2020高考数学二轮复习练习：第二部分 专题五 第1讲 直线与圆含解析 17页

第1讲　直线与圆 ‎[做真题]‎ 题型一　圆的方程 ‎1．(2016·高考全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)‎ A．－　　　　　 B．－ C． D．2‎ 解析：选A.由题可知，圆心为(1，4)，结合题意得＝1，解得a＝－.‎ ‎2．(2015·高考全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．‎ 解析：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0，2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4，0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0，2)，(0，－2)，(4，0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0＜m＜4，r＞0)，则解得所以圆的标准方程为(x－)2＋y2＝.‎ 答案：(x－)2＋y2＝ ‎3．(2018·高考全国卷Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.‎ ‎(1)求l的方程；‎ ‎(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．‎ 解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k＞0)．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.‎ Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝.‎ 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.‎ 由题设知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.因此l的方程为y＝x－1.‎ ‎(2)由(1)得AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则 解得或 因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.‎ 题型二　直线与圆、圆与圆的位置关系 ‎1．(2018·高考全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)‎ A．[2，6]　　　　　　　 B．[4，8]‎ C．[，3] D．[2，3] ‎ 解析：选A.圆心(2，0)到直线的距离d＝＝2，所以点P到直线的距离d1∈[，3]．根据直线的方程可知A，B两点的坐标分别为A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以△ABP的面积S＝|AB|d1＝d1.因为d1∈[，3]，所以S∈[2，6]，即△ABP面积的取值范围是[2，6]．‎ ‎2．(2015·高考全国卷Ⅱ)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(　　)‎ A．2 B．8‎ C．4 D．10‎ 解析：选C.设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ 则解得 所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.‎ 令x＝0，得y＝－2＋2或y＝－2－2，‎ 所以M(0，－2＋2)，N(0，－2－2)或M(0，－2－2)，N(0，－2＋2)，所以|MN|＝4，故选C.‎ ‎3．(2016·高考全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过 A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝2，则|CD|＝________．‎ 解析：设圆心到直线l：mx＋y＋3m－＝0的距离为d，则弦长|AB|＝2＝2，得d＝3，即＝3，解得m＝－，则直线l：x－y＋6＝0，数形结合可得|CD|＝＝4.‎ 答案：4‎ ‎[山东省学习指导意见]‎ ‎1．直线与方程 ‎(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．能根据斜率判定两条直线平行或垂直．‎ ‎(2)根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．体会斜截式与一次函数的关系．‎ ‎(3)探索并掌握两点间的距离公式．点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离，会求两直线的交点坐标．‎ ‎2．圆与方程 ‎(1)由圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程与一般方程．‎ ‎(2)能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系．‎ ‎(3)能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．‎ ‎3．空间直角坐标系 了解空间直角坐标系，明确感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用空间两点间的距离公式．‎ 直线的方程 ‎[考法全练]‎ ‎1．若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　‎ A．1±或0 B．或0‎ C． D．或0‎ 解析：选A.因为平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，所以kAB＝kAC，即＝‎ ，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±.故选A.‎ ‎2．若直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，则m的值为(　　)‎ A．7 B．0或7‎ C．0 D．4‎ 解析：选B.因为直线mx＋2y＋m＝0与直线3mx＋(m－1)y＋7＝0平行，所以m(m－1)＝3m×2，所以m＝0或7，经检验，都符合题意．故选B.‎ ‎3．已知点A(1，2)，B(2，11)，若直线y＝x＋1(m≠0)与线段AB相交，则实数m的取值范围是(　　)‎ A．[－2，0)∪[3，＋∞) B．(－∞，－1]∪(0，6]‎ C．[－2，－1]∪[3，6] D．[－2，0)∪(0，6]‎ 解析：选C.由题意得，两点A(1，2)，B(2，11)分布在直线y＝x＋1(m≠0)的两侧(或其中一点在直线上)，所以≤0，解得－2≤m≤－1或3≤m≤6，故选C.‎ ‎4．已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0，4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为__________________．‎ 解析：由得所以直线l1与l2的交点为(1，2)．显然直线x＝1不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，因为P(0，4)到直线l的距离为2，所以＝2，所以k＝0或k＝.所以直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.‎ 答案：y＝2或4x－3y＋2＝0‎ ‎5．(一题多解)已知直线l：x－y－1＝0，l1：2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于直线l对称，则直线l2的方程是________．若直线l3与l关于点(1，1)对称，则直线l3的直线方程是________．‎ 解析：法一：l1与l2关于l对称，则l1上任意一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点(1，0)在l2上．‎ 又易知(0，－2)为l1上的一点，设其关于l的对称点为(x，y)，则 ，解得 即(1，0)，(－1，－1)为l2上两点，故可得l2的方程为x－2y－1＝0.‎ 因为l3∥l，可设l3的方程为x－y＋c＝0，则 ＝.‎ 所以c＝±1，所以l3的方程为x－y＋1＝0.‎ 法二：设l2上任一点为(x，y)，其关于l的对称点为(x1，y1)，则由对称性可知 解得 因为(x1，y1)在l1上，‎ 所以2(y＋1)－(x－1)－2＝0，即l2的方程为x－2y－1＝0.‎ 因为l3∥l，可设l3的方程为x－y＋c＝0，则 ＝.‎ 所以c＝±1，所以l3的方程为x－y＋1＝0.‎ 答案：x－2y－1＝0　x－y＋1＝0‎ ‎(1)两直线的位置关系问题的解题策略 求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．‎ ‎(2)轴对称问题的两种类型及求解方法 点关于 直线的对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组 可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)‎ 直线关 于直线的对称 有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一般转化为点关于直线的对称来解决 ‎　 ‎ 圆的方程 ‎[典型例题]‎ ‎ 在平面直角坐标系xOy中，曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)与x轴交于不同的两点A，B，曲线Γ与y轴交于点C.‎ ‎(1)是否存在以AB为直径的圆过点C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎(2)求证：过A，B，C三点的圆过定点．‎ ‎【解】　由曲线Γ：y＝x2－mx＋2m(m∈R)，令y＝0，得x2－mx＋2m＝0.‎ 设A(x1，0)，B(x2，0)，则可得Δ＝m2－8m>0，x1＋x2＝m，x1x2＝2m.‎ 令x＝0，得y＝2m，即C(0，2m)．‎ ‎(1)若存在以AB为直径的圆过点C，则·＝0，得x1x2＋4m2＝0，即2m＋4m2＝0，所以m＝0或m＝－.‎ 由Δ>0得m<0或m>8，所以m＝－，‎ 此时C(0，－1)，AB的中点M即圆心，半径r＝|CM|＝，‎ 故所求圆的方程为＋y2＝.‎ ‎(2)证明：设过A，B两点的圆的方程为x2＋y2－mx＋Ey＋2m＝0，‎ 将点C(0，2m)代入可得E＝－1－2m，‎ 所以过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2－mx－(1＋2m)y＋2m＝0，‎ 整理得x2＋y2－y－m(x＋2y－2)＝0.‎ 令可得或 故过A，B，C三点的圆过定点(0，1)和.‎ 求圆的方程的2种方法 几何法 通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程 代数法 用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程 ‎　 ‎ ‎[对点训练]‎ ‎1．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－2)　　　　　 B． C．(－2，0) D． 解析：选D.若方程表示圆，则a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，化简得3a2＋4a－4<0，解得－20，‎ 又圆C与y轴相切，‎ 所以圆C的半径r＝a，‎ 所以圆C的方程为(x－a)2＋y2＝a2.‎ 因为点M(1，)在圆C上，‎ 所以(1－a)2＋()2＝a2，解得a＝2.‎ 所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.‎ ‎(2)记直线OA的斜率为k(k≠0)，‎ 则其方程为y＝kx.‎ 联立消去y，得(k2＋1)x2－4x＝0，‎ 解得x1＝0，x2＝.‎ 所以A.‎ 由k·kOB＝－2，得kOB＝－，直线OB的方程为y＝－x，‎ 在点A的坐标中用－代替k，得B.‎ 当直线l的斜率不存在时，＝，得k2＝2，此时直线l的方程为x＝.‎ 当直线l的斜率存在时，≠，即k2≠2.‎ 则直线l的斜率为＝‎ ＝＝.‎ 故直线l的方程为y－＝.‎ 即y＝，所以直线l过定点.‎ 综上，直线l恒过定点，定点坐标为.‎ 一、选择题 ‎1．已知直线l1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2，0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为(　　)‎ A．(3，)　　　　　 B．(2，)‎ C．(1，) D． 解析：选C.直线l1的斜率k1＝tan 30°＝，因为直线l2与直线l1垂直，所以直线l2的斜率 k2＝－＝－，所以直线l1的方程为y＝(x＋2)，直线l2的方程为y＝－(x－2)，联立解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，)．‎ ‎2．圆C与x轴相切于T(1，0)，与y轴正半轴交于A、B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为(　　)‎ A．(x－1)2＋(y－)2＝2‎ B．(x－1)2＋(y－2)2＝2‎ C．(x＋1)2＋(y＋)2＝4‎ D．(x－1)2＋(y－)2＝4‎ 解析：选A.由题意得，圆C的半径为＝，圆心坐标为(1，)，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2，故选A.‎ ‎3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)‎ A．内切 B．相交 C．外切 D．相离 解析：选B.圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)可化为x2＋(y－a)2＝a2，由题意，M(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以a2＝＋2，解得a＝2.所以圆M：x2＋(y－2)2＝4，所以两圆的圆心距为，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．‎ ‎4．(多选)直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件是(　　)‎ A．00，y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝－，因为＝＋，故M，又点M在圆C上，故＋＝4，解得k＝0.‎ 法二：由直线与圆相交于A，B两点，＝＋，且点M在圆C上，得圆心C(0，0)到直线x－ky＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d＝＝1，解得k＝0.‎ 二、填空题 ‎7．过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．‎ 解析：令P(，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，‎ 所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB ‎＝sin∠AOB≤，‎ 当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝，‎ 于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，‎ 则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan 150°＝－.‎ 答案：－ ‎8．已知圆O：x2＋y2＝4到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则实数a的取值范围为________．‎ 解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆O到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d