高中数学必修1教案：第九章直线平面简单几何体(B)(第36课)小结与复习(3) 6页

课 题：小结与复习(三) ‎ 教学目的：‎ ‎1．在有关问题的解决过程中，进一步了解和掌握相关公理、定理的内容和功能，并探索立体几何中论证问题的规律；在有关问题的分析与解决的过程中提高逻辑思维能力、空间想象能力及化归和转化的数学思想的应用．‎ ‎2．在解决有关空间角的问题的过程中，进一步巩固关于直线和平面的平行垂直的性质与判定的应用，掌握作平行线(面)和垂直线(面)的技能；通过有关空间角的问题的解决，进一步提高学生的空间想象能力、逻辑推理能力及运算能力．‎ ‎3．通过教学使学生掌握基本的立体几何解题方法和常用解题技巧，发掘不同问题之间的内在联系，提高解题能力．‎ ‎4．在学生解答问题的过程中，注意培养他们的语言表述能力和“说话要有根据”的逻辑思维的习惯、提高思维品质．使学生掌握化归思想，特别是将立体几何问题转化为平面几何问题的思想意识和方法，并提高空间想象能力、推理能力和计算能力．‎ ‎5．使学生更好地理解多面体与旋转体的体积及其计算方法，能够熟练地使用分割与补形求体积，提高空间想象能力、推理能力和计算能力 授课类型：练习课 ‎ 课时安排：1课时 ‎ 教 具：多媒体、实物投影仪 ‎ 教学过程：‎ 一、讲解范例：‎ 例１如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．‎ 分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．‎ 解：如图，设4i，4j，2k，‎ 以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．‎ 由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．‎ ‎∴　，，‎ ‎　 ，，‎ ‎．‎ 设平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F 四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得，‎ ‎∴　＝(‎2a+4b,－2b－‎4c,‎2c)．‎ 由平面EFG，得，，于是 ‎　　，．‎ ‎∴　‎ 整理得：，解得．‎ ‎∴　＝(‎2a+4b,－2b－‎4c,‎2c)＝．‎ ‎∴　‎ 故点B到平面EFG的距离为．‎ 说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．‎ 例2 已知正方体ABCD－的棱长为1，求直线与AC的距离．‎ 分析：设异面直线、AC的公垂线是直线l，则线段在直线l上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解．‎ 解：如图，设i，j，k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系－xyz，‎ 则有，，，．‎ ‎∴　，，．‎ 设n是直线l方向上的单位向量，则．‎ ‎∵　n，n，‎ ‎∴　，解得或．‎ 取n，则向量在直线l上的投影为 ‎　n··．‎ 由两个向量的数量积的几何意义知，直线与AC的距离为．‎ 例3 如图，已知线段AB在平面α内，线段，线段BD⊥AB，线段，，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离．‎ 解：由，可知．‎ 由可知，＜＞＝，‎ ‎∴＝‎ ‎　　　＝＋＋＋2(＋＋)‎ ‎ ＝＝．‎ ‎　　∴．‎ 小结：选定空间同起点且不公面的三个向量作为一个基底，并用它表示指定的向量，是用向量知识解决立体几何问题的基本要领．解题中要结合已知和未知去观察图形、联想有关的运算法则和公式等，就近表示所需的向量，再对照目标将不符合要求的向量加以调整，如此反复，直至所有向量符合目标要求．‎ 例4‎ ‎．如果一条直线与一个平面平行那麽过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内 A b1‎ a α β 已知：a∥α，AÎa，AÎb且a∥b 求证：bÌa 证明：假设bËa过A点和a确定平面为b，‎ b∩a=b1，b1Ìa，AÎb1‎ ‎∵a∥α ∴a∥b1‎ 由a∥b而b，b1都过点A 这样，在平面a内过A有两条直线b和b1都平行于a 这是不可能的 ∴bÌa 例5．正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线AC和BF上，且AM=FN 求证：MN∥平面BEC 分析：证线面平行Ü线线平行，需找出面BEC中与MN平行的直线 证法（一）：作NK∥AB交BE于K，作MH∥AB交BC于H ‎ ∴MH∥NK ‎ ∵ABCD与ABEF是两个有公共边AB的正方形 A C M H K B E F N P ‎ ∴它们是全等正方形 ‎ ∵AM=FN ∴CM=BN ‎ 又∠HCM=∠KBN，∠HMC=∠KNB ‎ ∴△HCM≌△KBN ∴MH=NK ‎ ∴MHKN是平行四边形 ∴MN∥HK ‎ ∵HKÌ平面BEC MNË平面BEC ‎ ∴MN∥平面BEC 证法（二）：分析：利用面面平行Þ线面平行 ‎ 过N作NP∥BE，连MP，∵NP∥AF ‎ ∴FN/FB=AP/AB ∴AM=FN，AC=BF ‎ ∴FN/FB=AM/AC ∴AP/AB=AM/AC ‎ ∴MP∥BC ∴平面MNP∥平面BCE ‎ ∴MN∥平面BCE 例6．在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心 A B E C P H H 求证：⑴PH^底面ABC ⑵△ABC是锐角三角形 证明：⑴∵PA^PB PA^PC且PB∩PC=P ‎∴PA^侧面PBC 又∵BCÌ平面PBD ∴PA^BC ‎∵H是△ABC的垂心 ∴AH^BC ‎∵PA∩AH=A ∴BC^截面PAH 又PHÌ平面PAH ∴BC^PH 同理可证：AB^PH 又ABÇBC=B ∴PH^面ABC ‎⑵设AH与直线BC的交点为E，连接PE ‎ 由⑴知PH^底面ABC ∴AE为PE在平面ABC的射影 ‎ 由三垂线定理：PE^BC ‎ ‎ ∵PB^PC即△BPC是直角三角形，BC为斜边 ‎ ∴E在BC边上 由于AE^BC，故B∠C都是锐角 ‎ 同理可证：∠A也是锐角 ∴△ABC为锐角三角形 例7．正三棱柱ABC-A1B‎1C1的侧面三条对角线AB1，BC1，CA1中，AB1^BC1‎ 求证：AB1^CA1‎ 证明：取AB，A1B1中点D，D1连接CD，C1D1及A1D，BD1‎ A1‎ B1‎ C1‎ C A B D D1‎ 由三棱柱可知，面A1B‎1C1^面AB1‎ 在正△A1B‎1C1中，C1D‎1^A1B1‎ ‎∴C1D1^面AB1 (同理CD^面AB1)‎ ‎∴BD1是BC1在平面AB1内的射影 ‎∵AB1^BC1 ∴AB1^BD1 ∵BD1∥AD1 ∴AB‎1^A1D 且AD1是A‎1C在平面AB1内的射影 ∴AB‎1^A1C 例8．在正四棱柱AC1中，底面边长为1，侧棱长为2，‎ ‎⑴求D1B1与平面A1BCD1所成的角 ‎⑵求B1到平面A1BC1的距离 分析：⑴按定义需作B1D1在平面A1BCD1上的射影，那麽在此平面上射影的位置该落何处，这就是要考虑垂足的定位问题 常用方法：⑴ 过B1作A1B的垂线B1EÞB1E^平面A1BCD1‎ ‎ ⑵ 过B1作平面A1BCD1的垂线ÞB1EÌ平面A1BCD1ÞEÎA1B ‎(3) 在垂面内做垂线 解：⑴ BC^AB , BC^BB1 ∴BC^面A1B∴面A‎1C^面A1B 过B1作B1E^A1B=E ∴B1E^平面A1BCD1‎ 连D1E，则D1E是B1D1在平面A1BCD1上的射影 故∠ B1D1E即B1D1与平面A1BCD1所成的角 且在Rt△ B1ED1中，B1E=A1B1*B1B/A1B=‎ ‎∴Sin∠ B1D1E=‎ ‎(2)解一：正方形A1B‎1C1D1中 , 等腰ΔBA‎1C1中A‎1C1^ B1D1 ,BO^ A‎1C1‎ ‎∴A‎1C1^面B1BO ∴面A‎1C1B^面B1BO ‎∴过B1作高线BO垂线 B1 H^ BO于H 则B1 H^面A‎1C1B 连A‎1C1，过B1作平面A1BC1的垂线，垂足为H，则B1H的长 即点B1到平面A1BC1的距离，‎ ‎ 由正棱柱性质:B‎1A1，B‎1C1，B1B两两垂直∴H是△A1BC1的垂心 ‎ 连BO则BO^A‎1C1 ∴HÎBO ‎ ∵B1B^底面A‎1C1 ∴B1B^B1O，B1H^BO ‎ B1H=‎ ‎ (OB=)‎ 即顶点B1到截面A1BC1的距离为 解二：（利用等积法）考察四面体B‎1A1BC1‎ 设顶点B1到A1BC1的距离为h 则为三棱柱B1-A1BC1的高 VB1-A1BC1=VB-ABC1‎ ‎∴*S△A1BC1*h=*S△A1BC1*B1B ∵A‎1C1^BO ‎∴**A‎1C1*BO*h=**A1B1*B‎1C1*BB1‎ ‎ ∴B到平面A1BC1的距离为 二、小结 ：利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题 运用向量的坐标表示及其运算研究立体几何中的角、距离、证明垂直等问题时，关键是建立适当的坐标系，进而将向量坐标化，建立坐标系时，要充分利用图形的几何性质掌握运用向量求角、距离的方法 三、课后作业：‎ 四、板书设计（略）‎ 五、课后记：‎