高一数学必修一 55页

第二章 基本初等函数 (Ⅰ) 本章内容 2.1 指数函数 2.2 对数函数 2.3 幂函数 第二章 小结 本章小结 本章小结 知识要点 自我检测题 复习参考题 1. 指数幂的运算 负指数 : 分数指数 : 同底数幂相乘除 : 幂的乘方 : 积的乘方 : a m · a n = a m + n . ( a m ) n = a mn . ( ab ) n = a n b n . 知识要点 返回目录 2. 指数函数 解析式 : 图象特点 : y = a x ( a >0, 且 a ≠1). x y O 1 y = a x (0< a <1) x y O 1 y = a x ( a >1) 知识要点 3. 指数函数的性质 定义域 : 值域 : 0< a <1, 负指数幂大于 1, 正指数幂小于 1. 单调性 : ( - ∞, + ∞) (0, + ∞) a >1, 负指数幂小于 1, 正指数幂大于 1. 0< a <1, ( - ∞, +∞) 上是减函数 . a >1, ( - ∞, +∞) 上是增函数 . 知识要点 4. 对数运算 对数式与指数式的互化 : 常用对数 : a N = b  N = log a b . 自然对数 : 1 的对数等 0, 底的对数等于 1. 以 10 为底 , log 10 a = lg a . 以 e = 2.71828… 为底 , log e a = ln a . 两个特殊对数值 : 知识要点 5. 对数的运算性质 换底公式 : (1) log a ( M·N ) = log a M + log a N. (3) log a M n = n· log a M ( n ∈ R ). (2) log a = log a M - log a N. 知识要点 6. 对数函数 解析式 : 图象特点 : y = log a x ( a >0, 且 a ≠1). x y o 1 y = log a x a >1 x y o 1 y = log a x 0< a <1 知识要点 7. 对数函数的性质 定义域 : 值域 : 单调性 : (0, + ∞). ( - ∞, + ∞). 底数 、 真数同大于 1, 或同小于 1, 对数值为正 . 0< a <1, (0, +∞) 上是减函数 . a >1, (0, +∞) 上是增函数 . 底数 、 真数一个大于 1, 一个小于 1, 对数值为负 . 知识要点 8. 幂函数 解析式 : 几种幂函数的图象特点 : y = x a ( a 为常数 ). x y o y = x 1 1 x y o y = x 2 1 1 x y o y = x 3 1 1 x y o 1 1 x y o y = x - 1 1 1 知识要点 9. 幂函数的性质 知识要点 定义域 值域 单调性 过定点 y = x a 奇偶性 (1, 1) (1, 1) ( - ∞, 0) ∪(0, + ∞) ( - ∞, + ∞) [0, + ∞) [0, + ∞) ( - ∞, 0 ) 减 ( - ∞, + ∞) 增 y = x - 1 y = x 2 y = x 3 y = x (1, 1) (1, 1) (1, 1) ( - ∞, + ∞) ( - ∞, + ∞) ( - ∞, 0) ∪(0, + ∞) [0, + ∞) ( - ∞, + ∞) ( - ∞, + ∞) ( 0 , + ∞) 减 [ 0 , + ∞) 增 ( - ∞, 0 ] 减 [ 0 , + ∞) 增 ( - ∞, + ∞) 增 奇 非奇偶 奇 偶 奇 10. 反函数 由于习惯用 x 表示自变量 , 所以将变换后函数中的字母 x , y 相交换得 将一个函数 y = f ( x ) 中的 y 表示成 x 的函数 x = g ( y ), 我们把 x = g( y ) 叫做 y = f ( x ) 的反函数 . y = g ( x ). 指数函数与对数函数互为反函数 . 如果两函数互为反函数 , 则它们的图象关于直线 y = x 即称 . 知识要点 复习参考题 复习参考题 返回目录 A 组 1. 求下列各式的值 : (1) (2) (3) (4) 解 : (1) = 11. (2) (3) (4) 2. 化简下列各式 : (1) (2) ( a 2 - 2 + a - 2 )÷( a 2 - a - 2 ). 解 : (1) 原式 = (2) 原式 = 3. (1) 已知 lg2 = a , lg3 = b , 试用 a 、 b 表示 log 12 5; (2) 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b , 试用 a 、 b 表示 log 14 56. 解 : (1) 3. (1) 已知 lg2 = a , lg3 = b , 试用 a 、 b 表示 log 12 5; (2) 已知 log 2 3 = a , log 3 7 = b , 试用 a 、 b 表示 log 14 56. 解 : (2) 由 log 2 3 = a ,  4. 求下列函数的定义域 : (1) (2) 解 : (1) 要使函数有定义 , 只需 2 x - 1≠0, 即 ∴ 函数的定义域为 (2) 要使函数有定义 , 需  x ≥0. ∴ 函数的定义域为 { x | x ≥0}. 5. 求下列函数的定义域 : (1) (2) y = log a (2 - x ) ( a >0, 且 a ≠1); (3) y = log a (1 - x ) 2 ( a >0, 且 a ≠1). 解 : (1) 要使函数有定义 , 需 ∴ 原函数的定义域为 (2) 要使函数有意义 , 需 2 - x >0, 得 x <2, ∴ 原函数的定义域为 { x | x <2}. 5. 求下列函数的定义域 : (1) (2) y = log a (2 - x ) ( a >0, 且 a ≠1); (3) y = log a (1 - x ) 2 ( a >0, 且 a ≠1). 解 : (3) 要使函数有定义 , 需 (1 - x ) 2 >0, 即 1 - x ≠0, ∴ 原函数的定义域为 { x  R | x ≠ 1}. 得 x ≠1, 6. 比较下列各组中两个值的大小 : (1) log 6 7, log 7 6; (2) log 3 p , log 2 0.8. 解 : (1) ∵log 6 7>log 6 6 = 1, log 7 6log 7 6. (2) ∵3>1, p >1, ∴log 3 p >0, 又 2>1, 0.8<1, ∴log 2 0.8<0. 则 log 3 p >log 2 0.8. 7. 已知 f ( x ) = 3 x , 求证 : (1) f ( x )· f ( y ) = f ( x + y ); (2) f ( x )÷ f ( y ) = f ( x - y ). 证明 : (1) ∵ f ( x ) = 3 x , ∴ f ( x )· f ( y ) = 3 x · 3 y =3 x + y , f ( x + y ) = 3 x + y , 则 f ( x )· f ( y ) = f ( x + y ) 成立 . (2) f ( x )÷ f ( y ) = 3 x ÷3 y =3 x - y , f ( x - y ) = 3 x - y , ∴ f ( x )÷ f ( y ) = f ( x - y ) 成立 . 8. 已知 f ( x ) = a , b  ( - 1, 1), 求证 : 证明 : 即 成立 . 9. 牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同 , 假定保鲜时间与储藏温度是一种指数关系 , 若牛奶放在 0℃ 的冰箱中 , 保鲜时间约是 192 h, 而在 22℃ 的厨房中则约是 42 h. (1) 写出保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数解析式 ; (2) 利用 (1) 中结论 , 指出温度在 30℃ 和 16℃ 的保鲜时间 ( 精确到 1 h); (3) 运用上面的数据 , 作此函数的图象 . 解 : (1) 设保鲜时间与温度的指数关系为 y = ka x , 当 x = 0 时 , y = 192; 当 x = 22 时 , y = 42. 则  k = 192, a ≈0.93. 于是得保鲜时间与温度的函数式为 y = 192 0.93 x . 9. 牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同 , 假定保鲜时间与储藏温度是一种指数关系 , 若牛奶放在 0℃ 的冰箱中 , 保鲜时间约是 192 h, 而在 22℃ 的厨房中则约是 42 h. (1) 写出保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数解析式 ; (2) 利用 (1) 中结论 , 指出温度在 30℃ 和 16℃ 的保鲜时间 ( 精确到 1 h); (3) 运用上面的数据 , 作此函数的图象 . 解 : (2) 由 (1) 得函数式为 y = 192 0.93 x . 当 x = 30 时 , y = 192 0.93 30 ≈22 (h); 当 x = 16 时 , y = 192 0.93 16 ≈60 (h). 答 : 在 30℃ 温度下 , 可保鲜 22 小时 , 在 16℃ 温度下 , 可保鲜 60 小时 . 9. 牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同 , 假定保鲜时间与储藏温度是一种指数关系 , 若牛奶放在 0℃ 的冰箱中 , 保鲜时间约是 192 h, 而在 22℃ 的厨房中则约是 42 h. (1) 写出保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数解析式 ; (2) 利用 (1) 中结论 , 指出温度在 30℃ 和 16℃ 的保鲜时间 ( 精确到 1 h); (3) 运用上面的数据 , 作此函数的图象 . 解 : (3) 图象经过点 (30, 22). (22, 42), (16, 60), (0, 192), x y o 16 22 30 22 42 60 192 y = 192 0.93 x 10. 已知幂函数 y = f ( x ) 的图象过点 (2, ), 试求 此函数的解析式 , 并作出图象 , 判断奇偶性、单调性 . 解 : 幂函数 y = x a 经过点 则有 得 即函数解析式为 定义域为 (0, + ∞), 图象过点 (1, 1), x y o 1 1 2 4 函数非奇非偶 , 在 (0, + ∞) 上是减函数 . B 组 1. 已知集合 A = { y | y = log 2 x , x >1}, B = { y | y = x >1}, 则 A ∩ B = ( ) (A) (B) { y |0< y <1} (C) (D)  解 : 当 x >1 时 , log 2 x >0, ∴ A = { y | y >0}, 则 A 2. 若 2 a = 5 b = 10, 则 解 : 2 a = 10,  a = log 2 10, 5 b = 10,  b = log 5 10, 则 = lg(2  5) = 1. 1 3. 对于函数 f ( x ) = a - ( a  R): (1) 探索函数 f ( x ) 的单调性 ; (2) 是否存在实数 a 使函数 f ( x ) 为奇函数 ? 解 : (1) ∵2 x 是 ( - ∞, + ∞) 上的增函数 , ∴ 当 x 1 > x 2 时 , 则 所以得 f ( x 1 )> f ( x 2 ), 函数在 ( - ∞, + ∞) 上是增函数 . 3. 对于函数 f ( x ) = a - ( a  R): (1) 探索函数 f ( x ) 的单调性 ; (2) 是否存在实数 a 使函数 f ( x ) 为奇函数 ? 解 : (2) 要使 f ( x ) 为奇函数 , 需 f ( - x ) = - f ( x ) 即 整理得 解得 即当 a = 1 时 , f ( x ) 为奇函数 . 4. 设 求证 : (1) [ g ( x )] 2 - [ f ( x )] 2 = 1; (2) f (2 x ) = 2 f ( x )· g ( x ); (3) g (2 x ) = [ g ( x )] 2 + [ f ( x )] 2 . 证明 : ∴ 原等式成立 . (1) =1, 4. 设 求证 : (1) [ g ( x )] 2 - [ f ( x )] 2 = 1; (2) f (2 x ) = 2 f ( x )· g ( x ); (3) g (2 x ) = [ g ( x )] 2 + [ f ( x )] 2 . 证明 : ∴ 原等式成立 . (2) 又 2 f ( x )· g ( x ) 4. 设 求证 : (1) [ g ( x )] 2 - [ f ( x )] 2 = 1; (2) f (2 x ) = 2 f ( x )· g ( x ); (3) g (2 x ) = [ g ( x )] 2 + [ f ( x )] 2 . 证明 : (3) ∴ g (2 x ) = [ g ( x )] 2 + [ f ( x )] 2 成立 . 又 [ g ( x )] 2 +[ f ( x )] 2 5. 把物体放在冷空气中冷却 , 如果物体原来的温度是 q 1 ℃, 空气的温度是 q 0 ℃. t min 后物体的温度 q ℃ 可由公式 q = q 0 + ( q 1 - q 0 )e - kt 求得 , 这里 k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正的常量 , 现有 62℃ 的物体 , 放在 15℃ 的空气中冷却 , 1 min 以后物体的温度是 52℃, 求上式中 k 的值 ( 精确到 0.01), 然后计算开始冷却后多长时间物体的温度是 42℃, 32℃. 物体会不会冷却到 12℃? 解 : 当 q 1 = 62℃, q 0 = 15℃, t = 1 时 , q = 52℃, 则得 52 = 15 + (62 - 15)e - k , 解得 ≈0.24. 得此物体的冷却公式为 q = 15 + 47e - 0.24 t . 当 q = 42 时 , 解得 t ≈2.3(min); 当 q = 32 时 , 解得 t ≈4.2(min). 当 q = 12 时 , 得 t = lg 0.79 ( - 0.06), 对数无意义 . ( 答略 ) 事实上 , 物体不可能冷却到比空气的温度还低 . 6. 某工厂产生的废气经过过滤后排放 , 过滤过程中废气的污染物数量 P mg/L 与时间 t h 间的关系为 p = p 0 e - kt . 如果在前 5 小时消除了 10% 的污染物 , 试回答 : (1) 10 小时后还剩百分之几的污染物 ? (2) 污染物减少 50% 需要花多少时间 ( 精确到 1 h)? (3) 画出污染物数量关于时间变化的函数图象 , 并在图象上表示计算结果 . 解 : 当 t = 5 时 , P =90% P 0 , 则 90% P 0 = P 0 e - 5 k , 解得 k ≈0.02, 得 P 与 t 的关系式为 P = P 0 e - 0.02 t . (1) 当 t = 10 时 , P = P 0 e - 0.2 ≈0.82 P 0 , 答 : 10 小时后大约还剩百分之八十二的污染物 . 6. 某工厂产生的废气经过过滤后排放 , 过滤过程中废气的污染物数量 P mg/L 与时间 t h 间的关系为 p = p 0 e - kt . 如果在前 5 小时消除了 10% 的污染物 , 试回答 : (1) 10 小时后还剩百分之几的污染物 ? (2) 污染物减少 50% 需要花多少时间 ( 精确到 1 h)? (3) 画出污染物数量关于时间变化的函数图象 , 并在图象上表示计算结果 . 解 : 当 t = 5 时 , P =90% P 0 , 则 90% P 0 = P 0 e - 5 k , 解得 k ≈0.02, 得 P 与 t 的关系式为 P = P 0 e - 0.02 t . (2) 当 P = 0.5 P 0 时 , 答 : 污染物减少 50%, 大约需要花 35 小时 . 得 0.5 P 0 = P 0 e - 0.02 t . 解得 t ≈35, 6. 某工厂产生的废气经过过滤后排放 , 过滤过程中废气的污染物数量 P mg/L 与时间 t h 间的关系为 p = p 0 e - kt . 如果在前 5 小时消除了 10% 的污染物 , 试回答 : (1) 10 小时后还剩百分之几的污染物 ? (2) 污染物减少 50% 需要花多少时间 ( 精确到 1 h)? (3) 画出污染物数量关于时间变化的函数图象 , 并在图象上表示计算结果 . 解 : 图象过点 (5, 0.9), (3) (10, 0.82), (35, 0.5). x y o 5 10 35 0.5 0.82 0.9 自我检测题 返回目录 检测题 一、选择题 ( 每小题只有一个正确选项 ) 1. 已知集合 A={y|y=log 2 x, x>1}, B={y|y= , x>1}, 则 A∩B=( ) (A) (B) {y|0b, 则 ( ) (A) a 2 >b 2 (B) (C) lg(a-b)>0 (D) 3. 如果 a>1, b<-1, 那么函数 f(x)=a x +b 的图象在 ( ) (A) 第一、二、三象限 (B) 第一、三、四象限 (C) 第二、三、四象限 (D) 第一、二、四象限 4. 世界人口已超过 56 亿 , 若按千分之一的年增长率计算 , 则两年增长的人口就可相当于一个 ( ) (A) 新加坡 (270 万 ) (B) 香港 (560 万 ) (C) 瑞士 (700 万 ) (D) 上海 (1200 万 ) 5. 已知 f(x) 是偶函数 , 它在 [0, +∞) 上是减函数 . 若 f(lgx)>f(1), 则 x 的取值范围是 ( ) (A) (B) (C) (D) (0,1) ∪(10,+∞) 二、填空题 6. 1992 年底世界人口达到 54.8 亿 , 若人口的年平均增长率为 1%, 经过 x 年后世界人口数为 y( 亿 ), 则 y 与 x 的函数 解析式为 . 7. 函数 y=log x-1 (3-x) 的定义域是 . 8. 设 0≤x≤2, 则函数 的最大值是 , 最小值是 . 三、解答题 9. 已知函数 f(x)=log a (a x -1) (a>0, 且 a≠1). (1) 求 f(x) 的定义域 ; (2) 讨论函数 f(x) 的增减性 . 10. 某电器公司生产 A 型电脑 , 1993 年这种电脑每台平均生产成本为 5000 元 , 并以纯利润 20% 确定出厂价 , 从 1994 年开始 , 公司通过更新设备和加强管理 , 使生产成本逐年降低 , 到 1997 年 , 尽管 A 型电脑出厂价是 1993 年出厂价的 80%, 但却实现了 50% 纯利润的高效益 . (1) 求 1997 年每台 A 型电脑的生产成本 ; (2) 以 1993 年的生产成本为基数 , 求 1993~1997 年生产成本平均每年降低的百分数 ( 精确到 0.01, 以下数据 可供参考 : ). 检测题 一、 选择题 ( 每小题只有一个正确选项 ) 1. 已知集合 A = { y | y = log 2 x , x >1}, B = { y | y = , x >1}, 则 A ∩ B = ( ) (A) (B) { y |0< y <1} (C) (D)   解 : 化简集合得 A = { y | y >0}, A 2. 若 a , b 是任意实数 , 且 a > b , 则 ( ) (A) a 2 > b 2 (B) (C) lg( a - b )>0 (D) 分析 : 用函数的思想判断 A 、 D 选项 , A 选项看作二次函数 , 在任意实数范围内不是一 个单调区间 , 不能确定大小 . D 选项看作指数函数 , 底数小于 1, 在 ( - ∞, + ∞) 上是减函数 , ∵ a > b , D 也可用具体实数检验 : 1> - 2 ⇏ 1 2 >( - 2) 2 , - 1> - 2 ⇏ a - b = 0.1 ⇏ lg( a - b )>0 , A 不对 ; B 不对 ; C 不对 . 3. 如果 a >1, b < - 1, 那么函数 f ( x ) = a x + b 的图象在 ( ) (A) 第一、二、三象限 (B) 第一、三、四象限 (C) 第二、三、四象限 (D) 第一、二、四象限 分析 : f ( x ) 的图象是将底数大于 1 的指数函数的图象 向下平移一个多单位 , ( 如图 ) x y O - 1 1 则应选 B. B y = a x b y = a x + b 4. 世界人口已超过 56 亿 , 若按千分之一的年增长率计算 , 则两年增长的人口就可相当于一个 ( ) (A) 新加坡 (270 万 ) (B) 香港 (560 万 ) (C) 瑞士 (700 万 ) (D) 上海 (1200 万 ) 解 : 增长两年后的总人口 : 560000(1 + 0.001) 2 . 两年增长的人口 : 560000(1 + 0.001) 2 - 560000 ≈1121( 万 ) 即两年增加的人口将超过 1121 万人 , 相当于一个 上海人口 . D 5. 已知 f ( x ) 是偶函数 , 它在 [0, + ∞) 上是减函数 . 若 f (lg x )> f (1), 则 x 的取值范围是 ( ) (A) (B) (C) (D) (0, 1) ∪(10, + ∞) 分析 : 由 f ( x ) 在 [0, + ∞) 上是减函数 , 且是偶函数 , 则大概图象如图 : x y O 1 - 1 f (1) = f ( - 1), 要使 f (lg x )> f (1), 需 - 10, x - 1≠1, 3 - x >0, 解得 1< x <3, 且 x ≠2. (1, 2)∪(2, 3) 8. 设 0≤ x ≤2, 则函数 的最大值是 , 最小值是 . 分析 : 原函数变为 y = 2 2 x - 1 - 3  2 x + 5 设 2 x = t (1≤ t ≤4), 则函数变为 画出图象 : t y O 3 1 4 当 t = 1 时 , 函数取得最大值 , 当 t = 3 时 , 函数取得最小值 , 三、 解答题 9. 已知函数 f ( x ) = log a ( a x - 1) ( a >0, 且 a ≠1). (1) 求 f ( x ) 的定义域 ; (2) 讨论函数 f ( x ) 的增减性 . 解 : (1) 要使对数有意义 , 需 a x - 1>0, 即 a x >1, ① 当 0< a <1 时 , x <0, 此时函数的定义域为 ( - ∞, 0). ② 当 a >1 时 , x >0, 此时函数的定义域为 (0, + ∞). 三、 解答题 9. 已知函数 f ( x ) = log a ( a x - 1) ( a >0, 且 a ≠1). (1) 求 f ( x ) 的定义域 ; (2) 讨论函数 f ( x ) 的增减性 . 解 : (2) ① 当 0< a <1 时 , x <0, a x 是 ( - ∞, 0) 上的减函数 . 取 x 1 < x 2 <0 时 , ∵ log a u 是 (0, + ∞) 上的减函数 , ∴ log a u 1 0, 且 a ≠1). (1) 求 f ( x ) 的定义域 ; (2) 讨论函数 f ( x ) 的增减性 . 解 : (2) ② 当 a >1 时 , x >0, a x 是 (0, + ∞) 上的增函数 . 取 x 1 > x 2 >0 时 , ∵ log a u 是 (0, + ∞) 上的增函数 , ∴ log a u 1 >log a u 2 , 同样 , 当 a >1 时 , f ( x ) 在 (0, + ∞) 上是增函数 . ∴ 当 0< a <1 时 , 函数在 ( - ∞, 0) 上是增函数 ; 当 a >1 时 , 函数在 (0, + ∞) 上也是增函数 . 10. 某电器公司生产 A 型电脑 , 1993 年这种电脑每台平均生产成本为 5000 元 , 并以纯利润 20% 确定出厂价 , 从 1994 年开始 , 公司通过更新设备和加强管理 , 使生产成本逐年降低 , 到 1997 年 , 尽管 A 型电脑出厂价是 1993 年出厂价的 80%, 但却实现了 50% 纯利润的高效益 . (1) 求 1997 年每台 A 型电脑的生产成本 ; (2) 以 1993 年的生产成本为基数 , 求 1993~1997 年生产成本平均每年降低的百分数 ( 精确到 0.01, 以下数据可供参考 : ). 解 : (1) 1993 年的出厂价为 5000(1 + 20%), 设 1997 年的成本为 x 元 , x (1 + 50%), x (1 + 50%) = 5000(1 + 20%)80%. 按纯利润 50% 计算 , 则出厂价为 1997 年的出厂价是 1993 年出厂价的 80%, 则有 解得 x = 3200( 元 ). ( 答略 ) 10. 某电器公司生产 A 型电脑 , 1993 年这种电脑每台平均生产成本为 5000 元 , 并以纯利润 20% 确定出厂价 , 从 1994 年开始 , 公司通过更新设备和加强管理 , 使生产成本逐年降低 , 到 1997 年 , 尽管 A 型电脑出厂价是 1993 年出厂价的 80%, 但却实现了 50% 纯利润的高效益 . (1) 求 1997 年每台 A 型电脑的生产成本 ; (2) 以 1993 年的生产成本为基数 , 求 1993~1997 年生产成本平均每年降低的百分数 ( 精确到 0.01, 以下数据可供参考 : ). 解 : (2) 设成本降低的百分数为 x , 则 5000(1 - x ) 4 = 3200, (1 - x ) 4 = 0.64, 则 x = 1 - 0.89 = 0.11 = 11%. ( 答略 ) 完