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  • 2021-06-16 发布

2018-2019学年云南省玉溪一中高一下学期第一次月考数学试题(解析版)

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‎2018-2019学年云南省玉溪一中高一下学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1.计算的结果等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】由余弦的二倍角公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由余弦的二倍角公式得 ‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查余弦二倍角公式的应用,属于简单题.‎ ‎2.已知为第二象限角,,则的值等于 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵α为第二象限角,sin α=,所以cos α=-,则sin=×-×=,故选A.‎ ‎3.设,则等于(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用正弦的两角和公式可得,平方即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎,即,‎ 两边平方可得,‎ 可得,‎ 故选:B ‎【点睛】‎ 本题考查正弦的两角和公式和正弦的二倍角公式的应用,属于简单题.‎ ‎4.设向量与垂直,则等于( )‎ A. B. C. D.0‎ ‎【答案】D ‎【解析】由两个向量垂直的坐标运算结合余弦的二倍角公式可得结果.‎ ‎【详解】‎ 向量与垂直,‎ 可得,又 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查两个向量垂直的坐标运算,考查余弦二倍角公式的应用,属于简单题.‎ ‎5.在中,已知,那么一定是( )‎ A.直角三角形 B.正三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 ‎【答案】D ‎【解析】利用正弦定理和余弦定理化简即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎,由正弦定理可得,‎ 由余弦定理得,化简得a=b,‎ 所以三角形为等腰三角形,‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查利用正弦定理和余弦定理判断三角形的形状,属于简单题.‎ ‎6.在△ABC中,A=60°,a=4,,则B等于( )‎ A.45°或135° B.135°‎ C.45° D.以上答案都不对 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析:由得 ‎【考点】正弦定理解三角形 ‎7.在△ABC中,已知,,,则AC的长为( )‎ A. B. C.或 D.‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析:由余弦定理可得:,即,解得或,故选项为C.‎ ‎【考点】余弦定理.‎ ‎8.三角形中,设,若,则三角形的形状是( )‎ A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析:如图,由即可得与的夹角为钝角,由于.所以为钝角.所以选B.‎ ‎【考点】1.向量的和差运算.2.向量的数量积.‎ ‎9.若△的三个内角满足,则△‎ A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析:由正弦定理得,所以C是最大的角,由余弦定理,所以C为钝角,因此三角形一定是钝角三角形 ‎【考点】三角形形状的判定及正、余弦定理的应用 ‎10.化简( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】由正弦的二倍角公式可得,再由可得结果.‎ ‎【详解】‎ 又,所以sin4<0,cos4<0,‎ 则,‎ 故选:D ‎【点睛】‎ 本题考查正弦的二倍角公式的应用,考查三角函数值符号的判断,属于基础题.‎ ‎11.已知,则的值是( )‎ A. 1 B. -1 C. D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析:利用三角恒等变换进行化简,即,所以有;本题也可令,从而有,即,故本题正确选项为B.‎ ‎【考点】三角函数的恒等变换.‎ ‎12.在中,已知, , ,如果三角形有两解,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析:由余弦定理得,即,故由题设且,解之得,所以应选A.‎ ‎【考点】余弦定理及运用.‎ 二、填空题 ‎13.函数的值域是___________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用余弦的二倍角公式和辅助角公式将函数进行化简,然后由正弦函数的性质可得结论.‎ ‎【详解】‎ 函数,‎ 所以当时函数取到最大值为,‎ 当时函数取到最小值为,‎ 即函数值域为 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查余弦二倍角公式和辅助角公式的应用,考查正弦函数性质,属于基础题。‎ ‎14.已知,满足,,则等于__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由已知条件计算,然后利用公式计算即可.‎ ‎【详解】‎ ‎,又,可得,即,‎ 则 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数关系式和两角和的正切公式的应用,考查给值求值问题,考查学生计算能力,属于基础题.‎ ‎15.在中,角所对应的边分别为,已知,则=________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析:已知等式利用正弦定理化简,再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简,再利用正弦定理变形即可得到结果.‎ 详解:由题bcos C+ccos B=2b,,利用正弦定理化简得: , 即 ‎ ‎ 利用正弦定理化简得:, 则. 故答案为 .‎ 点睛:此题考查了正弦定理,以及两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.‎ ‎16.三角形一边长为14,它对的角为,另两边之比为,则此三角形面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先根据余弦定理解得各边长,再根据三角形面积公式求结果.‎ ‎【详解】‎ 设中剩余的两边长为,,‎ 则余弦定理得,解得,‎ 故该三角形的面积是.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用余弦定理以及三角形面积公式解三角形,考查基本分析求解能力,属基础题.‎ 三、解答题 ‎17.已知:。‎ ‎(Ⅰ)求 ‎ ‎(Ⅱ)求.‎ ‎【答案】(Ⅰ) 1 (Ⅱ) ‎ ‎【解析】(Ⅰ)计算的值,然后通过可得答案;(Ⅱ)由(Ⅰ)结合的范围可得所求角.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由得,‎ 则 ‎(Ⅱ)且,可知,‎ ‎,,则,‎ 又,所以.‎ ‎【点睛】‎ 解答给值求角问题的一般思路:①求角的某一个三角函数值,此时要根据角的范围合理地选择一种三角函数;②确定角的范围,此时注意范围越精确越好;③根据角的范围写出所求的角.‎ ‎18.(Ⅰ)求的值; ‎ ‎(Ⅱ)已知,求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)2 (Ⅱ)2‎ ‎【解析】(Ⅰ)利用两角和的正切公式推导即可得答案. (Ⅱ)由已知条件求出tanα,‎ 然后利用齐次式进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)‎ ‎ ‎ ‎= ‎ ‎(Ⅱ),解得,‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角和的正切公式,考查齐次式的应用,属于基础题.‎ ‎19.在中,角的对边分别为,,,,‎ ‎(1)求的值; ‎ ‎(2)求的面积.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】(1)由B的度数,用A表示出C,利用两角和与差的正弦公式化简,即可求出答案;(2)由sinA,sinB,以及b值,利用正弦定理求出a值,再利用三角形面积公式即可求出面积.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)∵A、B、C为△ABC的内角,且,,‎ ‎∴C=﹣A,sinA=,‎ ‎∴sinC=sin(﹣A)=cosA+sinA=;‎ ‎(2)由(1)知sinA=,sinC=,‎ 又∵,,‎ ‎∴在△ABC中,由正弦定理得a=,‎ ‎∴S△ABC=absinC=×××=.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理,三角形面积公式,以及两角和与差的正弦函数公式,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.‎ ‎20.已知函数,‎ ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期;‎ ‎(Ⅱ)若存在,使不等式成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)‎ ‎【解析】(Ⅰ)利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式为2sin(2x+),从而求出它的最小正周期.(Ⅱ)根据,可得 sin(2x0+)∈[﹣,1],f(x0)的值域为[﹣1,2],若存在使不等式f(x0)<m成立,m需大于f(x0‎ ‎)的最小值.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)∵ ‎ ‎=[2sinx+cosx]cosx﹣=sin2x+﹣+cos2x ‎=sin2x+cos2x=2sin(2x+)‎ ‎∴函数f(x)的最小周期T=.‎ ‎(Ⅱ)∵,∴2x0+∈[,],∴sin(2x0+)∈[﹣,1],‎ ‎∴f(x0)的值域为[﹣1,2].‎ ‎∵存在,使f(x)<m成立,∴m>﹣1,‎ 故实数m的取值范围为(﹣1,+∞).‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的恒等变换,三角函数的周期性及其求法,三角函数的值域和恒成立问题的求解,属于中档题.‎ ‎21.如图,一人在地看到建筑物在正北方向,另一建筑物在北偏西方向,此人向北偏西方向前进到达处,看到在他的北偏东方向,在北偏东方向,试求这两座建筑物之间的距离.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意得DC=,推出BDC=30°,在△BDC和△ADC中,利用正弦定理求出BC、AC.在△ABC中,由余弦定理可得结果.‎ ‎【详解】‎ 依题意得,DC=,∠ADB=∠BCD=30°=∠BDC,∠DBC=120°,‎ ‎∠ADC=60°,∠DAC=45°.‎ 在△BDC中,由正弦定理得, .‎ 在△ADC中,由正弦定理得,.‎ 在△ABC中,由余弦定理得,AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB ‎.∴AB=5.‎ 答:这两座建筑物之间的距离为5km.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理、余弦定理在实际问题中的应用,选择正确的三角形以及合理的定理解答是解好题目的关键,考查计算能力.‎ ‎22.设函数 ‎(Ⅰ)求函数的最小正周期和单调递增区间;‎ ‎(Ⅱ)在中,角、、所对应的边分别为、、,且求的值.‎ ‎【答案】略 ‎【解析】试题分析:(Ⅰ)把的解析式利用两角差的余弦函数公式,二倍角的余弦函数公式及两角和的正弦函数公式化简,结果化为一个角的正弦函数,即可求出的周期,根据正弦函数的递增区间列出关于x的不等式,求出不等式的解集即为的单调递增区间; (Ⅱ),根据角B的范围,利用特殊角的三角函数值求出B的度数, ,利用正弦定理求出sinC的值,进而求出C的度数,分别根据直角三角形和等腰三角形的性质即可求出a的值.‎ 试题解析:(1) ‎ 单调增区间为 ‎(2)‎ 由正弦定理得