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  • 2021-06-16 发布

2018年甘肃省张掖市高考数学一模试卷(文科)

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‎2018年甘肃省张掖市高考数学一模试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)若集合,则A∩B=(  )‎ A.(4,9) B.(9,+∞) C.(10,+∞) D.(9,10)‎ ‎2.(5分)若复数z=5+3i,且iz=a+bi(a,b∈R)则a+b=(  )‎ A.2 B.﹣2 C.﹣8 D.8‎ ‎3.(5分)如表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温(°C)的数据一览表.‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 最高温 ‎5‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎17‎ ‎24‎ ‎27‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎21‎ 最低温 ‎﹣12‎ ‎﹣3‎ ‎1‎ ‎﹣2‎ ‎7‎ ‎17‎ ‎19‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎10‎ 已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系,根据该一览表,则下列结论错误的是(  )‎ A.最低温与最高温为正相关 B.每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加 C.月温差(最高温减最低温)的最大值出现在1月 D.1月至4月的月温差(最高温减最低温)相对于7月至10月,波动性更大 ‎4.(5分)设等差数列{an}的公差为d,且a1a2=35,2a4﹣a6=7,则d=(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎5.(5分)若是第二象限角,则=(  )‎ A. B.5 C. D.10‎ ‎6.(5分)已知双曲线的实轴长为8,则该双曲线的渐近线的斜率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(5分)若实数x,y满足约束条件,则z=4x﹣y的最大值为(  )‎ A.3 B.﹣1 C.﹣4 D.12‎ ‎8.(5分)如图所示的程序框图,运行程序后,输出的结果等于(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎9.(5分)已知函数的最小正周期为6π,且取图象向右平移个单位后得到函数g(x)=sinwx的图象,则φ=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.(5分)f(x)=的部分图象大致是(  )‎ A. B.‎ ‎ C. D.‎ ‎11.(5分)如图,网格纸上的小正方形的边长为,粗实线画出的某多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为(  )‎ A.52π B.45π C.41π D.34π ‎12.(5分)设函数f(x)在R上存在导函数f'(x),对于任意实数x,都有f(x)=6x2﹣f(﹣x),当x∈(﹣∞,0)时,2f'(x)+1<12x若f(m+2)≤f(﹣2m)+12﹣9m2,则m的取值范围为(  )‎ A.[﹣1,+∞) B. C. D.[﹣2,+∞)‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.(5分)已知向量,,则向量与夹角的余弦值为   .‎ ‎14.(5分)已知数列{an}满足,且a2=2,则a4=   .‎ ‎15.(5分)如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3,E,F分别是棱BC,DD1上的点,且DF=FD1,如果B1E⊥平面ABF,则B1E的长度为   .‎ ‎16.(5分)已知抛物线y2=2x,A,B是抛物线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x00),则x0的取值范围是   .(用区间表示)‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=4,,bsinC=2sinB.‎ ‎(1)求b的值;‎ ‎(2)求△ABC的面积.‎ ‎18.(12分)共享单车是指企业的校园,地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务,是一种分时租赁模式,某共享单车企业为更好服务社会,随机调查了100人,统计了这100人每日平均骑行共享单车的时间(单位:分钟),由统计数据得到如下频率分布直方图,已知骑行时间在[60,80),[20,40),[40,60)三组对应的人数依次成等差数列 ‎(1)求频率分布直方图中a,b的值.‎ ‎(2)若将日平均骑行时间不少于80分钟的用户定义为“忠实用户”,将日平均骑行时间少于40分钟的用户为“潜力用户”,现从上述“忠实用户”与“潜力用户”的人中按分层抽样选出5人,再从这5人中任取3人,求恰好1人为“忠实用户”的概率.‎ ‎19.(12分)如图,四边形ABCD是矩形AB=3,PE⊥‎ 平面ABCD,PE=.‎ ‎(1)证明:平面PAC⊥平面PBE;‎ ‎(2)设AC与BE相交于点F,点G在棱PB上,且CG⊥PB,求三棱锥F﹣BCG的体积.‎ ‎20.(12分)已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,上顶点为M,若直线MF1的斜率为1,且与椭圆的另一个交点为N,△F2MN的周长为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)过点F1的直线l(直线l的斜率不为1)与椭圆交于P,Q两点,点P在点Q的上方,若,求直线l的斜率.‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=2(x﹣1)ex.‎ ‎(1)若函数f(x)在区间(a,+∞)上单调递增,求f(a)的取值范围;‎ ‎(2)设函数g(x)=ex﹣x+p,若存在x0∈[1,e],使不等式g(x0)≥f(x0)﹣x0成立,求p的取值范围.‎ ‎22.(10分)已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8,曲线C2的极坐标方程为,曲线C1、C2相交于A、B两点.(p∈R)‎ ‎(Ⅰ)求A、B两点的极坐标;‎ ‎(Ⅱ)曲线C1与直线(t为参数)分别相交于M,N两点,求线段MN的长度.‎ ‎23.已知函数f(x)=|x﹣a|﹣|x+3|,a∈R.‎ ‎(1)当a=﹣1时,解不等式f(x)≤1;‎ ‎(2)若x∈[0,3]时,f(x)≤4,求a的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2018年甘肃省张掖市高考数学一模试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)若集合,则A∩B=(  )‎ A.(4,9) B.(9,+∞) C.(10,+∞) D.(9,10)‎ ‎【解答】解:A={x|x>9},B={x|4<x<10},‎ 则A∩B={x|9<x<10}=(9,10),‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)若复数z=5+3i,且iz=a+bi(a,b∈R)则a+b=(  )‎ A.2 B.﹣2 C.﹣8 D.8‎ ‎【解答】解:复数z=5+3i,且iz=a+bi(a,b∈R),‎ 可得﹣3+5i=a+bi,.‎ 解得a=﹣3,b=5,‎ ‎∴a+b=2.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)如表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温(°C)的数据一览表.‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 最高温 ‎5‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎11‎ ‎17‎ ‎24‎ ‎27‎ ‎30‎ ‎31‎ ‎21‎ 最低温 ‎﹣12‎ ‎﹣3‎ ‎1‎ ‎﹣2‎ ‎7‎ ‎17‎ ‎19‎ ‎23‎ ‎25‎ ‎10‎ 已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系,根据该一览表,则下列结论错误的是(  )‎ A.最低温与最高温为正相关 B.每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加 C.月温差(最高温减最低温)的最大值出现在1月 D.1月至4月的月温差(最高温减最低温)相对于7月至10月,波动性更大 ‎【解答】解:根据题意,依次分析选项:‎ 对于A,知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系,由数据分析可得最低温与最高温为正相关,则A正确;‎ 对于B,由表中数据,每月最高温与最低温的平均值依次为:﹣3.5,3,5,4.5,12,20.5,23,26.5,28,15.5,在前8个月不是逐月增加,则B错误;‎ 对于C,由表中数据,月温差依次为:17,12,8,13,10,7,8,7,6,11;月温差的最大值出现在1月,C正确;‎ 对于D,有C的结论,分析可得1月至4月的月温差相对于7月至10月,波动性更大,D正确;‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)设等差数列{an}的公差为d,且a1a2=35,2a4﹣a6=7,则d=(  )‎ A.4 B.3 C.2 D.1‎ ‎【解答】解:∵等差数列{an}的公差为d,且a1a2=35,2a4﹣a6=7,‎ ‎∴,‎ 解得a1=5,d=2.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎5.(5分)若是第二象限角,则=(  )‎ A. B.5 C. D.10‎ ‎【解答】解:∵是第二象限角,‎ ‎∴tanα=﹣,可得:cosα=﹣=﹣,‎ ‎∴====10.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)已知双曲线的实轴长为8,则该双曲线的渐近线的斜率为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:双曲线的实轴长为8,‎ 可得:m2+12=16,解得m=2,m=﹣2(舍去).‎ 所以,双曲线的渐近线方程为:.‎ 则该双曲线的渐近线的斜率:.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)若实数x,y满足约束条件,则z=4x﹣y的最大值为(  )‎ A.3 B.﹣1 C.﹣4 D.12‎ ‎【解答】解:实数x,y满足约束条件,‎ 表示的平面区域如图所示,‎ 当直线z=4x﹣y过点A时,目标函数取得最大值,‎ 由解得A(3,0),‎ 在y轴上截距最小,此时z取得最大值:12.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)如图所示的程序框图,运行程序后,输出的结果等于(  )‎ A.2 B.3 C.4 D.5‎ ‎【解答】解:模拟程序的运行,可得:‎ a=2,s=0,n=1,‎ s=2,a=,‎ 满足条件s<3,执行循环体,n=2,s=2+=,a=,‎ 满足条件s<3,执行循环体,n=3,s=+=,a=,‎ 此时,不满足条件s<3,退出循环,输出n的值为3.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)已知函数的最小正周期为6π,且取图象向右平移个单位后得到函数g(x)=sinwx的图象,则φ=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:∵函数的最小正周期为6π,‎ ‎∴=6π,则ω=,‎ 则f(x)=sin(x+φ),图象向右平移个单位后得到y=sin[(x﹣)+φ]=sin(x﹣+φ)=sinx,‎ 此时﹣+φ=2kπ,得φ=+2kπ,‎ ‎∵|φ|<,∴φ=,‎ 故选:A ‎ ‎ ‎10.(5分)f(x)=的部分图象大致是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:∵f(﹣x)=f(x)∴函数f(x)为奇函数,排除A,‎ ‎∵x∈(0,1)时,x>sinx,x2+x﹣2<0,故f(x)<0,故排除B;‎ 当x→+∞时,f(x)→0,故排除C;‎ 故选:D ‎ ‎ ‎11.(5分)如图,网格纸上的小正方形的边长为,粗实线画出的某多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为(  )‎ A.52π B.45π C.41π D.34π ‎【解答】解:由三视图可知:该几何体为一个四棱锥,底面ABCD是矩形,其中AB=4,AD=6,侧面PBC⊥底面垂ABCD.‎ 设AC∩BD=O,则OA=OB=OC=OD=,OP=,‎ ‎∴O该多面体外接球的球心,半径R=,∴该多面体外接球的表面积为S=4πR2=52π.‎ 故选:A ‎ ‎ ‎12.(5分)设函数f(x)在R上存在导函数f'(x),对于任意实数x,都有f(x)=6x2﹣f(﹣x),当x∈(﹣∞,0)时,2f'(x)+1<12x若f(m+2)≤f(﹣2m)+12﹣9m2,则m的取值范围为(  )‎ A.[﹣1,+∞) B. C. D.[﹣2,+∞)‎ ‎【解答】解:∵f(x)﹣3x2+f(﹣x)﹣3x2=0,‎ 设g(x)=f(x)﹣3x2,‎ 则g(x)+g(﹣x)=0,‎ ‎∴g(x)为奇函数,‎ 又g′(x)=f′(x)﹣6x<﹣,‎ ‎∴g(x)在x∈(﹣∞,0)上是减函数,从而在R上是减函数,‎ 又f(m+2)≤f(﹣2m)+12m+12﹣9m2‎ 等价于f(m+2)﹣3(m+2)2≤f(﹣2m)﹣3(﹣2m)2,‎ 即g(m+2)≤g(﹣2m),‎ ‎∴m+2≥﹣2m,‎ 解可得:m≥﹣;‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.(5分)已知向量,,则向量与夹角的余弦值为  .‎ ‎【解答】解:根据题意,设向量与夹角为θ,‎ 向量,,‎ 则||=2,||=5,且•=2×(﹣3)+(﹣4)×(﹣4)=10,‎ cosθ===,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)已知数列{an}满足,且a2=2,则a4= 11 .‎ ‎【解答】解:∵,‎ ‎∴=2‎ ‎∴{an+1}是公比q=2的等比数列,‎ 则=22=4,‎ 即=4,则a4+1=3×4=12,‎ 则a4=11,‎ 故答案为:11.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3,E,F分别是棱BC,DD1上的点,且DF=FD1,如果B1E⊥平面ABF,则B1E的长度为  .‎ ‎【解答】解:以D为坐标原点,DC,DA,DD1所在直线为x,y,z轴,‎ 建立空间直角坐标系,‎ 可得A(0,3,0),B(3,3,0),F(0,0,),B1(3,3,3),‎ E(3,t,0),‎ 则=(0,t﹣3,﹣3),=(3,0,0),=(﹣3,﹣3,),‎ B1E⊥平面ABF,‎ 可得B1E⊥AB,B1E⊥BF,‎ 即•=0,•=0,‎ 即有0×3+(t﹣3)×0+﹣3×0=0,‎ ‎0×(﹣3)+(t﹣3)×(﹣3)+(﹣3)×=0,‎ 解得t=,‎ 则=(0,﹣,﹣3),‎ 可得B1E的长度为=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎16.(5分)已知抛物线y2=2x,A,B是抛物线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x00),则x0的取值范围是 (1,+∞) .(用区间表示)‎ ‎【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M.‎ 直线AB的方程为y=kx+m,(k≠0)‎ 得ky2﹣2y+2m=0‎ ‎,‎ ‎△=4﹣8km>0⇒km<‎ xM═,yM=‎ ‎⇒直线PM的方程为y﹣=﹣‎ 令y=0,得x0=‎ ‎∵‎ ‎∴x0=>1‎ 故答案为:(1,+∞)‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=4,,bsinC=2sinB.‎ ‎(1)求b的值;‎ ‎(2)求△ABC的面积.‎ ‎【解答】解:(1)∵bsinC=2sinB,‎ ‎∴由正弦定理得:bc=2b,即c=2,‎ 由余弦定理得.‎ ‎∴;‎ ‎(2)∵a=4,c=2,.‎ ‎∴.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)共享单车是指企业的校园,地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务,是一种分时租赁模式,某共享单车企业为更好服务社会,随机调查了100人,统计了这100人每日平均骑行共享单车的时间(单位:分钟),由统计数据得到如下频率分布直方图,已知骑行时间在[60,80),[20,40),[40,60)三组对应的人数依次成等差数列 ‎(1)求频率分布直方图中a,b的值.‎ ‎(2)若将日平均骑行时间不少于80分钟的用户定义为“忠实用户”,将日平均骑行时间少于40分钟的用户为“潜力用户”,现从上述“忠实用户”与“潜力用户”的人中按分层抽样选出5人,再从这5人中任取3人,求恰好1人为“忠实用户”的概率.‎ ‎【解答】解:(1)由(0.0025×2+0.0075+3a)×20=1‎ 解得a=0.0125,‎ 又b+0.0165=2a=0.0025,∴b=0.0085.‎ ‎(2)“忠实用户”“潜力用户”的人数之比为:(0.0075+0.0025):(0.0125+0.0025)=2:3,‎ 所以“忠实用户”抽取人,‎ ‎“潜力用户”抽取人,‎ 记事件:从5人中任取3人恰有1人为“忠实用户”‎ 设两名“忠实用户”的人记为:B1,B2,三名“潜力用户”的人记为:b1,b2,b3,‎ 则这5人中任选3人有:‎ ‎(B1,B2,b1),(B1,B2,b2),(B1,B2,b3),(B1,b1,b2),(B1,b1,b3)(B1,b2,b3),‎ ‎(B2,b1,b2),(B2,b1,b3),(B1,b2,b3),(b1,b2,b3),共10种情形,‎ 符合题设条件有:‎ ‎(B1,b1,b2),(B1,b1,b3),(B1,b2,b3),(B2,b1,b2),(B2,b1,b3),(B1,b2,b3)共有6种,‎ 因此恰好1人为“忠实用户”的概率为.‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)如图,四边形ABCD是矩形AB=3,PE⊥平面ABCD,PE=.‎ ‎(1)证明:平面PAC⊥平面PBE;‎ ‎(2)设AC与BE相交于点F,点G在棱PB上,且CG⊥PB,求三棱锥F﹣BCG的体积.‎ ‎【解答】证明:(1)因为四边形ABCD是矩形,,‎ 所以,‎ 又,‎ 所以△ABC~△BCE,∠BCE=∠ACB,‎ 因为,‎ 所以AC⊥BE,‎ 又PE⊥平面ABCD,所以AC⊥PE,‎ 又面PE∩BE=E,所以AC⊥平面PBE.‎ ‎(2)因为,所以,‎ 又BC=3,CG⊥PB,‎ 所以G为棱PB的中点,G到平面ABC的距离等于,‎ 由(1)知△ABF~△CEF,所以,‎ 所以,‎ 所以.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,上顶点为M,若直线MF1的斜率为1,且与椭圆的另一个交点为N,△F2MN的周长为.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)过点F1的直线l(直线l的斜率不为1)与椭圆交于P,Q两点,点P在点Q的上方,若,求直线l的斜率.‎ ‎【解答】解:(1)根据题意,因为△F1MN的周长为,所以,即,‎ 由直线MF1的斜率1,得,‎ 因为a2=b2+c2,所以b=1,c=1,‎ 所以椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)由题意可得直线MF1方程为y=x+1,联立得,解得N(﹣,﹣),‎ 所以,‎ 因为,即,‎ 所以|QF1|=2|PF1|,‎ 当直线l的斜率为0时,不符合题意,‎ 故设直线l的方程为x=my﹣1,P(x1,y1),Q(x2,y2),‎ 由点P在点Q的上方,且|y2|=|2y1|,‎ 则有y2=﹣2y1,‎ 联立,所以(m2+2)y2﹣2my﹣1=0,所以,‎ 消去y2得,所以,得,‎ 又由画图可知不符合题意,所以,‎ 故直线l的斜率为.‎ ‎ ‎ ‎21.(12分)已知函数f(x)=2(x﹣1)ex.‎ ‎(1)若函数f(x)在区间(a,+∞)上单调递增,求f(a)的取值范围;‎ ‎(2)设函数g(x)=ex﹣x+p,若存在x0∈[1,e],使不等式g(x0)≥f(x0)﹣x0成立,求p的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)由f'(x)=2xex>0,得x>0,‎ 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以a≥0,所以f(a)≥f(0)=﹣2,‎ 所以f(a)的取值范围是[﹣2,+∞).‎ ‎(2)因为存在x0∈[1,e],使不等式成立,‎ 所以存在x0∈[1,e],使成立,‎ 令h(x)=(2x﹣e)ex,从而p≥h(x)min,h'(x)=(2x﹣1)ex,‎ 因为x≥1,所以2x﹣1≥1,ex>0,所以h'(x)>0,‎ 所以h(x)=(2x﹣e)ex在[1,e]上单调递增,‎ 所以h(x)min=h(1)=﹣e,所以p≥﹣e,‎ 实数p的取值范围是[﹣e,+∞).‎ ‎ ‎ ‎22.(10分)已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8,曲线C2的极坐标方程为,曲线C1、C2相交于A、B两点.(p∈R)‎ ‎(Ⅰ)求A、B两点的极坐标;‎ ‎(Ⅱ)曲线C1与直线(t为参数)分别相交于M,N两点,求线段MN的长度.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由得:,‎ ‎∴ρ2=16,‎ 即ρ=±4.‎ ‎∴A、B两点的极坐标为:或.‎ ‎(Ⅱ)由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2(cos2θ﹣sin2θ)=8,‎ 得到普通方程为x2﹣y2=8.‎ 将直线代入x2﹣y2=8,‎ 整理得.‎ ‎∴|MN|==.‎ ‎ ‎ ‎23.已知函数f(x)=|x﹣a|﹣|x+3|,a∈R.‎ ‎(1)当a=﹣1时,解不等式f(x)≤1;‎ ‎(2)若x∈[0,3]时,f(x)≤4,求a的取值范围.‎ ‎【解答】解:(1)当a=﹣1时,不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1;‎ 当x≤﹣3时,不等式转化为﹣(x+1)+(x+3)≤1,不等式解集为空集;‎ 当﹣3<x<﹣1时,不等式转化为﹣(x+1)﹣(x+3)≤1,解之得;‎ 当x≥﹣1时,不等式转化为(x+1)﹣(x+3)≤1,恒成立;‎ 综上所求不等式的解集为.‎ ‎(2)若x∈[0,3]时,f(x)≤4恒成立,即|x﹣a|≤x+7,亦即﹣7≤a≤2x+7恒成立,‎ 又因为x∈[0,3],所以﹣7≤a≤7,‎ 所以a的取值范围为[﹣7,7].‎ ‎ ‎