2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（08） 18页

‎2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（08）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，集合B={3，4}，则（∁UA）∩B=（　　）‎ A．{4} B．{3，4} C．{2，3，4} D．{3}‎ ‎2．（5分）复数在复平面上对应的点的坐标是（　　）‎ A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）‎ ‎3．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a3=4，则公差d等于（　　）‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎4．（5分）（理）的展开式中的常数项为（　　）‎ A．﹣24 B．﹣6 C．6 D．24‎ ‎5．（5分）函数f（x）=log2x﹣的零点所在区间为（　　）‎ A． B． C．（1，2） D．（2，3）‎ ‎6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S=（　　）‎ A．5100 B．2550 C．5050 D．100‎ ‎7．（5分）若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积为（　　）‎ A．6+2 B．6+ C．6+4 D．10‎ ‎8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a=1，b=，则S△ABC=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎9．（5分）下列命题：‎ ‎①函数f（x）=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；‎ ‎②已知向量，，，则的充要条件是λ=﹣1；‎ ‎③若，则a=e；‎ ‎④圆x2+y2=4关于直线ax+by+c=0对称的充分不必要条件是c=0．‎ 其中所有的真命题是（　　）‎ A．①② B．③④ C．②④ D．①③‎ ‎10．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．‎ ‎　‎ 二．填空题（本题共4小题，满分共25分）‎ ‎11．（5分）200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为　 　辆．‎ ‎12．（5分）观察下列式子：，，，…，根据以上式子可以猜想：　 　．‎ ‎13．（5分）点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，则z=x+y的最大值为　 　．‎ ‎14．（5分）将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为　 　．‎ ‎　‎ ‎[几何证明选做题]‎ ‎15．（5分）如图，直线PC与圆O相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC=4，PB=8，则CE=　 　．‎ ‎　‎ ‎[坐标系与参数方程选做题]‎ ‎16．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为　 　．‎ ‎　‎ ‎[不等式选做题]‎ ‎17．若不等式|x+1|+|x﹣3|≥|m﹣1|恒成立，则m的取值范围为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎18．（12分）设函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1‎ ‎（1）求f（）‎ ‎（2）求f（x）的最大值和最小正周期．‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且SD=AD，E是SA的中点．‎ ‎（1）求证：直线BA⊥平面SAD；‎ ‎（2）求直线SA与平面BED的夹角的正弦值．‎ ‎20．（12分）已知：等比数列{an}的首项为a1，公比为q ‎（1）写出数列{an}的前n项和Sn的公式；‎ ‎（2）给出（1）中的公式的证明．‎ ‎21．（12分）某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女同学；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．‎ ‎（1）求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；‎ ‎（2）求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；‎ ‎（3）记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎22．（13分）已知函数f（x）=xlnx．‎ ‎（1）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣1），其中a∈R，求函数g（x）的单调区间；‎ ‎（2）若直线l过点（0，﹣1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．‎ ‎23．（14分）如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1．过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足kAD•kAE=2．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2018年云南省玉溪市高考数学模拟试卷（08）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．（5分）全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，集合B={3，4}，则（∁UA）∩B=（　　）‎ A．{4} B．{3，4} C．{2，3，4} D．{3}‎ ‎【解答】解：根据题意，全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，3，5}，‎ 则∁UA={2，4}，‎ 又由集合B={3，4}，则（CUA）∩B={4}，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）复数在复平面上对应的点的坐标是（　　）‎ A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1）‎ ‎【解答】解：复数==，所以复数所对应的点的坐标（1，﹣1）‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=6，a3=4，则公差d等于（　　）‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎【解答】解：设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得 ‎，解得，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（理）的展开式中的常数项为（　　）‎ A．﹣24 B．﹣6 C．6 D．24‎ ‎【解答】解：设的二项展开式的通项公式为Tr+1，‎ 则Tr+1=（﹣1）r••（2x）4﹣r•x﹣r ‎=（﹣1）r••24﹣r•x4﹣2r，‎ 令4﹣2r=0，解得r=2．‎ ‎∴展开式中的常数项为T3=（﹣1）2••22=24．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）函数f（x）=log2x﹣的零点所在区间为（　　）‎ A． B． C．（1，2） D．（2，3）‎ ‎【解答】解：由题意可知函数在（0，+∞）单调递增，且连续 f（）=，f（1）=log21﹣1＜0，‎ 由根的存在性定理可得，f（1）•f（2）＜0‎ 故选：C ‎　‎ ‎6．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S=（　　）‎ A．5100 B．2550 C．5050 D．100‎ ‎【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，‎ 再根据流程图所示的顺序，可知：‎ 该程序的作用是累加并输出S=S=2+4+…+2×50‎ 又∵S=2+4+…+2×50=2×=2550‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积为（　　）‎ A．6+2 B．6+ C．6+4 D．10‎ ‎【解答】解：根据几何体的三视图，得出该几何体是 底面为边长等于2的正三角形，高为1的正三棱柱，‎ ‎∴它的表面积为3×2×1+2××22×=6+2．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a=1，b=，则S△ABC=（　　）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【解答】解：∵A、B、C依次成等差数列 ‎∴B=60°‎ ‎∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB 得：c=2‎ ‎∴由正弦定理得：S△ABC=‎ 故选C ‎　‎ ‎9．（5分）下列命题：‎ ‎①函数f（x）=sin4x﹣cos4x的最小正周期是π；‎ ‎②已知向量，，，则的充要条件是λ=﹣1；‎ ‎③若，则a=e；‎ ‎④圆x2+y2=4关于直线ax+by+c=0对称的充分不必要条件是c=0．‎ 其中所有的真命题是（　　）‎ A．①② B．③④ C．②④ D．①③‎ ‎【解答】解：对于①∵f（x）=sin4x﹣cos4x=（cos2x+sin2x）（sin2x﹣cos2x）=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x，‎ ‎∴f（x）的最小正周期是T==π，所以①正确．‎ 对于②∵向量，，，∴=（λ﹣1，1+λ2），‎ ‎∴⇒（λ﹣1）+（1+λ2）=0⇒λ=0或λ=﹣1；‎ λ=﹣1⇒=（﹣2，2）⇒（）∥，‎ ‎∴（）∥的充分不必要条件是λ=﹣1．故命题是假命题；‎ 对于③，，转化为：，解得a=e，③正确；‎ 对于④，圆x2+y2=4关于直线ax+by+c=0对称的充要条件是：圆的圆心坐标在直线方程⇒c=0，④不正确．‎ 正确命题是①③．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）已知点F1、F2是椭圆x2+2y2=2的两个焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么的最小值是（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．‎ ‎【解答】解：∵O为F1F2的中点，‎ ‎∴=2，可得=2||‎ 当点P到原点的距离最小时，||达到最小值，同时达到最小值．‎ ‎∵椭圆x2+2y2=2化成标准形式，得=1‎ ‎∴a2=2且b2=1，可得a=，b=1‎ 因此点P到原点的距离最小值为短轴一端到原点的距离，即||最小值为b=1‎ ‎∴=2||的最小值为2‎ 故选：C ‎　‎ 二．填空题（本题共4小题，满分共25分）‎ ‎11．（5分）200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如图所示，则时速不低于60km/h的汽车数量为　76　辆．‎ ‎【解答】解：时速不低于60km/h的汽车的频率为（0.028+0.01）×10=0.38‎ ‎∴时速不低于60km/h的汽车数量为200×0.38=76‎ 故答案为：76‎ ‎　‎ ‎12．（5分）观察下列式子：，，，…，根据以上式子可以猜想：　‎ ‎　．‎ ‎【解答】解：观察下列式子：，，，…，‎ 可知不等式的左边各式分子是1，分母是自然数的平方和，右边分母与最后一项的分母相同，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，‎ 故可得：．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）点P（x，y）在不等式组表示的平面区域内，则z=x+y的最大值为　6　．‎ ‎【解答】解：先根据约束条件画出可行域，‎ 当直线x+y=z过点A（2，4）时，z最大，‎ z最大是6，‎ 故答案为：6．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）将一颗骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为　　．‎ ‎【解答】解：∵骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列 ‎∴落地时向上的点数若不同，则为1，2，3或1，3，5，或2，3，4或2，4，6或3，4，5或4，5，6．‎ 共有6×2=12种情况，‎ 也可全相同，有6种情况 ‎∴共有18种情况 若不考虑限制，有63=216‎ 落地时向上的点数依次成等差数列的概率为=‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎[几何证明选做题]‎ ‎15．（5分）如图，直线PC与圆O相切于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC=4，PB=8，则CE=　　．‎ ‎【解答】解：∵PC是圆O的切线，‎ ‎∴由切割线定理得：‎ PC2=PA×PB，∵PC=4，PB=8，‎ ‎∴PA=2，‎ ‎∴OA=OB=3，连接OC，OC=3，‎ 在直角三角形POC中，利用面积法有，‎ ‎∴CE==．‎ 故填：．‎ ‎　‎ ‎[坐标系与参数方程选做题]‎ ‎16．在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=﹣1的交点的极坐标为　　．‎ ‎【解答】解：两条曲线的普通方程分别为x2+y2=2y，x=﹣1．‎ 解得 由 得点（﹣1，1），极坐标为．‎ 故填：．‎ ‎　‎ ‎[不等式选做题]‎ ‎17．若不等式|x+1|+|x﹣3|≥|m﹣1|恒成立，则m的取值范围为　m∈[﹣3，5]　．‎ ‎【解答】解：|x+1|+|x﹣3|表示数轴上的x对应点到﹣1和3对应点的距离之和，‎ 它的最小值等于4，‎ 由不等式|x+1|+|x﹣3|≥|m﹣1|恒成立知，|m﹣1|≤4，‎ m∈[﹣3，5]‎ 故答案为m∈[﹣3，5]．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎18．（12分）设函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1‎ ‎（1）求f（）‎ ‎（2）求f（x）的最大值和最小正周期．‎ ‎【解答】解：（1）函数f（x）=2sinxcosx﹣cos2x+1‎ ‎=sin2x﹣cos2x+1‎ ‎=sin（2x﹣）+1，‎ ‎∴f（）=sin（2×﹣）+1=×+1=2；…（6分）‎ ‎（2）由f（x）=sin（2x﹣）+1，‎ 当2x﹣=+2kπ，k∈Z，‎ 即x=+kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值为+1，‎ 最小正周期为T==π．…（12分）‎ ‎　‎ ‎19．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且SD=AD，E是SA的中点．‎ ‎（1）求证：直线BA⊥平面SAD；‎ ‎（2）求直线SA与平面BED的夹角的正弦值．‎ ‎【解答】（本题满分12分）‎ 解：（1）证明：∵SD⊥平面ABCD，∴SD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩SD=D，‎ ‎∴AB⊥平面SAD，…（6分）‎ ‎（2）以D为原点，分别以DA、DC、DS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，‎ 设AB=2，则A（2，0，0），S（0，0，2），‎ B（1，2，0），E（1，0，0），故=（2，0，﹣2），‎ ‎=（2，2，0），=（1，0，1），…（8分）‎ 设平面BED的一个法向量为=（x，y，z），‎ 由得 ‎，取=（1，﹣1，﹣1），…（10分）‎ 设直线SA与平面BED所成角为θ，因为cos==，‎ 所以sinθ=，即直线SA与平面BED所成角的正弦值为…（12分）‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知：等比数列{an}的首项为a1，公比为q ‎（1）写出数列{an}的前n项和Sn的公式；‎ ‎（2）给出（1）中的公式的证明．‎ ‎【解答】（本题满分12分）‎ 解：（1）∵等比数列{an}的首项为a1，公比为q，‎ ‎∴当q=1时，Sn=na1，‎ 当q≠1时，Sn=，‎ ‎∴数列{an}的前n项和Sn=．…（4分）‎ ‎（2）证明：由等比数列及其前n项和的定义知：‎ Sn=a1+a2+…+an=，①‎ 当q=1时，Sn=na1，…（7分）‎ 当q≠1时，给①式两边同乘q，得qSn=+…+，②‎ 由①﹣②，得（1﹣q）Sn==a1（1﹣qn），…（10分）‎ 综上：当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，，‎ 即Sn=．…（12分）‎ ‎　‎ ‎21．（12分）某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女同学；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．‎ ‎（1）求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；‎ ‎（2）求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；‎ ‎（3）记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望．‎ ‎【解答】解：（1）按比例计算得，抽取数学小组的人数为2人；英语小组的人数为1人；‎ ‎（2）从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率为=；‎ ‎（3）分析知ξ的取值可以为0，1，2，3，故有 ‎，，，．‎ ‎∴ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ p ‎=．‎ ‎　‎ ‎22．（13分）已知函数f（x）=xlnx．‎ ‎（1）设函数g（x）=f（x）﹣a（x﹣1），其中a∈R，求函数g（x）的单调区间；‎ ‎（2）若直线l过点（0，﹣1），并且与曲线y=f（x）相切，求直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=xlnx，∴g（x）=f（x）﹣a（x﹣1）=xlnx﹣a（x﹣1），‎ 则g′（x）=lnx+1﹣a，‎ 由g′（x）＜0，得lnx+1﹣a＜0，解得：0＜x＜ea﹣1；‎ 由g′（x）＞0，得lnx+1﹣a＞0，解得：x＞ea﹣1．‎ 所以g（x）在（0，ea﹣1）上单调递减，在（ea﹣1，+∞）上单调递增．‎ ‎（2）设切点坐标为（x0，y0），则y0=x0lnx0，切线的斜率为lnx0+1．‎ 所以切线l的方程为y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），‎ 又切线l过点（0，﹣1），所以有﹣1﹣x0lnx0=（lnx0+1）（0﹣x0），‎ 即﹣1﹣x0lnx0=﹣x0lnx0﹣x0，‎ 解得x0=1，y0=0，‎ 所以直线l的方程为y=x﹣1．‎ ‎　‎ ‎23．（14分）如图，已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴上，抛物线上的点A到F的距离为2，且A的横坐标为1．过A点作抛物线C的两条动弦AD、AE，且AD、AE的斜率满足kAD•kAE=2．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）直线DE是否过某定点？若过某定点，请求出该点坐标；若不过某定点，请说明理由．‎ ‎【解答】解：（1）设抛物线方程为C：y2=2px（p＞0），‎ 由其定义知，又|AF|=2，‎ 所以p=2，y2=4x；‎ ‎（2）易知A（1，2），设D（x1，y1），E（x2，y2），‎ DE方程为x=my+n（m≠0），‎ 把DE方程代入C，并整理得y2﹣4my﹣4n=0，△=16（m2+n）＞0，y1+y2=4m，y1y2=﹣4n，‎ 由及，得y1y2+2（y1+y2）=4，即﹣4n+2×4m=4，‎ 所以n=2m﹣1，代入DE方程得：x=my+2m﹣1，即（y+2）m=x+1，‎ 故直线DE过定点（﹣1，﹣2）．‎ ‎　‎