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- 2021-06-16 发布
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2018年甘肃省张掖市高考数学一模试卷(文科)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)若集合,则A∩B=( )
A.(4,9) B.(9,+∞) C.(10,+∞) D.(9,10)
2.(5分)若复数z=5+3i,且iz=a+bi(a,b∈R)则a+b=( )
A.2 B.﹣2 C.﹣8 D.8
3.(5分)如表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温(°C)的数据一览表.
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最高温
5
9
9
11
17
24
27
30
31
21
最低温
﹣12
﹣3
1
﹣2
7
17
19
23
25
10
已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系,根据该一览表,则下列结论错误的是( )
A.最低温与最高温为正相关
B.每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加
C.月温差(最高温减最低温)的最大值出现在1月
D.1月至4月的月温差(最高温减最低温)相对于7月至10月,波动性更大
4.(5分)设等差数列{an}的公差为d,且a1a2=35,2a4﹣a6=7,则d=( )
A.4 B.3 C.2 D.1
5.(5分)若是第二象限角,则=( )
A. B.5 C. D.10
6.(5分)已知双曲线的实轴长为8,则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A. B. C. D.
7.(5分)若实数x,y满足约束条件,则z=4x﹣y的最大值为( )
A.3 B.﹣1 C.﹣4 D.12
8.(5分)如图所示的程序框图,运行程序后,输出的结果等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
9.(5分)已知函数的最小正周期为6π,且取图象向右平移个单位后得到函数g(x)=sinwx的图象,则φ=( )
A. B. C. D.
10.(5分)f(x)=的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
11.(5分)如图,网格纸上的小正方形的边长为,粗实线画出的某多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为( )
A.52π B.45π C.41π D.34π
12.(5分)设函数f(x)在R上存在导函数f'(x),对于任意实数x,都有f(x)=6x2﹣f(﹣x),当x∈(﹣∞,0)时,2f'(x)+1<12x若f(m+2)≤f(﹣2m)+12﹣9m2,则m的取值范围为( )
A.[﹣1,+∞) B. C. D.[﹣2,+∞)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(5分)已知向量,,则向量与夹角的余弦值为 .
14.(5分)已知数列{an}满足,且a2=2,则a4= .
15.(5分)如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3,E,F分别是棱BC,DD1上的点,且DF=FD1,如果B1E⊥平面ABF,则B1E的长度为 .
16.(5分)已知抛物线y2=2x,A,B是抛物线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x00),则x0的取值范围是 .(用区间表示)
三、解答题(本大题共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=4,,bsinC=2sinB.
(1)求b的值;
(2)求△ABC的面积.
18.(12分)共享单车是指企业的校园,地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务,是一种分时租赁模式,某共享单车企业为更好服务社会,随机调查了100人,统计了这100人每日平均骑行共享单车的时间(单位:分钟),由统计数据得到如下频率分布直方图,已知骑行时间在[60,80),[20,40),[40,60)三组对应的人数依次成等差数列
(1)求频率分布直方图中a,b的值.
(2)若将日平均骑行时间不少于80分钟的用户定义为“忠实用户”,将日平均骑行时间少于40分钟的用户为“潜力用户”,现从上述“忠实用户”与“潜力用户”的人中按分层抽样选出5人,再从这5人中任取3人,求恰好1人为“忠实用户”的概率.
19.(12分)如图,四边形ABCD是矩形AB=3,PE⊥
平面ABCD,PE=.
(1)证明:平面PAC⊥平面PBE;
(2)设AC与BE相交于点F,点G在棱PB上,且CG⊥PB,求三棱锥F﹣BCG的体积.
20.(12分)已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,上顶点为M,若直线MF1的斜率为1,且与椭圆的另一个交点为N,△F2MN的周长为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点F1的直线l(直线l的斜率不为1)与椭圆交于P,Q两点,点P在点Q的上方,若,求直线l的斜率.
21.(12分)已知函数f(x)=2(x﹣1)ex.
(1)若函数f(x)在区间(a,+∞)上单调递增,求f(a)的取值范围;
(2)设函数g(x)=ex﹣x+p,若存在x0∈[1,e],使不等式g(x0)≥f(x0)﹣x0成立,求p的取值范围.
22.(10分)已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8,曲线C2的极坐标方程为,曲线C1、C2相交于A、B两点.(p∈R)
(Ⅰ)求A、B两点的极坐标;
(Ⅱ)曲线C1与直线(t为参数)分别相交于M,N两点,求线段MN的长度.
23.已知函数f(x)=|x﹣a|﹣|x+3|,a∈R.
(1)当a=﹣1时,解不等式f(x)≤1;
(2)若x∈[0,3]时,f(x)≤4,求a的取值范围.
2018年甘肃省张掖市高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.(5分)若集合,则A∩B=( )
A.(4,9) B.(9,+∞) C.(10,+∞) D.(9,10)
【解答】解:A={x|x>9},B={x|4<x<10},
则A∩B={x|9<x<10}=(9,10),
故选:D.
2.(5分)若复数z=5+3i,且iz=a+bi(a,b∈R)则a+b=( )
A.2 B.﹣2 C.﹣8 D.8
【解答】解:复数z=5+3i,且iz=a+bi(a,b∈R),
可得﹣3+5i=a+bi,.
解得a=﹣3,b=5,
∴a+b=2.
故选:A.
3.(5分)如表是我国某城市在2017年1月份至10月份各月最低温与最高温(°C)的数据一览表.
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
最高温
5
9
9
11
17
24
27
30
31
21
最低温
﹣12
﹣3
1
﹣2
7
17
19
23
25
10
已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系,根据该一览表,则下列结论错误的是( )
A.最低温与最高温为正相关
B.每月最高温与最低温的平均值在前8个月逐月增加
C.月温差(最高温减最低温)的最大值出现在1月
D.1月至4月的月温差(最高温减最低温)相对于7月至10月,波动性更大
【解答】解:根据题意,依次分析选项:
对于A,知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系,由数据分析可得最低温与最高温为正相关,则A正确;
对于B,由表中数据,每月最高温与最低温的平均值依次为:﹣3.5,3,5,4.5,12,20.5,23,26.5,28,15.5,在前8个月不是逐月增加,则B错误;
对于C,由表中数据,月温差依次为:17,12,8,13,10,7,8,7,6,11;月温差的最大值出现在1月,C正确;
对于D,有C的结论,分析可得1月至4月的月温差相对于7月至10月,波动性更大,D正确;
故选:B.
4.(5分)设等差数列{an}的公差为d,且a1a2=35,2a4﹣a6=7,则d=( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【解答】解:∵等差数列{an}的公差为d,且a1a2=35,2a4﹣a6=7,
∴,
解得a1=5,d=2.
故选:C.
5.(5分)若是第二象限角,则=( )
A. B.5 C. D.10
【解答】解:∵是第二象限角,
∴tanα=﹣,可得:cosα=﹣=﹣,
∴====10.
故选:D.
6.(5分)已知双曲线的实轴长为8,则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A. B. C. D.
【解答】解:双曲线的实轴长为8,
可得:m2+12=16,解得m=2,m=﹣2(舍去).
所以,双曲线的渐近线方程为:.
则该双曲线的渐近线的斜率:.
故选:C.
7.(5分)若实数x,y满足约束条件,则z=4x﹣y的最大值为( )
A.3 B.﹣1 C.﹣4 D.12
【解答】解:实数x,y满足约束条件,
表示的平面区域如图所示,
当直线z=4x﹣y过点A时,目标函数取得最大值,
由解得A(3,0),
在y轴上截距最小,此时z取得最大值:12.
故选:D.
8.(5分)如图所示的程序框图,运行程序后,输出的结果等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【解答】解:模拟程序的运行,可得:
a=2,s=0,n=1,
s=2,a=,
满足条件s<3,执行循环体,n=2,s=2+=,a=,
满足条件s<3,执行循环体,n=3,s=+=,a=,
此时,不满足条件s<3,退出循环,输出n的值为3.
故选:B.
9.(5分)已知函数的最小正周期为6π,且取图象向右平移个单位后得到函数g(x)=sinwx的图象,则φ=( )
A. B. C. D.
【解答】解:∵函数的最小正周期为6π,
∴=6π,则ω=,
则f(x)=sin(x+φ),图象向右平移个单位后得到y=sin[(x﹣)+φ]=sin(x﹣+φ)=sinx,
此时﹣+φ=2kπ,得φ=+2kπ,
∵|φ|<,∴φ=,
故选:A
10.(5分)f(x)=的部分图象大致是( )
A. B. C. D.
【解答】解:∵f(﹣x)=f(x)∴函数f(x)为奇函数,排除A,
∵x∈(0,1)时,x>sinx,x2+x﹣2<0,故f(x)<0,故排除B;
当x→+∞时,f(x)→0,故排除C;
故选:D
11.(5分)如图,网格纸上的小正方形的边长为,粗实线画出的某多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为( )
A.52π B.45π C.41π D.34π
【解答】解:由三视图可知:该几何体为一个四棱锥,底面ABCD是矩形,其中AB=4,AD=6,侧面PBC⊥底面垂ABCD.
设AC∩BD=O,则OA=OB=OC=OD=,OP=,
∴O该多面体外接球的球心,半径R=,∴该多面体外接球的表面积为S=4πR2=52π.
故选:A
12.(5分)设函数f(x)在R上存在导函数f'(x),对于任意实数x,都有f(x)=6x2﹣f(﹣x),当x∈(﹣∞,0)时,2f'(x)+1<12x若f(m+2)≤f(﹣2m)+12﹣9m2,则m的取值范围为( )
A.[﹣1,+∞) B. C. D.[﹣2,+∞)
【解答】解:∵f(x)﹣3x2+f(﹣x)﹣3x2=0,
设g(x)=f(x)﹣3x2,
则g(x)+g(﹣x)=0,
∴g(x)为奇函数,
又g′(x)=f′(x)﹣6x<﹣,
∴g(x)在x∈(﹣∞,0)上是减函数,从而在R上是减函数,
又f(m+2)≤f(﹣2m)+12m+12﹣9m2
等价于f(m+2)﹣3(m+2)2≤f(﹣2m)﹣3(﹣2m)2,
即g(m+2)≤g(﹣2m),
∴m+2≥﹣2m,
解可得:m≥﹣;
故选:C.
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.(5分)已知向量,,则向量与夹角的余弦值为 .
【解答】解:根据题意,设向量与夹角为θ,
向量,,
则||=2,||=5,且•=2×(﹣3)+(﹣4)×(﹣4)=10,
cosθ===,
故答案为:.
14.(5分)已知数列{an}满足,且a2=2,则a4= 11 .
【解答】解:∵,
∴=2
∴{an+1}是公比q=2的等比数列,
则=22=4,
即=4,则a4+1=3×4=12,
则a4=11,
故答案为:11.
15.(5分)如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3,E,F分别是棱BC,DD1上的点,且DF=FD1,如果B1E⊥平面ABF,则B1E的长度为 .
【解答】解:以D为坐标原点,DC,DA,DD1所在直线为x,y,z轴,
建立空间直角坐标系,
可得A(0,3,0),B(3,3,0),F(0,0,),B1(3,3,3),
E(3,t,0),
则=(0,t﹣3,﹣3),=(3,0,0),=(﹣3,﹣3,),
B1E⊥平面ABF,
可得B1E⊥AB,B1E⊥BF,
即•=0,•=0,
即有0×3+(t﹣3)×0+﹣3×0=0,
0×(﹣3)+(t﹣3)×(﹣3)+(﹣3)×=0,
解得t=,
则=(0,﹣,﹣3),
可得B1E的长度为=.
故答案为:.
16.(5分)已知抛物线y2=2x,A,B是抛物线上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x00),则x0的取值范围是 (1,+∞) .(用区间表示)
【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M.
直线AB的方程为y=kx+m,(k≠0)
得ky2﹣2y+2m=0
,
△=4﹣8km>0⇒km<
xM═,yM=
⇒直线PM的方程为y﹣=﹣
令y=0,得x0=
∵
∴x0=>1
故答案为:(1,+∞)
三、解答题(本大题共7小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知a=4,,bsinC=2sinB.
(1)求b的值;
(2)求△ABC的面积.
【解答】解:(1)∵bsinC=2sinB,
∴由正弦定理得:bc=2b,即c=2,
由余弦定理得.
∴;
(2)∵a=4,c=2,.
∴.
18.(12分)共享单车是指企业的校园,地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务,是一种分时租赁模式,某共享单车企业为更好服务社会,随机调查了100人,统计了这100人每日平均骑行共享单车的时间(单位:分钟),由统计数据得到如下频率分布直方图,已知骑行时间在[60,80),[20,40),[40,60)三组对应的人数依次成等差数列
(1)求频率分布直方图中a,b的值.
(2)若将日平均骑行时间不少于80分钟的用户定义为“忠实用户”,将日平均骑行时间少于40分钟的用户为“潜力用户”,现从上述“忠实用户”与“潜力用户”的人中按分层抽样选出5人,再从这5人中任取3人,求恰好1人为“忠实用户”的概率.
【解答】解:(1)由(0.0025×2+0.0075+3a)×20=1
解得a=0.0125,
又b+0.0165=2a=0.0025,∴b=0.0085.
(2)“忠实用户”“潜力用户”的人数之比为:(0.0075+0.0025):(0.0125+0.0025)=2:3,
所以“忠实用户”抽取人,
“潜力用户”抽取人,
记事件:从5人中任取3人恰有1人为“忠实用户”
设两名“忠实用户”的人记为:B1,B2,三名“潜力用户”的人记为:b1,b2,b3,
则这5人中任选3人有:
(B1,B2,b1),(B1,B2,b2),(B1,B2,b3),(B1,b1,b2),(B1,b1,b3)(B1,b2,b3),
(B2,b1,b2),(B2,b1,b3),(B1,b2,b3),(b1,b2,b3),共10种情形,
符合题设条件有:
(B1,b1,b2),(B1,b1,b3),(B1,b2,b3),(B2,b1,b2),(B2,b1,b3),(B1,b2,b3)共有6种,
因此恰好1人为“忠实用户”的概率为.
19.(12分)如图,四边形ABCD是矩形AB=3,PE⊥平面ABCD,PE=.
(1)证明:平面PAC⊥平面PBE;
(2)设AC与BE相交于点F,点G在棱PB上,且CG⊥PB,求三棱锥F﹣BCG的体积.
【解答】证明:(1)因为四边形ABCD是矩形,,
所以,
又,
所以△ABC~△BCE,∠BCE=∠ACB,
因为,
所以AC⊥BE,
又PE⊥平面ABCD,所以AC⊥PE,
又面PE∩BE=E,所以AC⊥平面PBE.
(2)因为,所以,
又BC=3,CG⊥PB,
所以G为棱PB的中点,G到平面ABC的距离等于,
由(1)知△ABF~△CEF,所以,
所以,
所以.
20.(12分)已知椭圆的左右焦点分别为F1,F2,上顶点为M,若直线MF1的斜率为1,且与椭圆的另一个交点为N,△F2MN的周长为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点F1的直线l(直线l的斜率不为1)与椭圆交于P,Q两点,点P在点Q的上方,若,求直线l的斜率.
【解答】解:(1)根据题意,因为△F1MN的周长为,所以,即,
由直线MF1的斜率1,得,
因为a2=b2+c2,所以b=1,c=1,
所以椭圆的标准方程为.
(2)由题意可得直线MF1方程为y=x+1,联立得,解得N(﹣,﹣),
所以,
因为,即,
所以|QF1|=2|PF1|,
当直线l的斜率为0时,不符合题意,
故设直线l的方程为x=my﹣1,P(x1,y1),Q(x2,y2),
由点P在点Q的上方,且|y2|=|2y1|,
则有y2=﹣2y1,
联立,所以(m2+2)y2﹣2my﹣1=0,所以,
消去y2得,所以,得,
又由画图可知不符合题意,所以,
故直线l的斜率为.
21.(12分)已知函数f(x)=2(x﹣1)ex.
(1)若函数f(x)在区间(a,+∞)上单调递增,求f(a)的取值范围;
(2)设函数g(x)=ex﹣x+p,若存在x0∈[1,e],使不等式g(x0)≥f(x0)﹣x0成立,求p的取值范围.
【解答】解:(1)由f'(x)=2xex>0,得x>0,
所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以a≥0,所以f(a)≥f(0)=﹣2,
所以f(a)的取值范围是[﹣2,+∞).
(2)因为存在x0∈[1,e],使不等式成立,
所以存在x0∈[1,e],使成立,
令h(x)=(2x﹣e)ex,从而p≥h(x)min,h'(x)=(2x﹣1)ex,
因为x≥1,所以2x﹣1≥1,ex>0,所以h'(x)>0,
所以h(x)=(2x﹣e)ex在[1,e]上单调递增,
所以h(x)min=h(1)=﹣e,所以p≥﹣e,
实数p的取值范围是[﹣e,+∞).
22.(10分)已知曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ=8,曲线C2的极坐标方程为,曲线C1、C2相交于A、B两点.(p∈R)
(Ⅰ)求A、B两点的极坐标;
(Ⅱ)曲线C1与直线(t为参数)分别相交于M,N两点,求线段MN的长度.
【解答】解:(Ⅰ)由得:,
∴ρ2=16,
即ρ=±4.
∴A、B两点的极坐标为:或.
(Ⅱ)由曲线C1的极坐标方程ρ2cos2θ=8化为ρ2(cos2θ﹣sin2θ)=8,
得到普通方程为x2﹣y2=8.
将直线代入x2﹣y2=8,
整理得.
∴|MN|==.
23.已知函数f(x)=|x﹣a|﹣|x+3|,a∈R.
(1)当a=﹣1时,解不等式f(x)≤1;
(2)若x∈[0,3]时,f(x)≤4,求a的取值范围.
【解答】解:(1)当a=﹣1时,不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1;
当x≤﹣3时,不等式转化为﹣(x+1)+(x+3)≤1,不等式解集为空集;
当﹣3<x<﹣1时,不等式转化为﹣(x+1)﹣(x+3)≤1,解之得;
当x≥﹣1时,不等式转化为(x+1)﹣(x+3)≤1,恒成立;
综上所求不等式的解集为.
(2)若x∈[0,3]时,f(x)≤4恒成立,即|x﹣a|≤x+7,亦即﹣7≤a≤2x+7恒成立,
又因为x∈[0,3],所以﹣7≤a≤7,
所以a的取值范围为[﹣7,7].