2021版高考数学一轮复习第九章立体几何9-5空间直角坐标系、空间向量及其运算课件理北师大版 19页

第五节　空间直角坐标系、 空间向量及其运算 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 空间直角坐标系与点的坐标 (1) 空间一点 M 的坐标可以用有序实数组 ________ 表示 . (2) 建立了空间直角坐标系 , 空间中的点 M 与有序实数组 (x,y,z) 可以建立 _____ _____ 的关系 . (x,y,z) 一一 对应 2. 空间两点间的距离公式、中点公式 (1) 距离公式 : ① 设点 A(x 1 ,y 1 ,z 1 ),B(x 2 ,y 2 ,z 2 ), 则 =____________________________; ② 设点 P(x,y,z), 则与坐标原点 O 之间的距离为 =_____________. (2) 中点公式 : 设点 P(x,y,z) 为 P 1 (x 1 ,y 1 ,z 1 ),P 2 (x 2 ,y 2 ,z 2 ) 的中点 , 则 ———————— 3. 空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中既有 _____ 又有 _____ 的量 向量的模 空间向量的 _____ 叫作向量的长度或模 , 用 或 | a | 表示 向量的 夹角 过空间任意一点 O 作向量 a , b 的相等向量 则 ∠AOB 叫作向量 a , b 的 _____, 记作 ______, 规定 _____________,< a , b >= 时 , 向量 a 与 b 垂直 , 记作 _____ ,< a , b >=0 或 π 时 , 向量 a 与 b 平行 , 记作 _____ 大小 方向 大小 夹角 < a , b > 0≤< a , b >≤π a ⊥ b a ∥ b 名称 定义 直线的方 向向量 若 l 是空间一直线 ,A,B 是直线 l 上任意两点 , 则称 为 直线 l 的 _________, 显然 , 与 平行的任意非零向量 a 也是直线 l 的方向向量 平面的 法向量 如果直线 l 垂直于平面 α, 那么把 ________________ 叫 作平面 α 的法向量 单位向量 对于任意一个非零向量 a , 我们把 _____ 叫作向量 a 的单 位向量 , 记作 a 0 , a 0 与 a 同向 方向向量 直线 l 的方向向量 a 4. 空间向量中的有关定理 语言描述 共线向 量定理 对空间任意两个向量 a , b ( b ≠ 0 ), a ∥ b ⇔ 存在 λ∈R, 使 a =λ b . 共面向 量定理 若两个向量 a , b 不共线 , 则向量 p 与向量 a , b 共面 ⇔ 存在惟一的有序实数对 (x,y), 使 p =x a +y b . 空间向 量基本 定理 如果三个向量 a , b , c 不共面 , 那么对空间任一向量 p , 存在有序实数组 {x,y,z} 使得 p =x a +y b +z c . 5. 空间向量的数量积 (1) 两向量的夹角的两个关注点 ① 共起点的向量 则 ______ 叫做向量 a , b 的夹角 . ② 范围 :0≤< a , b >≤π (2) 两个非零向量 a , b 的数量积 : a·b = _______________. ∠AOB | a || b |cos< a , b > 6. 空间向量的坐标表示 设 a =(a 1 ,a 2 ,a 3 ), b =(b 1 ,b 2 ,b 3 ). 向量表示 坐标表示 数量积 a · b _____________ 共线 a =λ b ( b ≠ 0 ,λ∈R) ______________________ 垂直 a · b =0 ( a ≠ 0 , b ≠ 0 ) _______________ a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 a 1 =λb 1 ,a 2 =λb 2 ,a 3 =λb 3 a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 =0 向量表示 坐标表示 模 | a | 夹角 < a , b > ( a ≠ 0 , b ≠ 0 ) 【知识点辨析】 ( 正确的打“ √”, 错误的打“ ×”) 　 (1) 空间中任意两个非零向量 a , b 共面 . ( 　　 ) (2) 空间中任意三个向量都可以作为基底 . ( 　　 ) (3) 若 A,B,C,D 是空间任意四点 , 则有 ( 　　 ) (4) 空间中模相等的两个向量方向相同或相反 . ( 　　 ) (5) 两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同 . ( 　　 ) 提示 : (1)√. (2) × . 只有不共面的三个向量才能作基底 . (3)√. (4) × . 模相等的两个向量方向可能相同、相反或其他情况 . (5) × . 两向量夹角的范围为 [0, π ], 两异面直线所成角的范围为 它们不相同 . 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 利用向量加法、减法三角形法则时弄错方向致误 考点一、 T1,3,4 2 混淆共线、共面定理致误 考点二、典例 1,2 3 数量积公式用错致误 考点三、角度 1T1 【教材 · 基础自测】 1.( 选修 2-1 P35 例 3 改编 ) 如图所示 , 在平行六面体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 ,M 为 A 1 C 1 与 B 1 D 1 的交点 . 若 则下列向量中与 相等的向量是 ( 　　 ) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【解析】 选 A. 2.( 选修 2-1 P30 例 1 改编 ) 已知空间四边形 OABC 中 , 点 M 在 OA 上 , 且 OM=2MA,N 为 BC 中点 , 则 = ( 　　 ) 【解析】 选 B. 如图所示 ,