人教A版高中数学选修4-5全册试卷考前过关训练(一) 6页

考前过关训练(一) 不等式和绝对值不等式 基础过关 (35 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.已知 x≥ ,则 f(x)= 有 ( ) A.最大值 B.最小值 C.最大值 1 D.最小值 1 【解析】选 D.因为 x≥ ,所以 x-2≥ . 所以 f(x)= = (x-2)+ ≥ 2 =1, 当且仅当 = , 即 x=3 时,等号成立,所以 f(x)min=1. 2.若 a>b>c,则一定成立的不等式是 ( ) A.a|c|>b|c| B.ab>ac C.a-|c|>b-|c| D. < < 【解析】选 C.当 c=0 时,A 不成立; 当 a<0 时,B 不成立;当 a=1,c=-1 时,D 不成立. 因为 a>b,所以 C 成立. 3.不等式|sinx+tanx|0,解得 a<1 或 a>3. 6.当 x>1 时,不等式 x-2+ ≥a 恒成立,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.(-∞,0] B.[0,+∞) C.[1,+∞) D.(-∞,1] 【解析】选 D.由已知得 a≤ . 因为 x>1,所以 x-1>0, 所以 x-2+ =x-1+ -1≥ 2 -1=1, 所以 =1,所以 a≤1. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.已知 x2+2y2=1,则 x2y4-1 的最大值是________. 【解析】因为 x2+2y2=1,所以 x2+y2+y2=1, 又 x2·y2·y2≤ = . 所以 x2y4-1≤ -1=- , 故 x2y4-1 的最大值为- . 答案:- 8.已知不等式(x+y) ≥9对任意正实数x,y 恒成立,则正实数 a的最小值为 ________. 【解题指南】先求(x+y) 的最小值,只需 ≥9 即可. 【解析】(x+y) =1+a+ + ≥1+a+2 ,所以 1+a+2 ≥9,即 a+2 -8≥0, 故 a≥4. 答案:4 9.如 果 关 于 x 的 不 等 式 |x-2|+|x+3|≥ a 的 解 集 为 R, 则 a 的 取 值 范 围 是 __________. 【解析】|x-2|+|x+3|表示数轴上的 x 点到 2 和-3 点的距离之和,其最小值等于 5, 故当 a≤5 时关于 x 的不等式|x-2|+|x+3|≥a 的解集为 R. 答案:(-∞,5] 三、解答题(每小题 10 分,共 30 分) 10.设不等式|x+1|≤a 的解集为 A,不等式|x-1|+|2-x|>2 的解集为 B,若 A∪B=R, 求实数 a 的取值范围. 【解题指南】求解|x+1|≤a,需要对 a 进行分类讨论. 【解析】当 a<0 时,集合 A= ; 当 a≥0 时,集合 A={x|-a-1≤x≤a-1}. 可求得集合 B= . 因为 A∪B=R,所以 a≥0. 此时 A={x|-a-1≤x≤a-1}. 把集合 A,B 在数轴上表示出来,如图, 因此有-a-1≤ 且 ≤a-1,即 a≥ . 因此,所求 a 的取值范围为 . 11.已知函数 f(x)=|2x-1|+|x-2a|. (1)当 a=1 时,求 f(x)≤3 的解集. (2)当 x∈[1,2]时,f(x)≤3 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【解析】(1)当 a=1 时,原不等式可化为|2x-1|+|x-2|≤3,依题意,当 x>2 时,不 等式即 3x-3≤3,则解得 x≤2,综合可得,x 无解. 当 ≤x≤2 时,不等式即 x+1≤3,解得 x≤2, 综合可得, ≤x≤2. 当 x< 时,不等式即 3-3x≤3,解得 x≥0, 综合可得 0≤x< . 综上所述:原不等式的解集为[0,2]. (2)原不等式可化为|x-2a|≤3-|2x-1|, 因为 x∈[1,2],所以|x-2a|≤4-2x, 即 2x-4≤2a-x≤4-2x,故 3x-4≤2a≤4-x,对 x∈[1,2]恒成立, 当 1≤x≤2 时,3x-4 的最大值 2,4-x 的最小值 2,所以 a=1,即 a 的取值范围为{1}. 12.某集团投资兴办甲、乙两个企业,2019 年甲企业获得利润 320 万元,乙企业获 得利润 720 万元,以后每年甲企业的利润以上年利润 1.5 倍的速度递增,而乙企 业是上年利润的 .预期目标为两企业年利润之和是 1600 万元,从 2020 年年初 起: (1)哪一年两企业获利之和最小? (2)需经过几年即可达到预定目标(精确到 1 年)? 【解析】(1)设从 2019 年起,第 n 年获利为 yn=320 +720 ≥2 =2×480=960, 当且仅当 320· =720 , 即 · = , n=2 时取等号. 所以第二年,即 2020 年两企业获得利润之和最少,共 960 万元. (2)依题意有:320 +720 ≥1600, 即 4 +9 ≥20. 设 =t(t≥1), 则原不等式化为 4t2-20t+9≥0, 解得 t≥ ,或 t≤ (舍去). 于是 ≥ ,n≥1+lo =2+lo 3>2+lo =4. 所以 n=5,即经过 5 年可达到预期目标.