新高考2020版高考数学二轮复习专题过关检测十八古典概型与几何概型文 8页

专题过关检测（十八） 古典概型与几何概型 A级——“12＋‎4”‎提速练 ‎1．已知小李每次打靶命中靶心的概率都是40%，现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率．先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定0,1,2,3表示命中靶心，4,5,6,7,8,9表示未命中靶心，再以每三个随机数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：‎ ‎321　421　191　925　271　932　800　478　589　663‎ ‎531　297　396　021　546　388　230　113　507　965‎ 据此估计，小李三次打靶恰有两次命中的概率为(　　)‎ A．0.25　　　　　　　　 B．0.30‎ C．0.35 D．0.40‎ 解析：选B　由题意可得，符合题意的模拟数据有：421,191,271,932,800,531，共6组．‎ 由古典概型的概率公式可得，小李三次打靶恰有两次命中的概率为P＝＝0.3，故选B.‎ ‎2．记函数f(x)＝的定义域为A，在区间[－3,6]上随机取一个数x，则x∈A的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　根据2＋x－x2≥0可以求得－1≤x≤2，‎ 即A＝[－1,2]，‎ 所以可得对应的概率为P＝＝＝.‎ ‎3．从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个数大于30的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　由题意知，试验发生包含事件是从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字，构成一个两位数，共20种结果．满足条件的事件可以列举出：31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54，共有12个，概据古典概型的概率公式，得到P＝‎ 8‎ ＝.‎ ‎4．在1,2,3,6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　在1,2,3,6中随机取出三个数，所有的可能结果为(1,2,3)，(1,2,6)，(1,3,6)，(2,3,6)，共4种，其中数字2是这三个不同数字的平均数的结果有(1,2,3)，共1种．由古典概型概率公式可得所求概率为P＝.即数字2是这三个不同数字的平均数的概率是P＝.‎ ‎5．在{3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个数能被5整除的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　在{3,5}和{2,4}两个集合中各取一个数组成的两位数有：32,34,52,54,23,25,43,45，共8个，其中能被5整除的两位数有：25,45，共2个，故所求概率P＝＝，选C.‎ ‎6．已知定义在区间[－3,3]上的函数f(x)＝2x＋m满足f(2)＝6，在[－3,3]上任取一个实数x，则使得f(x)的值不小于4的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　∵f(2)＝6，∴22＋m＝6，解得m＝2.‎ 由f(x)≥4，得2x＋2≥4，即x≥1，而x∈[－3,3]，‎ 故根据几何概型的概率计算公式，得f(x)的值不小于4的概率P＝＝.故选B.‎ ‎7．(2019·福建五校第二次联考)下列说法正确的是(　　)‎ A．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大 B．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小 C．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件 8‎ D．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件 解析：选D　对于选项A，“事件A，B中至少有一个发生”包括“事件A发生B不发生”、“A不发生B发生”和“A，B都发生”，“事件A，B中恰有一个发生”包括“事件A发生B不发生”和“A不发生B发生”，当事件A，B为对立事件时，“事件A，B中至少有一个发生”的概率与“事件A，B中恰有一个发生”的概率相等，故错误；对于选项B，“事件A，B同时发生”与“事件A，B中恰有一个发生”是互斥事件，不能确定概率的大小，故错误；因为对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件，所以选项C错误，选项D正确．故选D.‎ ‎8.(2019·江西九江一模)洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图案，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从四个阴数中随机抽取2数，则能使这两数与居中阳数之和等于15的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　从四个阴数中随机抽取2个数，共有6种取法，其中满足题意的取法有两种：4,6和2,8，∴能使这两数与居中阳数之和等于15的概率P＝＝.故选D.‎ ‎9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　因为函数f(x)有两个极值点，‎ 所以f′(x)＝x2＋2ax＋b2＝0有两个相异实根，则Δ＝(‎2a)2－4b2>0，即a>b，总的基本事件共有3×3＝9个，满足a>b的基本事件共有1＋2＋3＝6个，所以所求概率P＝＝.‎ ‎10．(2019·广东六校第一次联考)在区间[－π，π]上随机取两个实数a，b，记向量m＝(a,4b)，n＝(‎4a，b)，则m·n≥4π2的概率为(　　)‎ A．1－ B．1－ C．1－ D．1－ 8‎ 解析：选B　在区间[－π，π]上随机取两个实数a，b，则点(a，b)在如图所示的正方形内部及其边界上．因为m·n＝‎4a2＋4b2≥4π2，所以a2＋b2≥π2，满足条件的点(a，b)在以原点为圆心，π为半径的圆外部(含边界)，且在正方形内(含边界)，如图中阴影部分所示，所以m·n≥4π2的概率P＝＝1－，故选B.‎ ‎11.(2019·安庆二模)“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示．在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形．若直角三角形中较小的锐角α满足cos α＝，则从图中随机取一点，此点落在阴影部分的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　设大正方形的边长为5，由cos α＝知直角三角形中较小的直角边长为3，较长的直角边长为4，所以小正方形的边长为1，则小正方形的面积S＝1，又大正方形的面积为25，所以此点落在阴影部分的概率P＝＝.故选D.‎ ‎12．如图(1)所示的风车是一种用纸折成的玩具．它用高粱秆，胶泥瓣儿和彩纸制成，是老北京的象征，百姓称它吉祥轮．风车现已成为北京春节庙会和节俗活动的文化标志物之一．图(2)是用8个等腰直角三角形组成的风车平面示意图，若在示意图内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　设白色的等腰直角三角形的斜边长为2，则白色的等腰直角三角形直角边的长为，‎ 所以白色部分的面积为S1＝4×××＝4，‎ 8‎ 易知阴影部分中的等腰直角三角形的腰长为1，所以阴影部分的面积为S2＝4××1×1＝2，由几何概型的概率公式，可得此点取自阴影部分的概率为P＝＝＝.‎ ‎13．(2019·贵阳第一学期监测)甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是________．‎ 解析：甲、乙两人下棋，甲获胜，甲、乙平局，甲失败的事件彼此互斥，所以甲获胜的概率为1－－＝.‎ 答案： ‎14．从正五边形ABCDE的5个顶点中随机选择3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率是________．‎ 解析：从正五边形ABCDE的5个顶点中随机选择3个顶点，基本事件总数为10，即ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的种数为5，即△ABD，△ACD，△ACE，△BCE，△BDE，所以以它们作为顶点的三角形是锐角三角形的概率P＝＝.‎ 答案： ‎15．一个三位自然数的百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当其中两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)．若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________．‎ 解析：由1,2,3组成的三位自然数可能为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数有6个，由1,3,4组成的三位自然数有6个，由2,3,4组成的三位自然数有6个，共24个三位自然数．由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为＝.‎ 答案： ‎16．已知在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥OABCD的体积不小于的概率为________．‎ 解析：当四棱锥OABCD的体积为时，设O到平面ABCD的距离为h 8‎ ‎，则有×22×h＝，解得h＝.‎ 如图所示，在四棱锥PABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底面ABCD的距离为.‎ 因为PA⊥底面ABCD，且PA＝2，所以＝，‎ 又四棱锥PABCD与四棱锥PEFGH相似，‎ 所以四棱锥OABCD的体积不小于的概率为P＝＝3＝3＝.‎ 答案： B级——拔高小题提能练 ‎1．(2019·郑州第一次质量预测)魔法箱中装有6张卡片，上面分别写着如下6个定义域为R的函数：f1(x)＝2x，f2(x)＝2x，f3(x)＝x2，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，f6(x)＝.现从魔法箱中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得新函数为奇函数的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　由题意知，在已知的6个函数中，奇函数有f1(x)，f4(x)，f6(x)，共3个；偶函数有f3(x)，f5(x)，共2个；非奇非偶函数为f2(x)．则从6张卡片中任取2张，根据函数奇偶性的性质知，函数乘积为奇函数的有f1(x)·f3(x)，f1(x)·f5(x)，f4(x)·f3(x)，f4(x)·f5(x)，f6(x)·f3(x)，f6(x)·f5(x)，共6个，而已知的6个函数任意2个函数相乘，可得15个新函数，所以所求事件的概率P＝＝.故选A.‎ ‎2．(2020届高三·湘东六校联考)如图，一靶子是由三个全等的三角形和中间的一个小等边三角形拼成的大等边三角形，其中3DF＝2BF，若向靶子随机投镖，则镖落在小等边三角形内的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　因为3DF＝2BF，所以不妨设DF＝2，BF＝3，则DC＝3，∠BDC＝120°，由余弦定理可得BC＝ 8‎ ‎＝7，所以镖落在小等边三角形内的概率是＝，故选B.‎ ‎3．甲、乙两人在5次综合测评中成绩的茎叶图如图所示，其中一个数字被污损，记甲、乙的平均成绩分别为甲，乙，则甲>乙的概率是________．‎ 解析：设被污损的数字为x，由茎叶图知乙＝90，甲＝89＋，污损处可取数字0,1,2，…，9，共10种，而甲>乙时，污损处对应的数字有6,7,8,9，共4种，故甲>乙的概率为.‎ 答案： ‎4．已知关于x的二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b，则函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数的概率为________．‎ 解析：依题意，a，b的取值情况有15种．因为函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图象的对称轴方程为x＝，要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，需a>0且≤1，即2b≤a.若a＝1，则b＝－1，若a＝2，则b＝－1,1，若a＝3，则b＝－1,1，故满足条件的基本事件的个数是1＋2＋2＝5，所以所求概率为＝.‎ 答案： ‎5．十五巧板，又称益智图，为清朝浙江省德清知县童叶庚在同治年间所发明，它能拼出草木、花果、鸟兽、鱼虫、文字等图案．十五巧板由十五块板组成一个大正方形(如图1)，其中标号为2,3,4,5的小板均为等腰直角三角形，图2是用十五巧板拼出的2019年生肖猪的图案，则从生肖猪图案中任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为________．‎ 解析：设图1中大正方形的边长为6，则大正方形的面积为S 8‎ ‎＝36，由图2可知，阴影部分中的图案是由图1中标号为4,5,15,3,13的小板组成的，其中标号为4与5的图案组成一个边长为2的正方形，其面积为4；标号为15的图案的面积可视为长为4、宽为2的长方形面积的一半，即面积为4；标号为3的三角形的面积为×4×2＝4，标号为13的图案的面积可视为长为4，宽为2的长方形面积的一半，即面积为4，所以阴影部分的面积为4×4＝16.由几何概型的概率公式得所求概率P＝＝.‎ 答案： 8‎