2005年上海市春季高考数学试卷【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 6页

‎2005年上海市春季高考数学试卷 一.填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1. 方程lgx‎2‎-lg(x+2)=0‎的解集是________．‎ ‎2. limn→∞‎n+2‎‎1+2+…+n‎=‎________．‎ ‎3. 若cosα=‎‎3‎‎5‎，且α∈(0, π‎2‎)‎，则tanα‎2‎=‎________．‎ ‎4. 函数f(x)=-x‎2‎(x∈(-∞, -2])‎的反函数f‎-1‎‎(x)=‎________‎ ‎5. 在‎△ABC中，若‎∠C=‎‎90‎‎∘‎，AC=BC=4‎，则BA‎→‎‎⋅BC‎→‎=‎________．‎ ‎6. 某班共有‎40‎名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是________．（结果用最简分数表示）‎ ‎7. 双曲线‎9x‎2‎-16y‎2‎=1‎的焦距是________‎ ‎8. 若‎(x+2‎)‎n=xn+...+ax‎3‎+bx‎2‎+cx+‎2‎n(n∈N，且n≥3)‎，且a:b=3:2‎，则n=‎________．‎ ‎9. 设数列‎{an}‎的前n项和为Sn‎(n∈N‎*‎)‎，关于数列‎{an}‎有下列三个命题 ‎①若‎{an}‎既是等差数列又是等比数列，则an‎=an+1‎(n∈N‎*‎)‎；‎ ‎②若Sn‎=an‎2‎+bn(a, b∈R)‎，则‎{an}‎是等差数列；‎ ‎③若Sn‎=1-(-1‎‎)‎n，则‎{an}‎是等比数列；‎ 这些命题中，真命题的序号是________．‎ ‎10. 若集合A={x|3cos2πx=‎3‎x, x∈R}‎，B={y|y‎2‎=1, y∈R}‎，则A∩B=‎________．‎ ‎11. 函数y=sinx+arcsinx的值域是________．‎ ‎12. 已知函数f(x)=‎2‎x+log‎2‎x，数列‎{an}‎的通项公式是an‎=0.1n(n∈N)‎，当‎|f(an)-2005|‎取得最小值时，n=‎________．‎ 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分.‎ ‎13. 知直线l、m、n及平面α，下列命题中的假命题是（ ）‎ A.若l // m，m // n，则l // n B.若l⊥α，n // α，则l⊥n C.若l⊥m，m // n，则l⊥n D.若l // α，n // α，则l // n ‎14. 在‎△ABC中，若acosA‎=bcosB=‎ccosC，则‎△ABC是（ ）‎ A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 ‎15. 若a、b、c是常数，则“a>0‎且b‎2‎‎-4ac<0‎”是“对任意x∈R，有ax‎2‎+bx+c>0‎”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎16. 设函数f(x)‎的定义域为R，有下列三个命题：‎ ‎①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f(x)≤M，则M是函数f(x)‎的最大值；‎ ‎②若存在x‎0‎‎∈R，使得对任意x∈R，且x≠‎x‎0‎，有f(x)b>0)‎．设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上．‎ ‎（3）利用（2）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心．‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2005年上海市春季高考数学试卷 一.填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．‎ ‎1.‎‎{-1, 2}‎ ‎2.‎‎0‎ ‎3.‎‎1‎‎2‎ ‎4.‎‎-‎-x(x≤-4)‎ ‎5.‎‎16‎ ‎6.‎‎1‎‎260‎ ‎7.‎‎5‎‎6‎ ‎8.‎‎11‎ ‎9.①②③‎ ‎10.‎‎{1}‎ ‎11.‎‎[-sin1-π‎2‎, sin1+π‎2‎]‎ ‎12.‎‎110‎ 二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，否则一律得零分.‎ ‎13.D ‎14.B ‎15.A ‎16.C 三．解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤．‎ ‎17.解：设z=x+yi(x，y∈R)‎，‎ 所以z+2i=x+(y+2)i，‎ 由题意，得y=-2‎．‎ 因为z‎2-i‎=x-2i‎2-i=‎1‎‎5‎(x-2i)(2+i)‎ ‎=‎1‎‎5‎(2x+2)+‎1‎‎5‎(x-4)i‎，‎ 由题意，得x=4‎，所以z=4-2i．‎ 因为‎(z+ai‎)‎‎2‎=12+4a-a‎2‎+8(a-2)i，‎ 根据条件，可知‎12+4a-a‎2‎>0‎‎8(a-2)>0‎，‎ 解得‎20‎，‎ 由点到直线的距离公式可知，‎|PM|=‎|x‎0‎-y‎0‎|‎‎2‎=‎‎1‎x‎0‎，‎|PN|=‎x‎0‎，‎ ‎∴ 有‎|PM|⋅|PN|=1‎，即‎|PM|⋅|PN|‎为定值，这个值为‎1‎．‎ ‎（3）由题意可设M(t, t)‎，可知N(0, y‎0‎)‎．‎ ‎∵ PM与直线y=x垂直，‎ ‎∴ kPM‎⋅1=-1‎，即y‎0‎‎-tx‎0‎‎-t‎=-1‎．解得t=‎1‎‎2‎(x‎0‎+y‎0‎)‎．‎ 又y‎0‎‎=x‎0‎+‎‎2‎x‎0‎，∴ t=x‎0‎+‎‎2‎‎2‎x‎0‎．‎ ‎∴ S‎△OPM‎=‎1‎‎2‎x‎0‎‎2‎+‎‎2‎‎2‎，S‎△OPN‎=‎1‎‎2‎x‎0‎‎2‎+‎‎2‎‎2‎．‎ ‎∴ S四边形OMPN‎=S‎△OPM+S‎△OPN=‎1‎‎2‎(x‎0‎‎2‎+‎1‎x‎0‎‎2‎)+‎2‎≥1+‎‎2‎．‎ 当且仅当x‎0‎‎=1‎时，等号成立．‎ 此时四边形OMPN的面积有最小值：‎1+‎‎2‎．‎ ‎22.解：（1）设椭圆的标准方程为x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎，a>b>0‎，‎ ‎∴ a‎2‎‎=b‎2‎+4‎，即椭圆的方程为x‎2‎b‎2‎‎+4‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎．‎ ‎∵ 点‎(-2, -‎2‎)‎在椭圆上，‎ ‎∴ ‎4‎b‎2‎‎+4‎‎+‎2‎b‎2‎=1‎．‎ 解得b‎2‎‎=4‎或b‎2‎‎=-2‎（舍）．‎ 由此得a‎2‎‎=8‎，即椭圆的标准方程为x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎．‎ ‎（2）证明：设直线l的方程为y=kx+m，‎ 与椭圆C的交点A(x‎1‎, y‎1‎)‎、B(x‎2‎, y‎2‎)‎，‎ ‎ 6 / 6‎ y=kx+m‎，‎ 则有x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎．‎ 解得‎(b‎2‎+a‎2‎k‎2‎)x‎2‎+2a‎2‎kmx+a‎2‎m‎2‎-a‎2‎b‎2‎=0‎．‎ ‎∵ ‎△>0‎，∴ m‎2‎‎