高中数学必修1教案：第四章（第18课时）两角和差的正弦余弦正切（7） 7页

课 题：46两角和与差的正弦、余弦、正切（7）‎ 教学目的：‎ 引导学生综合运用复角的正弦、余弦公式．‎ 教学重点：复角公式的运用和技能的提高 教学难点：灵活应用和、差角公式进行化简、求值、证明 ‎ 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1．两角和与差的正、余弦公式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2推导公式： 由于 sin2θ＋cos2θ＝1 ‎(1)若令＝sinθ，则＝cosθ ‎∴asinα＋bcosα＝（sinθsinα＋cosθcosα）＝cos（θ－α） 或＝cos（α－θ） ‎(2)若令＝cos，则＝sin ‎∴sinα＋bcosα＝（sinαcos＋cosαsin）＝sin（α＋）‎ 例如：2sinθ＋cosθ＝‎ 若令cos＝，则sin＝‎ ‎∴2sinθ＋cosθ＝（sinθcos＋cosθsin）＝sin（θ＋） 若令＝sinβ，则＝cosβ ‎∴2sinθ＋cosθ＝（cosθcosβ＋sinθsinβ）＝cos（θ－β）或 ‎＝cos（β－θ）‎ 看来，sinθ＋bcosθ均可化为某一个角的三角函数形式，且有两种形式 二、讲解范例：‎ 例1（辅助角）函数的最小值 ‎ ‎ 解：‎ ‎ ‎ 例2（角变换）已知 ‎ 解：‎ 例3（公式逆用）计算：(1 +)tan15°- ‎ 解：原式= (tan45°+ tan60°)tan15°- ‎=tan105°(1-tan45°tan60°)tan15° - ‎= (1 -) tan105° tan15° -= (1 -)×(- 1)-= - 1‎ 例4（角变换）已知sin(45° - a) = ，且45° < a < 90°，求sina ‎ 解：∵45° < a < 90° ∴-45° < 45°-a < 0° ∴cos(45°-a) = ‎ cos2a = sin(90°-2a) = sin[2(45°-a)]‎ ‎ = 2sin(45°-a)cos(45°-a) =‎ 即 1 - sin2a = ， 解之得：sina = ‎ ‎ 例5已知q是三角形中的一个最小的内角，‎ ‎ 且，求a的取值范围 解：原式变形：‎ 即，显然 （若，则 0 = 2）‎ ‎∴ ‎ 又∵，∴‎ 即 解之得：‎ 例6试求函数的最大值和最小值若呢？‎ 解：1．设 则 ∴‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎2．若，则，∴‎ ‎ 即 例7 已知tana = 3tan(a + b)，，求sin(2a + b)的值 解：由题设： 即sina cos(a + b) = 3sin(a + b)cosa 即sin(a + b) cosa + cos(a + b)sina = 2sina cos(a + b) - 2cosasin(a + b)‎ ‎∴sin(2a + b) = -2sinb 又∵ ∴sinb ∴sin(2a + b) = -1‎ 三、课堂练习：‎ ‎1 已知 ‎ ‎、均为锐角，求的值．‎ ‎ 分析：由于，由已知两式一时得不到与的值，而只能出现与一类的值，例如+ ,得，化简、整理得．由此要求的值，固然有路可循，但是还要进一步定出的值的符号才行．‎ ‎ ２ 已知求的值．‎ ‎ 提示：＝．‎ ‎ ３ 已知求证．‎ ‎ 分析：比较已知与求证部分，必然要做如下变换为宜：．‎ ‎ 解：，‎ 而，注意到，得 四、小结 常用技巧：1°化弦 2°化“1” 3°正切的和、积 ‎ ‎ 4°角变换 5°“升幂”与“降次” 6°辅助角 五、课后作业：‎ ‎1求证： ‎2利用和(差)角公式化简： ‎1证明(1)  证法一：左边＝sinαcos＋cosαsin＝sin（α＋）＝右边 证法二：右边＝sinαcos＋cosαsin＝sinα＋cosα＝左边 ‎(2)cosθ＋sinθ＝sin（θ＋） 证法一：左边＝（cosθ＋sinθ）‎ ‎＝（sincosθ＋cossinθ）‎ ‎＝sin（θ＋）＝右边 证法二：右边＝（sinθcos＋cosθsin）‎ ‎＝（sinθ＋cosθ）‎ ‎＝cosθ＋sinθ＝左边 ‎(3) （sinx+cosx）=2cos (x-)‎ 证法一：左边＝（sinx＋cosx）＝2（sinx＋cosx）‎ ‎＝2（cosxcos＋sinxsin）‎ ‎＝2cos（x－）＝右边 证法二：右边＝2cos（x－）＝2（cosxcos＋sinxsin）‎ ‎＝2（cosx＋sinx）‎ ‎＝（cosx＋sinx）＝左边 ‎2解：(1) sinx＋cosx＝sinxcos＋cosxsin＝sin（x＋） 或：原式＝sinxsin＋cosxcos＝cos（x－）‎ ‎(2)3sinx－3cosx＝6（sinx－cosx）‎ ‎＝6（sinxcos－cosxsin） ‎＝6sin（x－） 或：原式＝6（sinsinx－coscosx）＝－6cos（x＋）‎ ‎(3) sinx－cosx＝2（sinx－cosx）‎ ‎＝2sin（x－）＝－2cos（x＋）‎ ‎(4) sin（－x）＋cos（－x）‎ ‎＝［sin（－x）＋cos（－x）］ ‎＝［sinsin（－x）＋coscos（－x）］‎ ‎＝cos［－（－x）］＝cos（x－）‎ 或：原式＝［sin（－x）cos＋cos（－x）sin］‎ ‎＝sin［（－x）＋］＝sin（－x） 六、板书设计（略）‎ 七、课后记：‎ ‎ ‎