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- 2021-06-16 发布
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6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
课
标
解
读
课标要求 核心素养
1.借助实例理解并掌握向量加法的概念.
2.掌握向量加法运算法则,并能熟练地进行
加法运算.(重点)
3.理解向量加法运算的几何意义.(难点)
1.通过向量加法的三角形法则、平行四边形法
则,培养直观想象核心素养.
2.借助向量加法的运算律进行相关运算,培养数
学运算核心素养.
俄罗斯著名寓言作家克雷洛夫在他所著的《克雷洛夫寓言》中有一篇《天鹅、
梭子鱼和虾》的故事,故事的大意是这样的:有一天,天鹅、梭子鱼和虾一起拉一车
货物,天鹅想,我的家在天上,应该把货物拉到我家,于是,天鹅伸长脖子拼命往天
上飞.梭子鱼想,我的家在河里,应该往河里拉,于是,梭子鱼使劲往河里拽.虾想,
我的家在池塘里,应该把货送到池塘,于是,虾弓着身子往池塘拉.他们三个累的精
疲力尽,车子却纹丝不动.
问题 1:车子为什么纹丝不动?
答案 天鹅、梭子鱼和虾用力的方向不一致.
问题 2:这则故事给我们的启示是什么?
答案 要想成功,就要好好合作,用力方向要合理.
1.向量的加法
(1)定义:求①两个向量和的运算,叫做向量的加法.这种求向量和的方法,称
为向量加法的三角形法则.
对于零向量与任意向量 a,规定 0+a=a+0=a.
(2)向量求和的法则:
三角
形法
则
已知非零向量 a,b,在平面内任取一点 A,作
′
=a,
′
=b,则向量
叫做 a 与 b 的和,记作
②a+b,即 a+b=
′
+
′
=
平行
四边
形法
则
以同一点 O 为起点的两个已知向量 a,b,以 OA,OB 为邻边作③▱OACB,则以 O 为起点的向
量
(OC 是▱OACB 的对角线)就是向量 a 与 b 的和,即
=a+b
特别提醒
三角形法则与平行四边形法则的区别与联系
三角形法则 平行四边形法则
区别
满足条
件
两向量“首尾
相接”
两向量“共起点”
适用范
围
所有向量 不共线的两向量
联系
平行四边形法则与三角形法则在本质上是一致的.这两种求向量和的方法,通过向量平移能
相互转化,解决具体问题时视情况而定
2.向量加法的运算律
(1)交换律:a+b=④b+a.
(2)结合律:(a+b)+c=⑤a+(b+c).
思考:向量加法的运算律与实数加法的运算律相同吗?
提示 相同.
3.|a|-|b|,|a±b|,|a|+|b|三者的关系
根据三角形的三边关系可得|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当向量 a,b 方向
相同时取“=”.
探究一 向量加法运算法则的应用
例 1 如图所示,已知向量 a、b、c,试作出向量 a+b+c.
解析 解法一:如图 1 所示,首先在平面内任取一点 O,作向量
=a,接着作向
量
′
=b,则得向量
′
=a+b,然后作向量
′
=c,则向量
=(a+b)+c=a+b+c.
解法二:如图 2 所示,首先在平面内任取一点 O,作向量
=a,
′
=b,
=c,以
OA、OB 为邻边作▱OADB,连接 OD,则
=
+
′
=a+b,再以 OD、OC 为邻边作▱ODEC,
连接 OE,则
=
+
=a+b+c.
思维突破
向量求和法则的应用技巧
(1)当两个不共线向量求和时,三角形法则和平行四边形法则都可以用.
(2)多个向量求和时,可先求两个向量的和,再和其他向量求和.
1-1 如图(1)、图(2)所示,试作出向量 a 与 b 的和.
解析 如图①、图②所示.
′
即为所求.
探究二 向量加法运算律的应用
例 2 化简下列各式:
(1)
′
+
+
+
′
+
;
(2)(
′
+
)+
+
′
+
.
解析 (1)
′
+
+
+
′
+
=
′
+
′
+
+
+
=
+
+
+
=
+
=0.
(2)(
′
+
)+
+
′
+
=(
′
+
′
)+(
+
)+
=
+
+
=
+
=0.
2-1 化简:(
′
+
′
)+(
′
+
′
)+
= .
答案
解析 (
′
+
′
)+(
′
+
′
)+
=(
′
+
′
)+
′
+(
′
+
)=
+
′
+
′
=
.
探究三 向量加法的实际应用
例 3 在某地抗震救灾时,一架飞机先从 A 地按北偏东 35°方向飞行 800km 到
达 B 地接到受伤人员,然后从 B 地按南偏东 55°方向飞行 800km 将受伤人员送往 C
地医院,求这架飞机飞行的路程及两次飞行的位移的和.
解析 如图所示,设
′
,
′
分别表示飞机从 A 地按北偏东 35°方向飞行
800km 到达 B 地,从 B 地按南偏东 55°方向飞行 800km 到达 C 地.
则飞机飞行的路程是|
′
|+|
′
|,两次飞行的位移的和是
′
+
′
=
.
依题意,有|
′
|+|
′
|=800+800=1600(km),∠ABC=35°+55°=90°,
所以|
|=
| ′ |
2
+ |′ |
2
=
800
2
+ 800
2
=800
2
(km).
其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东 35°+45°=80°.
故飞机飞行的路程是 1600km,两次飞行的位移和的大小为 800
2
km,方向为北
偏东 80°.
思维突破
向量加法解决实际问题的应用技巧
(1)准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量.
(2)将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求
解.
3-1 如图,用两根绳子把重 10N 的物体 W 吊在水平木杆 AB
上,∠ACW=150°,∠BCW=120°,求 A 处和 B 处所受力的大小(绳子的质量忽略不计).
解析 如图,设
,
分别表示 A,B 所受的力,
10N 的重力用
表示,则
+
=
.
易得∠ECG=180°-150°=30°,∠FCG=180°-120°=60°,
∴|
|=|
|×cos30°
=10×
3
2
=5
3
(N).
|
|=|
|×cos60°=10×
1
2
=5(N).
故 A 处所受的力的大小为 5
3
N,B 处所受的力的大小为 5N.
1.在四边形 ABCD 中,若
=
′
+
,则( )
A.四边形 ABCD 一定是矩形
B.四边形 ABCD 一定是菱形
C.四边形 ABCD 一定是正方形
D.四边形 ABCD 一定是平行四边形
答案 D 由向量加法的平行四边形法则可知,四边形 ABCD 必为平行四边形.
2.化简
+
+
+
的结果为( )
A.
B.
C.
D.
答案 B
+
+
+
=
+0=
.
3.(多选题)在如图所示的▱ABCD 中,下列结论正确的是( )
A.
′
=
B.
+
′
=
C.
′
=
′
+
D.
+
′
=0
答案 ABD 由▱ABCD 知 A,B,D 正确,因为
′
=
+
′
≠
′
+
,所以 C 错误.
4.若 a 表示“向东走 8km”,b 表示“向北走 8km”,则|a+b|= ,a+b 的方向
是 .
答案 8
2
km;东北方向
解析 如图所示,作
=a,
′
=b,
则 a+b=
+
′
=
′
,
所以|a+b|=|
′
|=
8
2
+ 8
2
=8
2
(km),
因为∠AOB=45°,
所以 a+b 的方向是东北方向.
5.如图,已知向量 a,b,c,求作向量 a+b+c.
解析 在平面内任取一点 O,作
=a,
′
=b,
′
=c,如图所示:
则由向量加法的三角形法则,得
′
=a+b,
=a+b+c,故
即为所求向量 a+b+c.
逻辑推理——向量加法的应用
如图,在正六边形 OABCDE 中,
=a,
=b,试用向量 a,b 将
′
,
,
表示出
来.
解析 如图,连接 BE,AD,设正六边形的中心为 P,则四边形
ABPO,AOEP,ABCP,OPDE 均为平行四边形.
由向量加法的平行四边形法则得
=
+
=a+b.
∵
′
=
=
,
∴
′
=
=a+b.
在△AOB 中,根据向量加法的三角形法则,
得
′
=
+
′
=a+a+b.
同理,在△OBC 中,
=
′
+
′
=a+a+b+b,
在△OED 中,
=
+
=
+
=b+a+b.
素养探究:用已知向量表示待求向量,可以利用向量的平移性,根据三角形法
则、平行四边形法则,结合正六边形的几何性质转化求解,体现了逻辑推理的核心
素养.
P,Q 是△ABC 的边 BC 上的两点,且 BP=QC.求证:
′
+
=
+
.
证明 如图,取 BC 的中点 O,连接 AO 并延长至点 D,使 OD=AO,连接 BD,CD,则四边
形 ABDC 是平行四边形,所以
′
+
=
,又 BP=QC,BO=CO,所以 PO=QO,连接 PD,QD,
则四边形 APDQ 是平行四边形,所以
+
=
,所以
′
+
=
+
.
1.(多选题)下列等式正确的有( )
A.
′
+
′
=0
B.
=
+
′
+
′ C.
+
+
+
=0
D.
′
+
+
′
+
=0
答案 ABD 由向量加法的三角形法则和零向量的定义可知
′
+
′
=0,故 A 正
确.
+
′
+
′
=
′
+
′
+
=
,故 B 正确.
+
+
+
=
+
+
=
,故 C 不正确.
′
+
+
′
+
=
+
′
+
′
+
=0,故 D 正确.
2.在▱ABCD 中,若|
′
+
′
|=|
′
+
′
|,则四边形 ABCD 是( )
A.菱形 B.矩形
C.正方形 D.不确定
答案 B
3.在▱ABCD 中,O 是对角线的交点,下列结论正确的是( )
A.
′
=
,
′
=
B.
+
=
C.
+
=
+
D.
′
+
′
+
=
答案 C
4.在矩形 ABCD 中,AB=
3
,BC=1,则向量
′
+
+
的长度为( )
A.2 B.2
3
C.3 D.4
答案 D 在矩形 ABCD 中,AB=
3
,BC=1,
所以 AC=2,
因为
′
+
+
=
′
+
′
+
=
+
=2
,故其长度为 4.
5.根据图示填空,其中 a=
,b=
,c=
′
,d=
′
.
(1)a+b+c= ;
(2)b+d+c= .
答案 (1)
′
(2)
解析 (1)a+b+c=
+
+
′
=
′
.
(2)b+d+c=
+
′
+
′
=
+
′
+
′
=
.
6.若 P 为△ABC 的外心,且
+
′
=
,则∠ACB= .
答案 120°
解析 由
+
′
=
知四边形 ACBP 为平行四边形,
又 P 为外心,
所以四边形 ACBP 为菱形,
且 PA=PC=AC,∠ACP=60°,
易得∠ACB=120°.
7.如图所示,已知在矩形 ABCD 中,|
|=4
3
,设
′
=a,
′
=b,
′
=c,求|a+b+c|的大
小.
解析 如图所示,过点 D 作 AC 的平行线,交 BC 的延长线于点 E.
∵DE∥AC,AD∥BE,
∴四边形 ADEC 为平行四边形,
∴
=
,
=
,
于是 a+b+c=
′
+
′
+
′ =
+
′
=
+
′
=
′
=
+
=2
,
∴|a+b+c|=2|
|=8
3
.
8.(多选题)向量 a、b 均为非零向量,下列说法中正确的是( )
A.若向量 a 与 b 反向,且|a|>|b|,则向量 a+b 与 a 的方向相同
B.若向量 a 与 b 反向,且|a|<|b|,则向量 a+b 与 a 的方向相同
C.若向量 a 与 b 同向,则向量 a+b 与 a 的方向相同
D.若向量 a 与 b 同向,则向量 a+b 与 b 的方向相同
答案 ACD 当向量 a 与 b 反向,且|a|<|b|时,向量 a+b 与 b 的方向相同,只有 B
错误,A、C、D 都正确.
9.(多选题)如图,D,E,F 分别是△ABC 的边 AB,BC,CA 的中点,则下列等式中正确的是
( )
A.
+
+
=0B.
+
′
+
=0
C.
+
+
=
′
D.
+
+
=
′ 答案 ABC
+
+
=
+
=0,故 A 正确;
+
′
+
=
+
+
=0,故 B
正确;
+
+
=
+
=
+
′
=
′
,故 C 正确;
+
+
=
+0=
=
′
≠
′
,故 D 错
误.
10.已知▱ABCD,设
′
+
+
′
+
=a,且 b 是非零向量,则下列结论:①a∥b;②a+b=a;
③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|,其中正确的有 .(填序号)
答案 ①③
解析 因为在平行四边形 ABCD 中,
′
+
=0,
′
+
=0,所以 a 为零向量,因为零
向量和任意向量都平行,零向量和任意向量的和等于这个向量本身,所以①③正确,
②④错误.
11.雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的,无风时雨滴下落的速度是 4.0m/s,现
在有风,风使雨滴以
4 3
3
m/s 的速度水平向东移动,求雨滴着地时的速度和方向.
解析 如图,用
表示雨滴下落的速度,
′
表示风使雨滴水平向东移动的速度.
以
,
′
为邻边作四边形 OACB,
就是雨滴下落的实际速度.
在 Rt△OAC 中,|
|=4,|
|=
4 3
3
,
∴|
|=
| |
2
+ | |
2
=
4
2
+
4 3
3
2
=
8 3
3
,
∴tan∠AOC=
| |
| |
= 4 3
3
4
=
3
3
,∴∠AOC=30°.
故雨滴着地时的速度大小是
8 3
3
m/s,方向为南偏东 30°.
12.过△ABC 内一点 M 任作一条直线 l,再分别过顶点 A,B,C 作 l 的垂线,垂足分别为
D,E,F,若
+
′
+
=0 恒成立,则点 M 是△ABC 的( )
A.垂心 B.重心 C.外心 D.内心
答案 B 设直线 l 过点 A,则|AD|=0,有
′
+
=0.
则直线 AM 经过 BC 的中点,同理,直线 BM 经过 AC 的中点.直线 CM 经过 AB 的中点,
所以点 M 是△ABC 的重心.
13.设|a|=2,e 为单位向量,求|a+e|的最大值.
解析 在平面内任取一点 O,作
=a,
′
=e,
则 a+e=
+
′
=
′
,因为 e 为单位向量,所以点 B 在以 A 为圆心的单位圆上(如图所
示),
由图可知,当点 B 在点 B1 处时,O,A,B1 三点共线,此时|
′
|(即|a+e|)最大,最大值是
3.
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