高考数学一轮复习第三章导数及其应用3-3利用导数研究函数的极值、最值练习理北师大版 11页

‎3.3 利用导数研究函数的极值、最值 核心考点·精准研析 考点一　用导数解决函数的极值问题 ‎ 命 题 精 解 读 ‎1.考什么:(1)考查求值、解方程、解不等式等问题.‎ ‎(2)考查数学运算、直观想象、逻辑推理的核心素养及数形结合、分类与整合等数学思想.‎ ‎2.怎么考:与函数图像、方程、不等式、函数单调性等知识结合考查求函数极值、知函数极值求参数等问题.‎ ‎3.新趋势:函数极值、导数的几何意义及函数图像等知识交汇考查为主 学 霸 好 方 法 ‎1.求函数f(x)极值的一般解题步骤 ‎ ‎(1)确定函数的定义域;‎ ‎(2)求导数f ′(x);‎ ‎(3)解方程f ′(x)=0,求出函数定义域内的所有根;(4)列表检验f ′(x)在f ′(x)=0的根x0左右两侧值的符号.‎ ‎2.已知函数极值点或极值求参数的两个要领 ‎(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.‎ ‎(2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.‎ 由图像判断函数的极值 ‎【典例】(2020·咸阳模拟)已知三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图像如图所示,则=　　　　. ‎ ‎【解析】f′(x)=3ax2+2bx+c;‎ 根据图像知,x=-1,2是f(x)的两个极值点;‎ 所以x=-1,2是方程3ax2+2bx+c=0的两实数根;‎ - 11 -‎ 根据根与系数的关系得,‎ 所以2b=-3a,c=-6a,‎ 所以===1.‎ 答案:1‎ 由函数f(x)的图像确定极值点的主要依据是什么?‎ 提示:局部最高(低)点的横坐标是极大(小)值点.‎ 求已知函数的极值 ‎【典例】已知函数f(x)=x-1+(a∈R,e为自然对数的底数).(1)若曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x轴,求a的值.‎ ‎(2)求函数f(x)的极值.‎ ‎【解析】(1)由f(x)=x-1+,得f ′(x)=1-.‎ 又曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线平行于x轴, ‎ 所以f ′(1)=0,即1-=0,解得a=e.‎ ‎(2)f ′(x)=1-, ‎ 当a≤0时,f ′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数f(x)无极值.‎ 当a>0时,令f ′(x)=0,得ex=a,即x=ln a, ‎ 当x∈(-∞,ln a)时, f ′(x)<0; ‎ 当x∈(ln a,+∞)时, f ′(x)>0, ‎ 所以f(x)在(-∞,ln a)上单调递减, ‎ - 11 -‎ 在(ln a,+∞)上单调递增,故f(x)在x=ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)=ln a,无极大值.‎ 综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;‎ 当a>0时,f(x)在ln a处得极小值ln a,无极大值.‎ 已知函数极值情况求参数值(范围)‎ ‎【典例】设f(x)=xln x-ax2+(2a-1)x,a∈R.‎ ‎(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间.‎ ‎(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围. ‎ ‎【解析】(1)由f′(x)=ln x-2ax+2a,‎ 可得g(x)=ln x-2ax+2a,x∈(0,+∞).‎ 所以g′(x)=-2a=.‎ 当a≤0,x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;‎ 当a>0,x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,x∈时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.‎ 所以当a≤0时,g(x)的单调增区间为(0,+∞);‎ 当a>0时,g(x)的单调增区间为,单调减区间为.‎ ‎(2)由(1)知,f′(1)=0.‎ ‎①当a≤0时,f′(x)在(0,+∞)内单调递增,‎ 所以当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;‎ 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.‎ 所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.‎ ‎②当01,由(1)知f′(x)在内单调递增,可得当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈时,f′(x)>0.‎ - 11 -‎ 所以f(x)在(0,1)内单调递减,在内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.‎ ‎③当a=时,=1,f′(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以当x∈(0,+∞)时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.‎ ‎④当a>时,0<<1,当x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.‎ 所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.‎ 综上可知,实数a的取值范围为.‎ ‎1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是 (　　)‎ A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)‎ B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)‎ C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)‎ D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)‎ ‎【解析】选D.由题图可知,当x<-2时,1-x>3,此时f′(x)>0;当-22时,1-x<-1,此时f′(x)>0,由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.‎ ‎2.设函数f(x)=ln x+ax2-x,若x=1是函数f(x)的极大值点,则函数f(x)的极小值为　　　　. ‎ - 11 -‎ ‎【解析】函数f(x)=ln x+ax2-x,函数定义域为(0,+∞),f′(x)=+2ax-.‎ 若x=1是函数f(x)的极大值点,则 f′(1)=0,解得a=;‎ 所以f(x)=ln x+x2-x,‎ f′(x)=+x-==;‎ 当f′(x)>0时,02;‎ 函数在(0,1)和(2,+∞)上单调递增;‎ 当f′(x)<0时,10,原函数单调递增,当2kπ+π1,求f(x)在区间上的最大值和最小值. ‎ ‎【解题导思】‎ 序号 题目拆解 ‎(1)‎ 利用导数的几何意义求参数 利用求导的方法求出函数在切点处的切线斜率,再利用切点坐标与切线的斜率之间的关系求出a的值 ‎(2)‎ 研究函数f(x)‎ 利用对x分类讨论的方法,‎ - 11 -‎ 的单调性 结合b的取值范围,用求导的方法判断函数的单调性 求函数f(x)的最值 从而求出函数的极值,进而求出函数的最值 ‎【解析】(1)f(x)的导函数为 f′(x)=⇒f′(1)==1-a,‎ 依题意,有=1-a,‎ 即=1-a,解得a=1.‎ ‎(2)由(1)得f′(x)=,‎ 当00,-ln x>0,‎ 所以f′(x)>0,故f(x)在(0,1)上单调递增;‎ 当x>1时,1-x2<0,-ln x<0,‎ 所以f′(x)<0,故f(x)在(1,+∞)上单调递减,‎ 所以f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减.‎ 因为0<<11则h′=ln b>0,‎ 故h(b)在区间(1,+∞)上单调递增.‎ 当b→1时,h(b)→0⇒h(b)>0⇒f(b)>f.‎ - 11 -‎ 故f(x)的最小值为f=-bln b-.‎ ‎　求函数f(x)在闭区间[a,b]内的最大值和最小值的思路 ‎ ‎　(1)若所给的闭区间[a,b]不含参数,则只需对函数f(x)求导,并求f ′(x)=0在区间[a,b]内的根,再计算使导数等于零的根的函数值,把该函数值与f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.‎ ‎(2)若所给的闭区间[a,b]含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.‎ ‎(2019·南昌模拟)设函数f(x)=ln x-2mx2-n(m,n∈R).‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性.‎ ‎(2)若f(x)有最大值-ln 2,求m+n的最小值.‎ ‎【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),‎ f′(x)=-4mx=,‎ 当m≤0时,f′(x)>0,‎ 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;‎ 当m>0时,令f′(x)>0,得0,所以f(x)在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎(2)由(1)知,当m>0时,f(x)在上单调递增,在上单调递减.‎ 所以f(x)max=f=ln-2m·-n ‎=-ln 2-ln m--n=-ln 2,‎ - 11 -‎ 所以n=-ln m-,所以m+n=m-ln m-,‎ 令h(x)=x-ln x-(x>0),则h′(x)=1-=,所以h(x)在上单调递减,‎ 在上单调递增,所以h(x)min=h=ln 2,‎ 所以m+n的最小值为ln 2.‎ 考点三　用导数解决生活中的优化问题 ‎ ‎【典例】某食品厂进行蘑菇的深加工,每千克蘑菇的成本为20元,并且每千克蘑菇的加工费为t元(t为常数,且2≤t≤5).设该食品厂每千克蘑菇的出厂价为x元(25≤x≤40),根据市场调查,日销售量q千克与ex成反比,当每千克蘑菇的出厂价为30元时,日销售量为100千克.‎ ‎ (1)求该工厂的每日利润y元与每千克蘑菇的出厂价x元的函数关系式.‎ ‎(2)若t=5,当每千克蘑菇的出厂价x为多少时,该工厂的每日利润y最大?并求最大值.‎ ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎(1)‎ 待定系数法求函数关系 根据已知条件得出日销量函数表达式q=(k≠0),将x=30,q=100代入日销量函数表达式中求出k的值,进而得到利润y与出厂价x之间的函数关系式.‎ ‎(2)‎ 通过求函数最值,解答实际问题 将t=5代入函数中,根据导数求得函数的单调区间,进而得函数的最值.‎ ‎【解析】(1)设日销量q=(k≠0),‎ 则=100,所以k=100e30,所以日销量q=,‎ - 11 -‎ 所以y=(25≤x≤40).‎ ‎(2)当t=5时,y=,‎ y′=.‎ 由y′≥0得x≤26,由y′≤0,得x≥26,‎ 所以y在区间[25,26]上单调递增,在区间[26,40]上单调递减,所以当x=26时,ymax=100e4, ‎ 即当每千克蘑菇的出厂价为26元时,该工厂的每日利润最大,最大值为100e4元.‎ ‎　利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤 ‎(1)分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).‎ ‎(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.‎ ‎(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0处的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.‎ ‎(4)回归实际问题作答.‎ ‎　某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-5)2,其中2