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- 2021-06-16 发布
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2018-2019学年四川省雅安中学高一下学期第一次月考数学试题
一、单选题
1.以下四组向量能作为基底的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】根据平面内两不共线的向量可作为基底,对选项中的向量逐一判断即可.
【详解】
对于,与共线,不能作为基底;
对于,与不共线,能作为基底;
对于,与共线,不能作为基底;
对于,与共线,不能作为基底,故选B.
【点睛】
本题主要考查平面向量基本定理,意在考查对基础知识的掌握情况,属于基础题.
2.如图所示,在正中,均为所在边的中点,则以下向量和相等的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据相等向量的定义,对选项中的向量逐一判断即可.
【详解】
与向量,方向不同,
与向量不相等,
而向量与方向相同,长度相等,
,故选D.
【点睛】
本题主要考查相等向量的定义,属于简单题.相等向量的定义:长度相等且方向相同的向量叫相等向量;两个向量只有当他们的模相等且方向相同时,才能称它们相等.
3.已知向量,向量,且,则( )
A.9 B.6 C.5 D.3
【答案】B
【解析】根据两个向量平行的充要条件,得到关于的方程,解方程即可得到的值.
【详解】
因为向量,向量且,
根据问量共线的充要条件得,故选B.
【点睛】
利用向量的位置关系求参数是出题的热点,主要命题方式有两个:(1)两向量平行,利用解答;(2)两向量垂直,利用解答.
4.已知中,内角所对的边分别为,,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】直接利用正弦定理求解即可.
【详解】
,
为锐角,
由正弦定理可得,,
所以,故选A.
【点睛】
本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用,属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具,其常见用法有以下几种:(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;(3
)证明化简过程中边角互化;(4)求三角形外接圆半径.
5.已知中,内角所对的边分别为,那么( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】直接利用余弦定理求解即可.
【详解】
由余弦定理可得,,
,
,故选C.
【点睛】
本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数,属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式:(1);(2),同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.
6.关于有以下说法,不正确的是( )
A.的方向是任意的 B.与任一向量共线,所以
C.对于任意的非零向量,都有 D.
【答案】C
【解析】直接利用零向量的定义以及向量的线性运算法则,对选项中的命题逐一判断即可.
【详解】
由零向量的定义可得零向量的方向是任意的,正确;
根据规定,零向量与任何向量平行,可得正确;
因为,所以不正确;
因为,所以正确,
故选C.
【点睛】
本题主要考查零向量的定义与性质,以及向量运算的三角形法则,意在考查对基础知识掌握的熟练程度,属于基础题.
7.一角槽的横断面如图所示,四边形是矩形,且,,则的长等于( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】求出,利用余弦定理求解即可.
【详解】
四边形是矩形,且,,
,
,
由余弦定理可得,
,
,故选A.
【点睛】
本题主要考查余弦定理及特殊角的三角函数,属于简单题.对余弦定理一定要熟记两种形式:(1);(2),同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.
8.已知非零向量满足且,则为( )
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
【答案】D
【解析】根据,判断出的角平分线与
垂直,进而推断三角形为等腰三角形,再根据向量的夹角公式求得角,判断出三角形的形状.
【详解】
分别为单位向量,
的角平分线与垂直,
,
,
,
,
所以,为等边三角形,故选D.
【点睛】
本题主要考查向量的夹角及平面向量数量积公式,属于中档题.平面向量数量积公式主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角, (此时往往用坐标形式求解);(2)求投影, 在 上的投影是;(3)向量垂直则;(4)求向量 的模(平方后需求).
9.若向量与不共线,,且,则向量与的夹角为( )
A.内的任意一角 B.0 C. D.
【答案】C
【解析】利用平面向量数量积的运算法则,求得,即得其夹角为.
【详解】
,
,
与夹角为,故选C.
【点睛】
本题主要考查平面向量数量积的运算,属于中档题. 向量数量积的运算主要掌握两点:一是数量积的基本公式;二是向量的平方等于向量模的平方.
10.若的周长等于20,面积是,则边的长是( )
A.5 B.6 C.7 D.8
【答案】C
【解析】利用面积公式得到的值,结合周长为,再根据余弦定理列出关于的方程,求出的值即为的值.
【详解】
因为面积公式,
所以,得,
又周长为,故,
由余弦定理得,
,
故,解得,故选C.
【点睛】
考查主要考查余弦定理,以及会用三角形的面积公式的应用,属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式:(1);(2),同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外,在解与三角形、三角函数有关的问题时,还需要记住等特殊角的三角函数值,以便在解题中直接应用.
11.在一条东西走向的水平公路的北侧远处有一座高塔,塔底与这条公路在同一水平平面上,为测量该塔的高度,测量人员在公路上选择了两个观测点,在处测得该塔底部在西偏北的方向上;在处测得该塔底部在西偏北的方向上,并测得塔顶的仰角为.已知,,则此塔的高为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】在中,,利用正弦定理求出
,再由直角三角形的性质求出即可.
【详解】
画出示意图,图中的外角为,,
在中,,
,
,
,故选B.
【点睛】
本题主要考查了正弦定理的实际应用,考查了建立数学模型解决实际问题的能力.属于中档题. 正弦定理常见用法有以下三种:(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;(3)证明化简过程中边角互化.
12.在中,,则的形状是( )
A.等腰非直角三角形 B.等腰直角三角形
C.直角非等腰三角形 D.等腰或直角三角形
【答案】C
【解析】由正弦定理可得,化为,
由,进而可得结果.
【详解】
,
化为,
由正弦定理可得,
,
,
,
,
是直角三角形,不是等腰三角形,故选C.
【点睛】
判断三角形状的常见方法是:(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断;(2)利用正弦定理、余弦定理,化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断;(3)根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
二、解答题
13.已知
(1)求;
(2)若,求.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)直接利用平面向量线性运算的坐标表示求解即可;(2)先求出的坐标形式,根据,利用平面向量数量积的坐标表示求解即可.
【详解】
(1),
.
(2),
,
即
,
得.
【点睛】
本题主要考查平面向量的线性运算以及向量垂直的坐标表示,属于基础题. 利用向量的位置关系求参数是出题的热点,主要命题方式有两个:(1)两向量平行,利用解答;(2)两向量垂直,利用解答.
14.已知中,内角所对的边分别为.
(1)若,,,求角;
(2)若,求
【答案】(1)或;(2).
【解析】(1)直接利用正弦定理求解即可;(2)由,利用正弦定理可得,设,利用余弦定理可得结果.
【详解】
(1),
由正弦定理可得,,
,
,,
或.
(2),
,
设,
由余弦定理可得,
.
【点睛】
本题主要考查正弦定理解三角形,正弦定理边角互化的应用以及余弦定理解三角形,意在考查对基本定理掌握的熟练程度与灵活应用,属于中档题.
15.在中,内角所对的边分别为,已知.
(1)求外接圆的面积;
(2)若,求的面积.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由正弦定理可得,求出外接圆半径,从而可得结果;(2)由正弦定理可得,再利用余弦定理解得,根据三角形面积公式可得结果.
【详解】
(1)设外接圆的半径为,
,
由正弦定理可得,,
,外接球面积为.
(2),
,
,
.
【点睛】
本题主要考查正弦定理与余弦定理的解三角形,以及三角形面积公式的应用,属于中档题. 对余弦定理一定要熟记两种形式:(1);(2),同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.
16.设、是两个不共线的向量,.
(1)若与的起点相同,且,,三个向量的终点在同一直线上,求;
(2)若,且与的夹角为,那么为何值时,的值最小?
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由,,三个向量的终点在同一直线上可得,化简得,从而可得结果;(2)化简 ,利用二次函数的性质可得结果.
【详解】
(1)因为,,三个向量的终点在同一直线上,
所以,
化简得,
与不共线,
,
时,的终点在一直线上;
(2)
,
时,最小,此时有最小值.
【点睛】
用两个向量共线的充要条件,可解决平面几何中的平行问题或共线问题,根据三个向量的终点在一条直线上,构造向量,得到向量之间的关系,得到要求的结果;求一个量的最小值,一般要先表示出这个变量,对于模长的运算,要对求得结果两边平方,变化为向量的数量积和模长之间的运算,根据二次函数的最值得到结果.
17.在中,角的对边分别为,且
(1)求的值;
(2)若求的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由利用正弦定理可得,结合两角和的正弦公式以及诱导公式可得结果;(2)先利用正弦定理求得外接圆半径,再由由正弦定理可得 ,利用三角函数的有界性可得结果.
【详解】
(1)因为
所以由正弦定理可得
,
,
因为,
所以.
(2)由(1)可得,
由,且,
得,
,
,
又有,
,
(当时,取最大值),,此时为等边三角形.
【点睛】
以三角形为载体,三角恒等变换为手段,正弦定理、余弦定理为工具,对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题,一般难度不大,但综合性较强.解答这类问题,两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式,一定要熟练掌握并灵活应用.
18.有如下图所示的四边形.
(1)在中,三内角为,求当为何值时,取得最大值,并求出这个最大值;
(2)若为(1)中所得值, ,记.
(ⅰ)求用含的代数式表示;
(ⅱ)求的面积的最小值.
【答案】(1),;(2)(ⅰ);(ⅱ).
【解析】(1)由降幂公式以及诱导公式可得 ,再利用二次函数的性质可得结果;(2)(i)由(1)可得, ,由四边形内角和得,在中,由正弦定理可得结果;(ii)在中,由正弦定理可得,结合(i)利用三角形面积公式以及二倍角公式,辅助角公式可得的面积为,利用三角函数的有界性可得结果.
【详解】
(1) ,
当时,取得最大值.
(2)(i)由(1)可得,可得
四边形内角和得,
在中,.
(ii)在中,,
,
当时,取最小值.
【点睛】
本题主要考查正弦定理、余弦定理的的应用,二倍角公式与辅助的应用,属于中档题. 解三角形时,有时可用正弦定理,有时也可用余弦定理,应注意用哪一个定理更方便、简捷.如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.
三、填空题
19.已知向量与向量同向的单位向量的坐标为_______.
【答案】
【解析】由已知可求,进而可求,而与同向的单位向量为,再利用坐标表示即可.
【详解】
,
,
,
与同向的单位向量坐标表示,
故答案为.
【点睛】
本题主要考查了向量运算的坐标表示,向量模的坐标表示,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于中档题.
20.若向量的夹角为,,则_______.
【答案】6
【解析】由,夹角为,求出的值,再由平面向量数量积的运算法则求解即可.
【详解】
因为向量的夹角为,,
所以
则,故答案为6.
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的运算,属于基础题. 向量数量积的运算主要掌握两点:一是数量积的基本公式;二是向量的平方等于向量模的平方.
21.中,角所对的边分别为,,则_______.
【答案】
【解析】由,利用正弦定理与同角三角函数的平方关系可得,化简得,再利用正弦定理可得结果 .
【详解】
中,,
根据正弦定理,得,
可得,
,
,
由正弦定理可得,可得,故答案为.
【点睛】
本题着重考查了正弦定理、同角三角函数的基本关系等知识,属于基础题. 正弦定理是解三角形的有力工具,其常见用法有以下几种:(1)知道两边和一边的对角,求另一边的对角(一定要注意讨论钝角与锐角);(2)知道两角与一个角的对边,求另一个角的对边;(3)证明化简过程中边角互化;(4)求三角形外接圆半径.
22.以下说法正确的是_______.(填写所有正确的序号)
①若两非零向量,若,则的夹角为锐角;
②若,则,反之也对;
③在中,若,则,反之也对;
④在锐角中,若,则
【答案】③④
【解析】由 与 同向时夹角不是锐角,判断①;由时, 与 平行,判断②;由正弦定理得判断③;根据锐角三角形三个内角都是锐角判断④.
【详解】
对于①, 与 同向时,若,夹角为,不是锐角,故①错误;
对于②,若时,则, 与 平行,故②错误;
对于③,由正弦定理得,,故③正确;
对于④,由,可得,即,故④正确,
故答案为③④.
【点睛】
本题通过对多个命题真假的判断,综合考查向量的夹角与向量的位置关系以及正弦定理,属于难题.这种题型综合性较强,也是高考的命题热点,同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”,因此做这类题目更要细心、多读题,尽量挖掘出题目中的隐含条件,另外,要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手,然后集中精力突破较难的命题.