例判断①②；根据正弦函数的单调性判断③；讨论，时，对应的最值，即可得出的值域.‎ ‎【详解】‎ 函数，，，故函数的最小正周期不是，故①错误．‎ 由于，，∴， 故的图象不关于直线对称，故排除②．‎ 在区间上，，，单调递增，故③正确．‎ 当时，‎ 故它的最大值为，最小值为 当时，，‎ 综合可得，函数的最大值为，最小值为，故④正确．‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的单调性以及值域，属于中档题.‎ ‎11.函数图象的大致形状是（ ）.‎ - 19 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据函数为偶函数，故排除B，D.再根据，排除A，即可得到答案.‎ ‎【详解】的定义域为，‎ ‎.‎ 所以为偶函数，故排除B，D.‎ ‎，故排除A.‎ 故答案为：C ‎【点睛】本题主要考查根据函数解析式找函数图象，利用函数奇偶性和特值为解题的关键，属于中档题.‎ ‎12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点的坐标为．若双曲线左支上的任意一点均满足，则双曲线的离心率的取值范围为( )‎ - 19 -‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据双曲线的定义，，转化为，即，根据数形结合可知，当点三点共线时，最小，转化为不等式，最后求离心率的范围.‎ ‎【详解】由已知可得，若，‎ 即，左支上的点均满足，‎ 如图所示，当点位于点时，最小，‎ 故，即,‎ ‎,‎ 或或或或双曲线的离心率的取值范围为 .‎ - 19 -‎ ‎【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关键是根据几何关系分析的最小值，转化为的代数关系，最后求的范围.‎ 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.将答案填在答题纸上.‎ ‎13.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．‎ ‎【答案】60‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的.‎ ‎【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6，‎ ‎∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：.‎ 故答案为60.‎ ‎14.已知曲线在点处的切线方程为，则实数的值为__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求导得到，再根据切点和切线方程即可得到的值.‎ ‎【详解】，，‎ 因为，所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查导数几何意义的切线问题，属于简单题.‎ ‎15.《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份的量为___.‎ - 19 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】设此等差数列为{an}，公差为d，则 ‎ ‎（a3+a4+a5）×=a1+a2，即，解得a1=，d=．最小一份为a1，‎ 故答案为．‎ ‎16.已知三棱锥四个顶点均在半径为的球面上，且，，若该三棱锥体积的最大值为，则这个球的表面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题意得到，根据三棱锥体积的最大值为得到三棱锥高的最大值，再求外接球的半径和表面积即可.‎ ‎【详解】设的外接圆的半径为，‎ 因为，，‎ 所以，.‎ ‎.‎ 设到平面的距离为，‎ 因为三棱锥体积的最大值为，即 所以.‎ 设球体的半径为，则，解得.‎ ‎.‎ - 19 -‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，同时考查了球体的表面积公式，属于中档题.‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.已知在中,角所对的边分别为,且.‎ ‎（1）求角的大小; ‎ ‎（2）若,求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）； （2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由正弦定理化简已知等式可得，根据余弦定理可求的值，结合范围，可求的值. （2）由余弦定理，基本不等式可求，又根据两边之和大于第三边可得，即可求解的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由则，‎ ‎，‎ 所以，‎ 而，‎ 故.‎ ‎（2）由 且，‎ ‎ 所以，‎ - 19 -‎ 又，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式等在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题.‎ ‎18.某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态,从期中考试成绩中随机抽取50名学生的数学成绩,按成绩分组:第1组,第2组,第3组,第4组,第5组,得到的频率分布直方图如图所示.‎ ‎(1)由频率分布直方图,估计这50名学生数学成绩的中位数和平均数(保留到0.01);‎ ‎(2)该校高一年级共有1000名学生,若本次考试成绩90分以上(含90分)为“优秀”等次,则根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次的人数.‎ ‎【答案】（1）中位数为，平均数为 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为,因为前2组的频率之和为,因为前3组的频率之和为,所以,求出即可求得答案;‎ ‎(2)因为样本中90分及以上的频率为,所以该校高一年级1000名学生中,根据频率分布直方图,即可估计该校高一学生数学成绩达到人数.‎ ‎“优秀”等次的人数 ‎【详解】(1)设这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为 因为前2组的频率之和为,因为前3组的频率之和为,所以,‎ 由,得.‎ - 19 -‎ 所以,这50名学生数学成绩的中位数和平均数分别为, ‎ ‎(2)因为样本中90分及以上的频率为, ‎ ‎ 所以该校高一年级1000名学生中,根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到 ‎“优秀”等次的人数为人.‎ ‎【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用问题,解题的关键是根据频率分布直方图提供的数据,求出频率.再求出学生数,属于基础题.‎ ‎19.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点．‎ ‎（1）求证: 平面平面；‎ ‎（2）求证:平面；‎ ‎（3）求三棱锥体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由直线与平面垂直证明直线与平行的垂直；（2）证明直线与平面平行；（3）求三棱锥的体积就用体积公式.‎ ‎（1）在三棱柱中，底面ABC，所以AB，‎ 又因为AB⊥BC，所以AB⊥平面，因为AB平面，所以平面平面.‎ ‎（2）取AB中点G，连结EG，FG，‎ 因为E，F分别是、的中点，所以FG∥AC，且FG=AC，‎ - 19 -‎ 因为AC∥，且AC=，所以FG∥，且FG=，‎ 所以四边形为平行四边形，所以EG，‎ 又因为EG平面ABE，平面ABE，‎ 所以平面.‎ ‎（3）因为=AC=2，BC=1，AB⊥BC，所以AB=，‎ 所以三棱锥的体积为：==.‎ 考点：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直与平行的证明；考查几何体的体积的求解等基础知识，考查同学们的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、逻辑推理能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．‎ ‎20.已知椭圆的焦距为2，过点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设椭圆的右焦点为F，定点，过点F且斜率不为零的直线l与椭圆交于A，B两点，以线段AP为直径的圆与直线的另一个交点为Q，证明：直线BQ恒过一定点，并求出该定点的坐标.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意列方程组，求解，，即可.‎ ‎（2）设，因为直线的斜率不为零，令的方程为：，与椭圆方程联立，得到，，由题意可知，，则，确定的方程，由椭圆的对称性，则定点必在轴上，所以令，求解，即可.‎ - 19 -‎ ‎【详解】（1）由题知 ， 解得，，‎ 所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）设，因为直线的斜率不为零，令的方程为：，‎ 由 得，‎ 则，， ‎ 因为以为直径的圆与直线的另一个交点为,所以，则，‎ 则，故的方程为： ，‎ 由椭圆的对称性，则定点必在轴上，所以令，则 ‎，‎ 而，，，‎ 所以，‎ 故直线恒过定点，且定点为.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，属于较难的一道题.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）若，求的单调区间；‎ ‎（2）证明：（i）；‎ ‎（ii）对任意，对恒成立．‎ ‎【答案】（1）的单调递增区间为，，的单调递减区间为 - 19 -‎ ‎. （2）（i）证明见解析（ii）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数解析式，并求得导函数，由导函数的符号即可判断的单调区间；‎ ‎（2）（i）构造函数并求得，利用的单调性求得最大值，即可证明不等式成立.；（ii）由（i）可知将不等式变形可得成立，构造函数，因式分解后解一元二次不等式即可证明对恒成立．‎ ‎【详解】（1）若，（），‎ 令，得或， 则的单调递增区间为，. ‎ 令，得，则的单调递减区间为. ‎ ‎（2）证明：（i）设，‎ 则（），‎ 令，得；‎ 令，得. ‎ 故，‎ 从而，即. ‎ ‎（ii）函数 由（i）可知 即，所以，当时取等号；‎ - 19 -‎ 所以当时，则 若，令 则，‎ 当时，. ‎ 则当时，， ‎ 故对任意，对恒成立.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立问题，构造函数法的应用，属于中档题.‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的方程为，以O为极点，以x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（I）求曲线和直线的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线与曲线交于P，Q两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）的极坐标方程为；直线的极坐标方程 （2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）首先把圆的参数方程转化为普通方程，进一步转化为极坐标方程，再把直线方程转化为极坐标方程；（2）根据（1）所得到的结果代入到极坐标方程中，利用几何意义可得结果.‎ 试题解析：（1）曲线C1的参数方程为（为参数），转化为普通方程：‎ - 19 -‎ ‎，即，则的极坐标方程为，∵直线的方程为，∴直线的极坐标方程．‎ ‎（2）设，，将代入，得：，∴，∴．‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎23.已知函数f（x）=|x-m|-|2x+2m|（m＞0）．‎ ‎（Ⅰ）当m=1时，求不等式f（x）≥1的解集；‎ ‎（Ⅱ）若∀x∈R，∃t∈R，使得f（x）+|t-1|＜|t+1|，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）[-2，-]；（Ⅱ）0＜m＜1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）分段去绝对值解不等数组后在相并可得；‎ ‎（Ⅱ）f（x）+|t-1|＜|t+1|⇔f（x）＜|t+1|-|t-1|对任意x∈R恒成立，对实数t有解． ‎ 再利用分段函数的单调性求得f（x）的最大值，根据绝对值不等式的性质可得|t+1|-|t-1|的最大值，然后将问题转化为f（x）的最大值＜（|t+1|-|t-1|）的最大值可得．‎ 详解】（Ⅰ）当m=1时，|x-1|-|2x+2|≥1⇔或或，‎ 解得-2≤x≤-，所以原不等式的解集为[-2，-]．‎ ‎（Ⅱ）f（x）+|t-1|＜|t+1|⇔f（x）＜|t+1|-|t-1|对任意x∈R恒成立，对实数t有解．‎ ‎∵f（x）=，‎ 根据分段函数的单调性可知：x=-m时，f（x）取得最大值f（-m）=2m，‎ ‎∵||t+1|-|t-1||≤|（t+1）-（t-1）|=2，‎ ‎∴-2≤|t+1|-|t-1|≤2，即|t+1|-|t-1|的最大值为2．‎ 所以问题转化为2m＜2，解得0＜m＜1．‎ - 19 -‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，属中档题．‎ - 19 -‎ - 19 -‎