黑龙江省哈尔滨市第六中学校2020届高三第一次模拟考试 数学（文） 4页

‎→ → p → → → →‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 考号 哈尔滨市第六中学校 2020 届第一次模拟考试试题 ‎5.已知平面向量 a, b 的夹角为 ‎3‎ ‎，且| a |= 2,| b |= 1 ，则| a − 2 b |= （ ） ‎ ‎1‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 A.4 B.2 C.1 D.‎ ‎6‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 文科数学 姓名 考试说明：本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分，满分 150 分，‎ 考试时间 120 分钟．‎ ‎（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；‎ ‎（2）选择题必须使用 2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔 班级 书写, 字体工整, 字迹清楚；‎ ‎6.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍， 逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示， 若最终输出的 x = 0 ，则一开始输入的 x 的值为（ ） ‎ ‎3 7 15 31‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4 8 16 32‎ ‎7.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 ‎ （3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试 题卷上答题无效；‎ ‎（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．‎ 一．选择题：本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项 ‎‎ m2 − m1 = ‎‎ ‎5 lg E1‎ ‎2 E2‎ ‎‎ ‎，其中星等为 mk 的星的亮度为 Ek (k = 1,2) 。已知太阳的星等是-26.7，天狼 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 装 中，只有一项是符合题目要求的。 ‎ ‎ ‎ ‎ 1.已知集合 A = {1,2,3,4,5}， B = {0,2,4,6}，则集合 A Ç B 的子集共有（ ） ‎ ‎ A. 2 个 B.4 个 C.6 个 D.8 个 ‎ ‎ ‎ 订 2.已知复数 z 满足 ( z + i)(1 − i) = 3 + 3i ，则| z |= （ ） ‎ ‎ ‎ ‎ A.2 B. 3 C.4 D. 2 ‎ ‎星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) ‎ A.1010.1 B.10.1 C. lg10.1 D.10−10.1 ‎ * ‎8.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对 兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依 次为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144.……，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 ìx2 − 2 x , x £ 0‎ ‎3.设函数 f ( x) = í ‎‎ ‎, 则 f (5) 的值为（ ） ‎ ‎an = an−1 + an−2 (n ³ 3, n Î N ‎) ,其中 a1 = 1, a2 = 1, 若从该数列的前 100 项中随机的抽取一个数，‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 线 î f ( x − 3), x > 0‎ ‎则这个数是偶数的概率为（ ） ‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 ‎1 33‎ ‎1 67‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 A. − 7 B. −1 C.0 D. 1 ‎ ‎2‎ ‎A. B. C. D. ‎ ‎3 100 2 100‎ p 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 ‎2‎ ‎2‎ ‎4.双曲线 C : x − y a 2 b2‎ ‎‎ = 1(a > 0, b > 0) 的一条渐近线的倾 ‎9.已知函数 f ( x) = A sin(x + ) + b( A > 0) 的最大值、最小值分别为 3 和-1，关于函数 f ( x) 有 ‎3‎ 如下四个结论： ‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 斜角为130o ,则 C 的离心率为( ) ‎ A． 2 sin 40o B． 2 cos 40o ‎ ‎（1） A = 2, b = 1 ； ‎ ‎（2）函数 f ( x) 的图像关于直线 x = − 5p 对称； ‎ ‎6‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 ‎1‎ C．‎ sin 50o ‎ D．‎ ‎1‎ cos50o ‎‎ æ 2p ‎（3）函数 f ( x) 的图像关于点 ç ‎‎ ÷ ‎,0ö 对称； ‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 è 3 ø 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 ç ‎（4）函数 f ( x) 在区间 æ p ‎‎ ‎5p ö ‎, ÷ 内是减函数。 ‎ ‎三．解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17——‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 è 6 6 ø 其中，正确的结论个数是（ ）个。 ‎ ‎21 题为必考题，每个试题考生都必须作答；第 22、23 题为选考题，考生根据要 求作答。 ‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 A.1 B. 2 C. 3 D. 4 ‎ ‎10.设 A, B, C, D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，DABC 为等边三角形且面积为 9‎ 棱锥 D − ABC 体积的最大值为（ ） ‎ ‎‎ ‎3 ,则三 ‎17、（本小题满分 12 分） ‎ 已知{an }是递增的等差数列， a2 = 3 ,且 a1 , a3 − a1 , a8 + a1 成等比数列 (1)求数列{an }的通项公式； ‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 A.12‎ ‎‎ ‎3 B.18‎ ‎‎ ‎3 C. 24‎ ‎‎ ‎3 D. 54 3 ‎ ‎‎ ‎(2)若bn = ‎‎ ‎3‎ ‎，求数列{bn }的前 n 项和 S n 。 ‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 ‎11.已知 F 为抛物线 y 2 = 4x 的焦点，过 F 的直线 l 交抛物线于 A, B 两点（点 A 在第四象限），‎ ‎an an+1‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 ‎→ →‎ 若 BF = 2 FA ,则| AB | 的值为（ ） ‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 ‎5 9‎ A. B.‎ ‎2 2‎ ‎‎ ‎ C.‎ ‎‎ ‎81 D. 64 ‎ ‎4‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 ‎12.已知定义在 (0,+¥) 上的函数 f ( x) 的导函数为 f ¢( x) ， f ( x) > 0 且 f (e) = 1 ，若对任意 ‎18、（本小题满分 12 分） 装 ‎ ‎ ‎ 如图，在四棱锥 P − ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， ‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 x Î (0,+¥) ， xf ¢( x) ln x + f ( x) > 0 恒成立，则不等式 ‎1 < ln x 的解集为（ ） ‎ f ( x)‎ ‎‎ PA = PD = ‎‎ ‎2, PB = PC = 6 ‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 A.{x | 0 < x < 1} B.{x | x > 1} C.{x | x > e} D.{x | 0 < x < e} ‎ 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 ‎ ‎13.曲线 y = 2 ln x 在点 (1,0) 处的切线方程为 . ‎ ì y ³ 1‎ í ï ‎14.已知实数 x, y 满足约束条件 ïx − y −1 ³ 0 ，则 z = 2 x + y 取最大值时的最优解是 . ‎ îx + y − 4 £ 0‎ ‎（1）证明：平面 PAD ⊥ 平面 ABCD ； 订 ‎ ‎ ‎ ‎（2）若点 E 为线段 PA 的中点，求点 E 到平面 PBC 的距离。 ‎ ‎ ‎ ‎ 线 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 ‎1 1 1 1 1‎ ‎15.在长方体 ABCD − A B C D 中， AB = 2BC = 2 ，直线 DC 与平面 ABCD 所成的角为 45o ，‎ 则异面直线 AD1 与 DC1 所成角的余弦值为 . ‎ ‎16.在 DABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，已知 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 sin B + sin A× (sinC − cosC) = 0, a = 2, c = ‎2 ，则 C = . ‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 ‎19.（本小题满分12分） ‎ 某公司为了对某种商品进行合理定价，需了解该商品的月销售量 y （单位：万 考号 件）与月销售单价 x （单位：元/件）之间的关系，对近6个月的月销售量 yi 和 ‎21、（本小题满分 12 分） ‎ 已知函数 f ( x) = ln x + 1 x 2 + ax(a Î R) , g ( x) = 3 x 2 − x ‎ ‎2 2‎ ‎（1）当 a = −4 时，求函数 f ( x) 的单调区间； ‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 月销售单价 xi （ i = 1,2,3,4,5,6 ）数据进行了数据分析，得到一组检测数据如 ‎‎ ‎（2）定义：对于函数 f ( x) ，若存在 x ,使 f ( x ) = x ‎‎ 成立，则称 x 为函数 f ( x) 的不动点。 ‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 月销售单价 x（元/件） ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ ‎7 ‎ ‎8 ‎ ‎9 ‎ 月销售量 y （万件） ‎ ‎89 ‎ ‎83 ‎ ‎82 ‎ ‎79 ‎ ‎74 ‎ ‎67 ‎ 姓名 表所示： ‎ ‎0 0 0 0‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 ‎（1）若用线性回归模型拟合 y 与 x 之间的关系，现有甲、乙、丙三位实习员工 求得回归直线方程分别为： ‎ ‎如果函数 F ( x) = ‎ ‎ ‎ ‎ ‎f ( x) − g ( x) 存在不动点，求实数 a 的取值范围。 ‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 Ù Ù Ù 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 班级 y = −4x +105， y = 4x + 53 ， y = −3x +104 ，其中有且仅有一位实习员工的 计算结果是正确的。请结合统计学的相关知识，判断哪位实习员工的计算结果是 正确的，并说明理由； ‎ 装 （2）若用 y = ax2 + bx + c 模型拟合 y 与 x 之间的关系，可得回归方程为 ‎（二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。‎ 如果多做，则按所作的第一题计分。 ‎ ‎22、（本小题满分 10 分）选修 4—4：坐标系与参数方程 ‎ ìx = 2 + 2 cosa 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 Ù y = −0.375x2 + 0.875x + 90.25 ，经计算该模型和（1）中正确的线性回归模型 ‎在直角坐标系 xOy 中，曲线C : í î y = 2 sina ìx = −1+ t cos b ‎(a为参数) ，直线 ‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 ‎ 的相关指数 R2 分别为0.9702和0.9524，请用 R2 说明那个回归方程的拟合效果更 订 ‎ ‎l : í î y = t sin b ‎(t为参数) ，以原点O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 ‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 ‎ 好； ‎ ‎ （3）已知该商品的月销售额 z （单位：万元），利用（2）中的结果回答问题：‎ ‎ 当月销售单价为何值时，商品的月销售额预报值最大？（精确到0.01）参考数据 ‎ 6547 » 80.91 ‎ 线 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20、（本小题满分12分） ‎ ‎(1)求曲线 C 与直线 l 的极坐标方程； ‎ ‎(2)若直线 l 与曲线 C 相交，交点为 A, B ，直线与 x 轴交于Q 点，求| QA | + | QB | 的取值范围。 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23、（本小题满分 10 分）选修 4—5：不等式选讲 ‎ 已知对任意实数 x ，都有| x + 2 | + | x − 4 | −m ³ 0 恒成立 ‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 ‎2‎ ‎2‎ 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C : x + y ‎= 1 交于 A, B 两点，线段 AB 的中点为 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 ‎4 3‎ M (1, m)(m > 0) ‎ ‎1‎ ‎(1)求实数 m 的取值范围； ‎ ‎(2)若 m 的最大值为 n ，当正数 a, b 满足 4 + 1‎ ‎‎ = n 时，求 4a + 7b 的最小值。 ‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 ‎(1)证明: k < − ； ‎ ‎2‎ ‎‎ ‎→ → → →‎ ‎a + 5b ‎3a + 2b 6‎ 高三一模·文科数学·第 3 页 共 3 页 HLLYBQ整理 供“高中试卷网（http://sj.fjjy.org）”‎ ‎(2)设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 FP+ FA+ FB = 0 ，证 ‎→ → →‎ 明: 2 | FP |=| FA | + | FB | 。 ‎ ‎ ‎ 欢迎访问“高中试卷网”——http://sj.fjjy.org ‎·4·‎