2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一下学期第一次月考数学试题（解析版） 17页

‎2018-2019学年辽宁省沈阳市东北育才学校高一下学期第一次月考数学试题 一、单选题 ‎1．角的终边经过点，则的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据三角函数定义，，，，所以，故选择D.‎ ‎2．若，且为第四象限角，则的值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵sina=,且a为第四象限角,‎ ‎∴，‎ 则，‎ 故选：D.‎ ‎3．如图，的外切正六边形ABCDEF的边长为2，则图中阴影部分的面积为 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于六边形是正六边形，所以，故是等边三角形，‎ ‎，设点为与的切点，连接，则，，‎ 再根据，进而可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 六边形是正六边形，‎ ‎，‎ 是等边三角形，，‎ 设点为与的切点，连接，则，‎ ‎，‎ ‎．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是正多边形和圆，根据正六边形的性质求出是等边三角形是解答此题 的关键．‎ ‎4．的图象是 A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，，故B、C不正确，当时，，所以A不正确，故选D.‎ ‎5．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：函数的周期为，将函数的图像向右平移个周期即个单位，所得图像对应的函数为，故选D.‎ ‎【考点】三角函数图像的平移 ‎【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减”；二是平移多少个单位是对x而言的,不要忘记乘以系数.‎ ‎6．若，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题得再结合x的范围得到即得x的值.‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 所以.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查反三角函数及其奇偶性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.‎ ‎7．若，且，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】对条件两边平方可得，，利用三姊妹关系即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由题：，于是 由于，‎ ‎ ，故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的化简求值，判断三角函数的值的符号，诱导公式的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎8．下列三角函数值大小比较正确的是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据诱导公式，结合正弦函数和正切函数的单调性，可得答案．‎ ‎【详解】‎ 在A中，sin ＝sin＞sin=cos=cos，故A错误；‎ 在B中，sin（﹣）＝sin＞sin=sin（﹣），故B错误；‎ 在C中，tan（﹣）＝tan＞tan=tan（﹣），故C正确；‎ 在D中， 在 递增，tan138°＜tan143°，故D错误；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数值大小的比较，利用了正弦函数和正切函数的单调性，诱导公式，属于中档题．‎ ‎9．为了得到函数的图象，只需把函数的图象 A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位 C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位 ‎【答案】A ‎【解析】由于 ，根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故只需向左平移个长度单位即可得到函数的图象．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．‎ ‎10．已知函数，点和是其相邻的两个对称中心，且在区间内单调递减，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意点和是其相邻的两个对称中心得,又因为在区间内单调递减，所以，则，当时，=0，只有当时符合题意，故选 点睛：本题考查正切函数的对称性及单调性，首先要明确正切函数的对称中心是又因为存在单调递减区间，故可以计算出的值，结合函数自身特点代入点坐标，即可算出的值。‎ ‎11．若，，且，，则的值是 A． B． C．或 D．或 ‎【答案】B ‎【解析】依题意，可求得，，，，进一步可知，，于是可求得 与的值，再利用两角和的余弦及余弦函数的单调性即可求得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎，，，，‎ ‎，，‎ 又，‎ ‎，，即，，‎ ‎，，‎ ‎；‎ 又，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎ ‎ 又，，，，‎ ‎，，‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查同角三角函数间的关系式的应用，着重考查两角和的余弦与二倍角的正弦，考查转 化思想与综合运算能力，属于难题．‎ ‎12．已知函数的一个零点是是 的图象的一条对称轴，则取最小值时，的单调增区间是 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据函数的一个零点是，得出，再根据直线是函数图象的一条对称轴，得出，由此求出的关系式，进而得到的最小值与对应的值，进而得到函数的解析式，从而可求出它的单调增区间．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数 的一个零点是，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，或．①‎ 又直线是的图像的一条对称轴，‎ ‎∴，②‎ 由①②得，‎ ‎∵，‎ ‎∴；‎ 此时，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 由，‎ 得．‎ ‎∴的单调增区间是．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题综合考查三角函数的性质，考查转化和运用知识解决问题的能力，解题时要将给出的性质进行转化，进而得到关于参数的等式，并由此求出参数的取值，最后再根据解析式得到函数的单调区间．‎ 二、填空题 ‎13． _______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接利用反三角函数运算法则求解即可．‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查反三角函数的运用，三角函数求值，是基础题．‎ ‎14．已知函数，值域为，则的最大值为______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意，利用正弦函数的图象与性质，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为，，值域为，‎ 结合正弦函数的图象与性质，‎ 不妨取，，‎ 此时取得最大值为．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．‎ ‎15．已知，则 ______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将条件进行平方，然后左右两边对应相加，即可得到的值．‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 平方得，①‎ ‎，②‎ ‎①②得，‎ 即，‎ 即，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两角差的余弦公式的计算，要求熟练掌握两角差的公式，考查学生的计算能 力．综合性较强，运算量较大．‎ ‎16．已知函数在上有最大值，但没有最小值，则的取值范围是______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】函数在上有最大值，但没有最小值，所以 ‎.‎ 点睛：本题要考虑到在区间上有最大值，没有最小值，说明函数要包括正弦函数图形的山峰但不能包括其山谷，要明确题目意思是解题关键 三、解答题 ‎17．某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx+）（ω＞0，| |）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ωx+‎ ‎0‎ ‎ ‎ π ‎ ‎ ‎2π x ‎ ‎ ‎ ‎ Asin（ωx+）‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎﹣5‎ ‎0‎ ‎（1）请在答题卡上将如表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；‎ ‎（2）将y＝f（x）图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到y＝g（x）图象，求y＝g（x）的图象离原点O最近的对称中心．‎ ‎【答案】（1）答案见解析，解析式为f（x）＝5sin（2x）．；（2）．‎ ‎【解析】（1）根据表中已知数据可得A，可求，，解得ω，的值，即可求得函数解析式，即可补全数据．‎ ‎（2）由三角函数平移变换规律可求g（x）的函数解析式，利用正弦函数的图象和性质即可得解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据表中已知数据可得：A＝5，，，‎ 解得．‎ 数据补全如下表：‎ ωx+‎ ‎0‎ ‎ ‎ π ‎ ‎ ‎2π x ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ Asin（ωx+）‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎﹣5‎ ‎0‎ 且函数表达式为：f（x）＝5sin（2x）．‎ ‎（2）由（1）知，‎ 因此 ．‎ 因为y＝sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．‎ 令，‎ 解得：，k∈Z．‎ 即y＝g（x）图象的对称中心为：，k∈Z，‎ 其中离原点O最近的对称中心为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查五点法作图以及三角函数的图象和性质，考查学生的运算能力和数形结合思想的应用，属于基础题．‎ ‎18．若，，，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：（I）由，结合角的范围得,由即可得解；‎ ‎（II）由，结合角的范围得，由即可得解.‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ)由，得.‎ 因为，所以.‎ ‎.‎ ‎(Ⅱ)由，得.‎ 因为，所以.‎ ‎.‎ 点睛：这个题目考查了三角函数中的配凑角，诱导公式的应用，给值求值的题型.‎ 一般这种题目都是用已知角表示未知角，再根据两角和差公式得到要求的角，注意角的范围问题，角的范围通常是由角的三角函数值的正负来确定的.‎ ‎19．设关于x的函数的最小值为，试确定满足的a的值．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】变形可得，令，可得，，换元可得 ‎，由二次函数区间的最值可得．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 令，可得，，‎ 换元可得，可看作关于的二次函数，‎ 图象为开口向上的抛物线，对称轴为，‎ 当，即时，，是函数的递增区间，；‎ 当，即时，，是函数的递减区间，，得，与 矛盾；‎ 当，即时，，变形可得，‎ 解得或（舍去）‎ 综上可得满足（a）的的值为，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查同角的三角函数关系，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎20．如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点从水中浮现（图中点）开始计算时间.‎ ‎（1）将点距离水面的高度（米）表示为时间（秒）的函数；‎ ‎（2）在水轮旋转一圈内，有多长时间点离开水面？‎ ‎【答案】（1），；（2）见解析 ‎【解析】（1）以圆心为原点建立平面直角坐标系.根据距离水面的高度得到点的坐标.利用三角函数来表示点的坐标，将角速度代入点的纵坐标，在加上，可求得的表达式.（2）令，通过解三角不等式可求得离开水面的时间.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）以圆心为原点，建立如图所示的直角坐标系，‎ 则，所以以为始边，为终边的角为,‎ 故 点在秒内所转过的角=，所以， ‎ ‎（2）令，得，‎ 所以 即 又，所以即在水轮旋转一圈内，有10秒时间点离开水面.‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查利用三角函数表示旋转高度的问题，考查三角不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎21．若函数满足且，则称函数为“函数”．‎ ‎（1）试判断是否为“函数”，并说明理由；‎ ‎（2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调递增区间；‎ ‎（3）在(2)的条件下，当时，关于的方程为常数有解，记该方程所有解的和为，求．‎ ‎【答案】（1）不是“M函数”；（2），；（3）.‎ ‎【解析】由不满足，得不是“M函数”，‎ 可得函数的周期，，‎ 当时，‎ 当时，‎ 在上的单调递增区间：，‎ 由可得函数在上的图象，根据图象可得：‎ 当或1时，为常数有2个解，其和为 当时，为常数有3个解，其和为．‎ 当时，为常数有4个解，其和为 即可得当时，记关于x的方程为常数所有解的和为，‎ ‎【详解】‎ 不是“M函数”．‎ ‎，‎ ‎，‎ 不是“M函数”．‎ 函数满足，函数的周期 ‎，，‎ 当时，‎ 当时，‎ ‎，‎ 在上的单调递增区间：，；‎ 由可得函数在上的图象为：‎ 当或1时，为常数有2个解，其和为.‎ 当时，为常数有3个解，其和为．‎ 当时，为常数有4个解，其和为 当时，记关于x的方程为常数所有解的和为，‎ 则．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的图象、性质，考查了三角恒等变形，及三角函数型方程问题，属于难题．‎ ‎22．已知，.‎ ‎（1）求当a=1时，f(x)的值域；‎ ‎（2）若函数f(x)在内有且只有一个零点，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的值域为；（2）或.‎ ‎【解析】（1）当时，，令，则，，再利用二次函数的图像和性质求以的值域为；‎ ‎（2）令，，所以在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点，无零点.再分类讨论求 a的取值范围.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，令，则，，‎ 所以，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 所以的值域为.‎ ‎（2），‎ 令，则当时，，，‎ 所以，‎ 所以在内有且只有一个零点等价于在内有且只有一个零点，无零点.‎ 因为，∴在内为增函数，‎ ‎①若在内有且只有一个零点，无零点，故只需得；‎ ‎②若为的零点，内无零点，‎ 则，得，‎ 经检验，符合题意.‎ 综上，或.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角恒等变换，考查二次函数的图像和性质，考查零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.‎