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  • 2021-06-16 发布

2005年上海市春季高考数学试卷【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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‎2005年上海市春季高考数学试卷 一.填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分.‎ ‎1. 方程lgx‎2‎-lg(x+2)=0‎的解集是________.‎ ‎2. limn→∞‎n+2‎‎1+2+…+n‎=‎________.‎ ‎3. 若cosα=‎‎3‎‎5‎,且α∈(0, π‎2‎)‎,则tanα‎2‎=‎________.‎ ‎4. 函数f(x)=-x‎2‎(x∈(-∞, -2])‎的反函数f‎-1‎‎(x)=‎________‎ ‎5. 在‎△ABC中,若‎∠C=‎‎90‎‎∘‎,AC=BC=4‎,则BA‎→‎‎⋅BC‎→‎=‎________.‎ ‎6. 某班共有‎40‎名学生,其中只有一对双胞胎,若从中一次随机抽查三位学生的作业,则这对双胞胎的作业同时被抽中的概率是________.(结果用最简分数表示)‎ ‎7. 双曲线‎9x‎2‎-16y‎2‎=1‎的焦距是________‎ ‎8. 若‎(x+2‎)‎n=xn+...+ax‎3‎+bx‎2‎+cx+‎2‎n(n∈N,且n≥3)‎,且a:b=3:2‎,则n=‎________.‎ ‎9. 设数列‎{an}‎的前n项和为Sn‎(n∈N‎*‎)‎,关于数列‎{an}‎有下列三个命题 ‎①若‎{an}‎既是等差数列又是等比数列,则an‎=an+1‎(n∈N‎*‎)‎;‎ ‎②若Sn‎=an‎2‎+bn(a, b∈R)‎,则‎{an}‎是等差数列;‎ ‎③若Sn‎=1-(-1‎‎)‎n,则‎{an}‎是等比数列;‎ 这些命题中,真命题的序号是________.‎ ‎10. 若集合A={x|3cos2πx=‎3‎x, x∈R}‎,B={y|y‎2‎=1, y∈R}‎,则A∩B=‎________.‎ ‎11. 函数y=sinx+arcsinx的值域是________.‎ ‎12. 已知函数f(x)=‎2‎x+log‎2‎x,数列‎{an}‎的通项公式是an‎=0.1n(n∈N)‎,当‎|f(an)-2005|‎取得最小值时,n=‎________.‎ 二.选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,否则一律得零分.‎ ‎13. 知直线l、m、n及平面α,下列命题中的假命题是( )‎ A.若l // m,m // n,则l // n B.若l⊥α,n // α,则l⊥n C.若l⊥m,m // n,则l⊥n D.若l // α,n // α,则l // n ‎14. 在‎△ABC中,若acosA‎=bcosB=‎ccosC,则‎△ABC是( )‎ A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 ‎15. 若a、b、c是常数,则“a>0‎且b‎2‎‎-4ac<0‎”是“对任意x∈R,有ax‎2‎+bx+c>0‎”的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎16. 设函数f(x)‎的定义域为R,有下列三个命题:‎ ‎①若存在常数M,使得对任意x∈R,有f(x)≤M,则M是函数f(x)‎的最大值;‎ ‎②若存在x‎0‎‎∈R,使得对任意x∈R,且x≠‎x‎0‎,有f(x)b>0)‎.设斜率为k的直线l交椭圆C于A、B两点,AB的中点为M.证明:当直线l平行移动时,动点M在一条过原点的定直线上.‎ ‎(3)利用(2)所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标出椭圆的中心.‎ ‎ 6 / 6‎ 参考答案与试题解析 ‎2005年上海市春季高考数学试卷 一.填空题(本大题满分48分)本大题共有12题,只要求直接填写结果,每题填对得4分,否则一律得零分.‎ ‎1.‎‎{-1, 2}‎ ‎2.‎‎0‎ ‎3.‎‎1‎‎2‎ ‎4.‎‎-‎-x(x≤-4)‎ ‎5.‎‎16‎ ‎6.‎‎1‎‎260‎ ‎7.‎‎5‎‎6‎ ‎8.‎‎11‎ ‎9.①②③‎ ‎10.‎‎{1}‎ ‎11.‎‎[-sin1-π‎2‎, sin1+π‎2‎]‎ ‎12.‎‎110‎ 二.选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内,选对得4分,否则一律得零分.‎ ‎13.D ‎14.B ‎15.A ‎16.C 三.解答题(本大题满分86分)本大题共有6题,解答下列各题必须写出必要的步骤.‎ ‎17.解:设z=x+yi(x,y∈R)‎,‎ 所以z+2i=x+(y+2)i,‎ 由题意,得y=-2‎.‎ 因为z‎2-i‎=x-2i‎2-i=‎1‎‎5‎(x-2i)(2+i)‎ ‎=‎1‎‎5‎(2x+2)+‎1‎‎5‎(x-4)i‎,‎ 由题意,得x=4‎,所以z=4-2i.‎ 因为‎(z+ai‎)‎‎2‎=12+4a-a‎2‎+8(a-2)i,‎ 根据条件,可知‎12+4a-a‎2‎>0‎‎8(a-2)>0‎,‎ 解得‎20‎,‎ 由点到直线的距离公式可知,‎|PM|=‎|x‎0‎-y‎0‎|‎‎2‎=‎‎1‎x‎0‎,‎|PN|=‎x‎0‎,‎ ‎∴ 有‎|PM|⋅|PN|=1‎,即‎|PM|⋅|PN|‎为定值,这个值为‎1‎.‎ ‎(3)由题意可设M(t, t)‎,可知N(0, y‎0‎)‎.‎ ‎∵ PM与直线y=x垂直,‎ ‎∴ kPM‎⋅1=-1‎,即y‎0‎‎-tx‎0‎‎-t‎=-1‎.解得t=‎1‎‎2‎(x‎0‎+y‎0‎)‎.‎ 又y‎0‎‎=x‎0‎+‎‎2‎x‎0‎,∴ t=x‎0‎+‎‎2‎‎2‎x‎0‎.‎ ‎∴ S‎△OPM‎=‎1‎‎2‎x‎0‎‎2‎+‎‎2‎‎2‎,S‎△OPN‎=‎1‎‎2‎x‎0‎‎2‎+‎‎2‎‎2‎.‎ ‎∴ S四边形OMPN‎=S‎△OPM+S‎△OPN=‎1‎‎2‎(x‎0‎‎2‎+‎1‎x‎0‎‎2‎)+‎2‎≥1+‎‎2‎.‎ 当且仅当x‎0‎‎=1‎时,等号成立.‎ 此时四边形OMPN的面积有最小值:‎1+‎‎2‎.‎ ‎22.解:(1)设椭圆的标准方程为x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎,a>b>0‎,‎ ‎∴ a‎2‎‎=b‎2‎+4‎,即椭圆的方程为x‎2‎b‎2‎‎+4‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎.‎ ‎∵ 点‎(-2, -‎2‎)‎在椭圆上,‎ ‎∴ ‎4‎b‎2‎‎+4‎‎+‎2‎b‎2‎=1‎.‎ 解得b‎2‎‎=4‎或b‎2‎‎=-2‎(舍).‎ 由此得a‎2‎‎=8‎,即椭圆的标准方程为x‎2‎‎8‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎.‎ ‎(2)证明:设直线l的方程为y=kx+m,‎ 与椭圆C的交点A(x‎1‎, y‎1‎)‎、B(x‎2‎, y‎2‎)‎,‎ ‎ 6 / 6‎ y=kx+m‎,‎ 则有x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1‎.‎ 解得‎(b‎2‎+a‎2‎k‎2‎)x‎2‎+2a‎2‎kmx+a‎2‎m‎2‎-a‎2‎b‎2‎=0‎.‎ ‎∵ ‎△>0‎,∴ m‎2‎‎