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- 2021-06-16 发布
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江西省吉安市遂川中学2019-2020学年高一实验班上学期
第一次月考数学试题
一、选择题:本题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
【答案】C
【解析】由题意,可知,所以角和角表示终边相同的角,
又由表示第三象限角,所以是第三象限角,故选C.
2.已知函数的定义域是,则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】函数有意义,则:,求解不等式有:,
据此可知函数的定义域为.
本题选择A选项.
3.函数的零点所在的大致区间是 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】函数为单调增函数,且图象是连续的,
又,
∴零点所在的大致区间是
故选C
4.设如果且那么符合条件的集合的个数是( )
A. 4 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】D
【解析】∵A={1,2,3,4},S⊆A
∴S={4},{2},{1,2 },{1,4},{2,3 },{2,4},{3,4},{1,2,,3 },{1,2,4},{1,3,4},(2,3,4),{1,2,3,4}
故满足S⊆A且S∩B≠ϕ的集合S的个数为12个
故答案为D
5.设扇形的周长为,则扇形的圆心角的弧度数是2,则扇形的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设扇形的弧长为l,半径为r,
∵扇形圆心角的弧度数是2,
∴l=2r,
∵l+2r=2r+2r=4r=4,
∴解得:r=1,l=2,
∵S扇lr1×2=1.
故选:B.
6.今有一组实验数据如下表所示:
则体现这些数据关系的最佳函数模型是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】画出散点图如图所示,根据点的分布特征,选项C, 更能体现这些的数据关系.故答案选C.
7.若则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意,利用三角函数的诱导公式和同角三角函数的基本关系式,
化简得,
又由,则,
所以,故选A.
8.函数的零点是和,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为的零点是和,所以,是方程
的两个根,根据韦达定理得到,再由两角和的正切公式得到:.
故选B.
9.的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】f(﹣x)=f(x),则函数f(x)是偶函数,图象关于y轴对称,排除A,D,
f(π)=lnπ﹣cosπ=lnπ+1>0,排除C,
故选B.
10.设函数,若对任意的实数都成立,则实数的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】若f(x)≥mx对任意的实数x≥2都成立,
则m≤x4对任意的实数x≥2都成立,
由对勾函数的图象和性质,可得
y=x,(x≥2)在x=2时,取最小值,
故m4,
即实数m的取值范围是(﹣∞,],
故选:D.
11.若对于任意都有,则函数的图象的对称中心为( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】∵对任意x∈R,都有f(x)+2f(–x)=3cosx–sinx①,用–x代替x,得f(–x)+2f(x)=3cos(–x)–sin(–x),即f(–x)+2f(x)=3cosx+sinx②;①②联立,解得f(x)=sinx+cosx,所以函数y=f(2x)–cos2x=sin2x+cos2x–cos2x=sin2x,图象的对称中心为(,0),k∈Z,故选D.
12.已知的最大值为,若存在实数、,使得对任意实数总有成立,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】依题意
,
,
,,
,
的最小值为,
故选C.
二、填空题:本题共4个小题,每小题5分,共20分.
13.______.
【答案】
【解析】
14.已知函数,则__________.
【答案】
【解析】依题意可得,其最小正周期,且,故.
故答案为.
15.如果,那么 的大小为________.(用号连接).
【答案】c>a>b
【解析】∵1>a=sin2>sin,
b=,c=,∴c>a>b.故答案为:c>a>b
16.已知函数,给出下列结论:
(1)若对任意,且,都有,则为R上的减函数;
(2)若为R上的偶函数,且在内是减函数,,则解集为;
(3)若为R上的奇函数,则也是R上的奇函数;
(4)为常数,若对任意的,都有则关于对称.
其中所有正确的结论序号为_________
【答案】(1) (2)(3)(4)
【解析】对于(1),若对于任意且,都有,
即当时,,当时,,则为R上的减函数,则(1)对;对于(2)若为R上的偶函数,且在内是减函数,则在上递增,,则即为,即有,解得或,则(2)对;对于(3),若为上的奇函数,则,即有,也是R上的奇函数,则(3)对;对于(4),若任意的都有,则是偶函数,的图象关于 轴对称,,的图象平移个单位可得到的图象,所以 关于直线对称,则(4)对,故答案为(1)(2)(3)(4).
三、 解答题(17题10分,其余每题12分,共70分 )
17.已知,求下列各式的值.
(1) ;
(2).
解:(1);
(2)
.
18.已知函数是定义在(-1,1)上的奇函数,且.
(1)求的值;
(2)求的值域.
解:(1)由题意得:,
,
(2)由,
则,即这个方程一定有解,
当时,,
当时:,且,
综上所述:.
19.已知函数=的部分图象如图所示.
(1)求的值;
(2)求的单调增区间;
(3)求在区间上的最大值和最小值.
解:(1)由图象知
由图象得函数的最小正周期为=,则由=得.
(2)令
.
.
所以f(x)的单调递增区间为
(3)
..
当即时取得最大值1;
当即时,f(x)取得最小值.
20.已知函数的图象是由函数的图象经如下变换得到:先将图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍(横坐标不变),再将所得到的图象向右平移个单位长度.
(1)求函数的解析式,并求其图象的对称轴方程;
(2)已知关于的方程在内有两个不同的解、,求实数
的取值范围.
解:(1)将g(x)=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)得到y=2cosx的图象,
再将y=2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos(x)的图象,
故f(x)=2sinx,
从而函数f(x)=2sinx图象的对称轴方程为x=k(k∈Z).
(2)f(x)+g(x)=2sinx+cosx()sin(x+φ)
(其中sinφ,cosφ)
依题意,sin(x+φ)在区间[0,2π)内有两个不同的解α,β,当且仅当||<1,
故m的取值范围是(,).
21.若对定义域内任意,都有(为正常数),则称函数为“距”增函数.
(Ⅰ)若,是“距”增函数,求的取值范围;
(Ⅱ)若,,其中,且为“2距”增函数,求的取值范围.
解:(I).
因为是“距”增函数,所以恒成立,由,
所以.
(II)因为,,其中,且为“2距”增函数,即时,
恒成立,所以,当时,即,
当时,,所以.
综上所述,得.
22.如图,在平面直角坐标系中,单位圆上存在两点,满足均与轴垂直,设∠xOA=α(α),与面积之和为.
(1)若,求的值;
(2)若对任意,存在,使得成立,求实数的取值范围.
解:(1)依题意f(α)=S△AOC+S△BODcosαsinαcos(α)sin(α)
sin2αsin(2α)sin2α(cos2αsin2α)sin2αcos2α
sin(2α),
由f(α),得sin(2α),
即sin(2α)由α,可得2α或,
解得α或;
(2)由(1)得f(α)sin(2α),
α,可得2α∈(,),
从而f(α)max,当x<0时,x[(﹣x)]≤﹣2
(当且仅当x时,等号成立),
对任意α,存在x<0,使得f(α)≤x18m成立.
可得f(α)max≤(x)max+18m,
即218m,解得m,